2019-2020学年江西省萍乡市安源区八年级第二学期期中数学试卷一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（）A．2B．3C．2或3D．不能确定3．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（）A．36°B．38.5°C．64°D．77°4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E 处，若∠A＝25°，则∠ADE的大小为（）A．40°B．50°C．65°D．75°5．已知不等式组有解，则a的取值范围为（）A．a＞﹣2B．a≥﹣2C．a＜2D．a≥26．不等式组的解集在数轴上可以表示为（）A．B．C．D．7．用反证法证明：“一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”．应假设（）A．一个三角形中没有一个角大于或等于60°B．一个三角形中至少有一个角小于60°C．一个三角形中三个角都大于等于60°D．一个三角形中有一个角大于等于60°8．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＜ax的解集是（）A．x＞1B．x＜1C．x＞2D．x＜2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．三角形的两边长分别是3和7，则其第三边x的范围为．10．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题．11．不等式x+3＞2的负整数解为．12．已知xy＝，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝．13．等腰三角形腰上的高与腰的夹角为47°，则这个三角形的顶角为度．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为．15．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为．16．如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上，若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为．三、解答题（本大题共8小题，共52分）17．分解因式：（a2+1）2﹣4a2．18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：19．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：四边形ABCD；求作：点P，使∠PBC＝∠PCB，且点P到AD和DC的距离相等．20．小丽准备用35元买牛奶和面包，已知一盒牛奶3.5元，一个面包5元，她买了4盒牛奶，她最多还能买多少个面包？21．在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三（1）班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．那么初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名同学？22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB＝OC；（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．23．某学校计划购买3至8台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠，各商场的优惠条件如表所示：商场优惠条件甲商场第一台按原报价收费，其余每台优惠25%乙商场每台优惠20%该学校选择哪家商场购买更优惠？24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．2．已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为（）A．2B．3C．2或3D．不能确定【分析】已知等腰三角形有一条边长为2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解：当腰长为2时，底边长为8﹣2×2＝4，三角形的三边长为2，2，4，不能构成三角形；当底边长为2时，腰长为（8﹣2）÷2＝3，三角形的三边长为3，3，2，能构成三角形；所以等腰三角形的腰长为3．故选：B．3．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（）A．36°B．38.5°C．64°D．77°【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可；解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，∵在三角形ABD中，AB＝AD，∠BAD＝26°，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×＝77°，又∵AD＝DC，在三角形ADC中，∴∠C＝∠ADB＝77°×＝38.5°．故选：B．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E 处，若∠A＝25°，则∠ADE的大小为（）A．40°B．50°C．65°D．75°【分析】根据三角形内角和定理可得∠B＝65°，再由折叠可得∠CED的度数，再根据三角形外角的性质可得∠ADE的度数．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝180°﹣90°﹣25°＝65°，根据折叠可得∠CED＝65°，∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，故选：A．5．已知不等式组有解，则a的取值范围为（）A．a＞﹣2B．a≥﹣2C．a＜2D．a≥2【分析】分别解这两个不等式，得出解集，既然有解，根据同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了的原则，建立适当的不等式，进行解答．解：由（1）得x≥a，由（2）得x＜2，故原不等式组的解集为a≤x＜2，∵不等式组有解，∴a的取值范围为a＜2．故选：C．6．不等式组的解集在数轴上可以表示为（）A．B．C．D．【分析】首先求出各个不等式的解集，再利用数轴表示出来即可．解：由①得x＞﹣2，由②得x≤4，所以﹣2＜x≤4，故选：D．7．用反证法证明：“一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”．应假设（）A．一个三角形中没有一个角大于或等于60°B．一个三角形中至少有一个角小于60°C．一个三角形中三个角都大于等于60°D．一个三角形中有一个角大于等于60°【分析】根据反证法的步骤，假设的命题肯定不成立．从这一点出发，一一判断即可．解：要证明原命题成立，则反证法假设的命题肯定不成立．从这一点出发，可以排除B，D这两个选项；反证法的核心是假设出原命题的相反面（或者说除原命题外的其他情况），证明假设的命题不成立，进而间接的证明原命题成立！原命题中出现“至少有一个”，则其对立面应该是“没有”、“不存在”、“没有一个”，所以应假设：一个三角形中没有一个角大于或等于60°故选：A．8．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＜ax的解集是（）A．x＞1B．x＜1C．x＞2D．x＜2【分析】观察函数图象得到当x＞2时，直线y＝kx+b不在直线y＝ax的上方，于是可得到不等式kx+b＜ax的解集．解：当x＞2时，kx+b＜ax，所以不等式kx+b＜ax的解集为x＞2．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．三角形的两边长分别是3和7，则其第三边x的范围为4＜x＜10．【分析】根据三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．解：根据三角形的三边关系定理可得：7﹣3＜x＜7+3，故4＜x＜10，故答案为：4＜x＜10．10．