x
则有: 1) 当
2) 当
证: 当p 1时, 根据极限定义 , 对取定的
分大时, 必有
,即
当x充
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当 p 1时, 可取 0, 使l 0, (l 时用任意正 数 N 代替 l ), 必有
即
注意:
此极限的大小刻画了
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d x
例2. 判别反常积分 1 x 1 x2 的敛散性 .
解:
lim x2 x x
1 1 x2
lim
x
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
1 1
1 x2
1
3
例3.
判别反常积分
x2 1 1 x2
d
x
的敛散性
.
解:
3

lim
x
x
1 2
1
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在 ,
即反常积分

a
f
(x) d x收敛
.
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C[a, ),且对充 分大的x 有 0 f (x) g(x) , 则

a
g
(
x)
dx
收敛
例.
1
(1)I 0 1 x4 dx
1

1
1 x2
dx 1

1
1 x2
dx
20
x2

1 x2
20
x2

1 x2
x2
(2)I 0 1 x4 dx
(2014)
(2010)
(2012)
一元函数积分学
张艳霞
第一讲 反常积分的审敛法 函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法
二、无界函数反常积分的审敛法
一、无穷限广义积分
定义1. 设 f (x) C[a , ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记作
(1

x)
1
2
1
(1 x2 )(1 k 2x2 )
lim
1
1
x1 (1 x)(1 k 2x2 ) 2(1 k 2 )
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
类似定理5, 有下列结论:
若反常积分
b
a
f
(x) d x
(a为瑕点)收敛 , 则反常积分
f (x)


a
f（x）d x收敛 ,
a(x) Nhomakorabead
x
也收敛
,
而
f (x) 2(x) f (x)

f (x)d x 2
(x)d x

a
a
a
f (x) d x
可见反常积分

a
f
( x) d
x
收敛 .
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定义. 设反常积分
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(2013)
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如 由定义
b
b
f (x) d x lim f (x) d x
a
0 a
令 x a 1 , 则有
t
b
f (x) d x lim
a
0
b
a
f
( x) d
x
收敛
,
称为绝对收敛
.
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三、 函数
1. 定义
(s) xs1ex d x (s 0) 0
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛 . 令
I1
1 xs1ex d x ,
0
I2
xs1ex d x

lim
x
x s 1 ex

0
根据极限审敛法1知 I2 收敛.
综上所述 , (s) I1 I2 在 s 0上收敛.
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2. 性质
(1) 递推公式 (s 1) s (s) (s 0)
证: (s 1) xsex d x xs d ex (分部积分)
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2


1 ba
f
(a

1) t
dt t2
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
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利用
b
a (x
1 a)q
dx

收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
p 1,
f
(x)

M xp
p 1,
f
(
x)

N xp
例1. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题: 讨论反常积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的敛散性 .
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1)
满足
lim x p f (x) l
F() F(a)
b
f (x) dx F(x)

f (x) dx F(x)
F(b) F() F() F()
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分

a
f
(x) d x收敛.
1
1) 讨论 I1. 当s 1时, I1 是定积分 ;
当0 s 1时,
x s 1e x

1 x1s

1 ex

1 x1s
而1 s 1, 根据比较审敛法 2知 I1 收敛.
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I2
xs1ex d x
1
2) 讨论 I2 .
(xs1ex )
f (x) d x 收敛 ,
a
若 a
f (x)
dx 收敛 , 则称
若 a
f (x) dx 发散 , 则称
例4. 判断反常积分
的敛散性 .
解:
绝对收敛 ; 条件收敛 .
根据比
较审敛原理知 eax sin bx dx 收敛 , 故由定理5知所 a
给积分收敛 (绝对收敛) .
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 , 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
q 1,
有
f
(
x)

(
x
M a)q
q 1 有 f (x) N
(x a)q
定理3 目录 上页 下页 返回 结束
定理7. (极限审敛法2)
则有: 1) 当
lim (x a)q f (x) l
xa
2) 当
例5.
判别反常积分
3
1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
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例6. 判定椭圆积分
1 0
dx (1 x2 )(1 k 2 x2 )
(k 2 1) 的敛
散性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
x2 x2

lim x 1
x2 x
2

1
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
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定理5.若
f
(
x)

C
[a
,

)
,
且

a
f（x）d x收敛 ,
则反常积分

a
f
( x) d
x 收敛 .
证：令
(
x)

1 2
[
f
(
x)

f (x) ], 则 0 (x)
0
0
xsex

s
xs1ex d x
0
0
s (s)
注意到: (1)
n N , 有
ex d x
0
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
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(2) (s)的其他形式
令 x u2,得
(s) 2 eu2 u2s1 d u (s 0) 0
再令 2s 1 t , 即s 1 t , 得应用中常见的积分 2
uteu2 d u 1 1 t (t 1)
0
22
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
这时称广义积分 就称广义积分
收敛 ;如果上述极限不存在, 发散 .
注：f(x)非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积
2. 无穷限广义积分的计算
引入记号
F() lim F( x) ; F() lim F( x)
x