常义积分的极限
p 1 p 1
,
q 1
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说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 .
例如 ,

1 0
1
1 x2
x2

1 x2
dt

1 d(x 1x) 0 (x 1x)2 2

0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,
d
x

f 1
( x) f 2(x)
d
x

1
d
f f
(x) 2 (x)

arctan
f
(x)

C
]
2
] arctan 32 2
2
27
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内容小结
积分区间无限 1. 反常积分
被积函数无界
2. 两个重要的反常积分
,
(
p

1 1)
a
p1
,
则定义
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而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分.
例如,
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则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx

F
(b
)

F
(a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx

F
(b)

F
(a
)
若 a , b 都为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx

F
(b
)

F
(a
)
注意: 若瑕点 c (a,b), 则
b
a
f
( x) dx

F (b) F (c )
F(c )
F (a)
可相消吗?
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a x) dx F(x)
F() F(a)
b
f (x) dx F(x)

f (x) dx F(x)
F(b) F() F() F()
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例1. 计算反常积分
解:

[arctan x ]


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例6. 证明反常积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,


ln
x

a

b a

当 q≠1 时


(x a)1q 1 q

b


a
(b a)1q 1 q
,
,
q 1 q 1
0
y 1 x
A
0
x
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定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
分别讨论每一区间上的反常积分.
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备用题 试证
d x 0 1 x4


01
x2 x4
d
x
,
并求其值
.
解:

令
t

1 x
01

1

1 t4

1 t2
d t

t 2 0 1t4
d
t
d
0 1
x x4

1 2

所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 (b a)1q ; 1 q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
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例7.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
d
x
的无穷间断点, 故 I 为反常


3
21
f
( x) f 2 (x)
ln x 1
当 p ≠ 1 时有

x1 p




1
p
1
, p 1
1 ,
p 1
p1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为
1 ;
p1
当 p≤1 时, 反常积分发散 .
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例3. 计算反常积分
解: 原式 t e pt p


1 p2
e pt

1 p2
1 e pt d t
p0
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二、无界函数的反常积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
1 dx

lim 2 x 0
x
1

lim 2(1 ) 2
d 0 1
x x4


01
x2 x4
d
x

1
2
1 0 1
x2 x4
d
x
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1
2
0
1 x2
1
1 x2

x2
d
x
1
2
0
(x

1
1 x
)2

2
d
(x

1) x

1
arctan
x

1 x

22
2 0
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第一节
第八章
反常积分的概念和计算
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
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一、无穷限的反常积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A lim b

( )
22
思考:
y
y

1 1 x2
o
x
分析:
原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质否, 则会出现错误 .
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例2. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
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引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
b 1
dx x2

lim b

1 x
b 1

lim 1 b

1 b


1
y

1 x2
A
1b
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定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
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若 f (x) C (, ), 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
arcsin
x a

a 0

arcsin1

2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
所以解下反: 述常11解积dxx2法分是0否1dx1x正x2 确发110:1散dxx2.1



1
1 x

2
,0∴1积 分1x收敛01