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题面积相等的三角形全等．【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题．解：“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而逆命题是：面积相等的三角形全等．故答案是：面积相等的三角形全等．11．不等式x+3＞2的负整数解为﹣1．【分析】首先解不等式，再确定负整数解．解：x+3＞2，x＞2﹣3，x＞﹣1，x＞﹣2，∵x为负整数，∴x的值为﹣1．故答案为：﹣1．12．已知xy＝，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝﹣25．【分析】因式分解后，整体代入计算即可；解：2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2，∵xy＝，x+y＝5，∴原式＝﹣25．故答案为﹣25．13．等腰三角形腰上的高与腰的夹角为47°，则这个三角形的顶角为43或137度．【分析】根据题意，一种情况为等腰三角形为锐角等腰三角形，根据垂直的性质外角的性质即可推出顶角为137°，另一种情况为等腰三角形为钝角三角形，根据三角形内角和定理和垂直的定理即可推出顶角为43°．解：①此等腰三角形为钝角三角形，∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为47°，∴此三角形的顶角＝90°+47°＝137°，②此等腰三角形为锐角三角形，∵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为47°，∴此三角形的顶角＝90°﹣47°＝43°．故答案为：43或137．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为60°．【分析】先利用互余得到∠A＝60°，再根据旋转的性质得CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′＝60°，从而得到旋转角的度数．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，即旋转角度为60°．故答案为60°．15．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为6．【分析】由ED垂直平分BC，即可得BE＝CE，∠EDB＝90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．解：∵ED垂直平分BC，∴BE＝CE，∠EDB＝90°，∵∠B＝30°，ED＝3，∴BE＝2DE＝6，∴CE＝6．故答案为：6．16．如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上，若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（a﹣2，b+3）．【分析】先利用点A它的对应点A′的坐标特征可得到线段AB先向左平移2个单位，再向上平移3和单位得到线段A′B′，然后利用点平移的坐标规律写出点P（a，b）平移后的对应点P′的坐标．解：∵点A（1，﹣1）先向左平移2个单位，再向上平移3和单位得到点A′（﹣1，2），∴线段AB先向左平移2个单位，再向上平移3和单位得到线段A′B′，∴点P（a，b）平移后的对应点P′的坐标为（a﹣2，b+3）．故答案为（a﹣2，b+3）．三、解答题（本大题共8小题，共52分）17．分解因式：（a2+1）2﹣4a2．【分析】原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解即可．解：原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得：x≤1，解不等式＞x﹣1，得：x＜4，则不等式组的解集为x≤1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：19．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：四边形ABCD；求作：点P，使∠PBC＝∠PCB，且点P到AD和DC的距离相等．【分析】由∠PBC＝∠PCB知点P在线段BC中垂线上，由点P到AD和DC的距离相等知点P也在∠ADC平分线上，据此作图可得．解：如图所示，点P即为所求．20．小丽准备用35元买牛奶和面包，已知一盒牛奶3.5元，一个面包5元，她买了4盒牛奶，她最多还能买多少个面包？【分析】设她最多还能买x个面包，根据买牛奶的费用+买面包的费用不超过35元建立不等式求出其解即可．解：设她最多还能买x个面包，由题意，得3.5×4+5x≤35，解得：x≤．∵x为整数，∴x最大为4．答：她最多还能买4个面包．21．在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三（1）班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．那么初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名同学？【分析】关键描述语是：每人分2棵，还剩42棵．树苗棵树＝2×学生数+42；关键描述语是：最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．则最后一人分得树苗数大于或等于1且小于5．解：设初三（1）班有x名同学，根据题意，得解这个不等式组，得40＜x≤44．答：初三（1）班至少有41名同学，最多有44名同学．22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O （1）求证：OB＝OC；（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB＝∠DBC，从而得证；（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠BDC＝90°∴△BEC≌△CDB∴∠DBC＝∠ECB，BE＝CD在△BOE和△COD中∵∠BOE＝∠COD，BE＝CD，∠BEC＝∠BDE＝90°∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC；（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，∴∠DOE+∠A＝180°∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．23．某学校计划购买3至8台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠，各商场的优惠条件如表所示：商场优惠条件甲商场第一台按原报价收费，其余每台优惠25%乙商场每台优惠20%该学校选择哪家商场购买更优惠？【分析】设该学校购买x台电脑，选择甲商场购买需y1元，选择乙商场购买需y2元，分别表示出y1元，y2元，再通过讨论就可以得出结论．解：设该学校购买x台电脑，选择甲商场购买需y1元，选择乙商场购买需y2元，则y1＝6000+6000×（1﹣25%）（x﹣1）＝4500x+1500，y2＝6000×（1﹣20%）x＝4800x，由y1＝y2，得4500x+1500＝4800x，解得x＝5；由y1＞y2，得4500x+1500＝4800x，解得x＜5；由y1＜y2，得4500x+1500＝4800x，解得x＞5．因为计划购买的电脑为3至8台，所以当x＝5时，甲、乙两家商场购买电脑的费用相同；当3≤x＜5时，选择乙商场购买电脑更优惠；当5＜x≤8时，选择甲商场购买电脑更优惠．24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据三角形的面积公式求出DE；（2）根据三角形的面积公式计算．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，由勾股定理，得AB═10，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，×AC×CD+×AB×DE＝×AC×BC，即×6×DE+×10×DE＝×6×8，解得，DE＝3；（2）△ADB的面积为S＝AB•DE＝×10×3＝15．。