数值分析复习要点引论1 数值计算研究的对象与特点计算方法研究的对象是专门研究各种数学问题的计算机解法（数值解法）,包括方法的构造和求解过程的理论分析及软件实现,包括方法的收敛性、稳定性以及误差分析等.计算方法即具有纯数学的抽象性与严密性的特点,又具有应用的广泛性与实验的技术性特点.2 误差的概念2.1 误差的来源模型误差：数学模型的解与实际问题的解之间出现的误差,称为模型误差. 测量误差：在测量具体数据时产生的误差称为测量误差.截断误差：数学模型的准确解与数值方法的准确解之间的误差称为截断误差. 舍入误差：由于计算机字长的限制而产生的误差,称为舍入误差.2.2误差的度量(1).绝对误差与绝对误差限 (2).相对误差与相对误差限 (3). 有效数字 2.3 误差的传播和、差的误差限 不超过各误差限的和. 积、商的相对误差限不超过各相对误差限的和.3 数值计算的若干原则避免两相近数相减和绝对值太小的除数、简化计算步骤、使用数值稳定的算法方程求根1 二分法用二分法求方程0)(=x f 的实根*x 的近似值,其主要思想是:将含有根*x 的隔离区间二分,通过判断二分点与边界点函数值的符号,逐步对半缩小隔离区间,直到缩小到满足精度要求为止,然后取 最后二分区间的中点为根*x 的近似值.2 迭代法一般地,为了求一元非线性方程 0)(=x f 的根,可以先将其转换为如下的等价形式 ()x x ϕ=然后构造迭代公式.()k k x x ϕ=+1 2,1,0=k3 收敛性和收敛速度（收敛性基本定理）的条件和结论收敛速度的快慢可用收敛阶来衡量.（收敛阶）设序列{}∞=0k k x 收敛到*x ,并记误差||*x x e k k -=.若存在常数1≥p 和0≠c ,使得:1lim k pk k e c e +→∞=则称序列{}∞=0k k x 是p 阶收敛的,当1=p 时,称为线性收敛,当1>p 时,称为超线性收敛,当2=p 时,称为二次收敛或平方收敛.4 牛顿迭代公式及其收敛性牛顿迭代公式 )()(1k k k k x f x f x x '-=+ 2,1,0=k 牛顿法的收敛性设*x 是方程0)(=x f 的单根,并且)(x f ''在*x 的邻域上连续,则牛顿迭代法（3.4.1）至少平方局部收敛.解线性方程组的直接法1高斯消去法消元过程为：对1,,2,1-=n k 逐次计算:(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)/,(1,,),(,1,,),(1,,)k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i iik k l a a i k n a a l a i j k n b b l b i k n ------⎧==+⎪=-=+⎨⎪=-=+⎩ 回代过程：逐步回代求得原方程组的解(1)(1)(1)(1)(1)1/()/,(1,2,,1)n n n n nn n k k k kk kj j kk j k x b a x b a x a k n n -----=+⎧=⎪⎨=-=--⎪⎩∑高斯消去法的乘除法总计算量为：n n n n n n n n 3131212156213123223-+=++-+ 2 高斯—约当消去法约当消去法的计算过程为：对于1,2,,k n = 计算：()(1)(1)()(1)(1)()/(1,,1)(1,2,,;1,2,,1)k k k kj kj kk k k k k ij ij ik kj a a a j k n a a a a i n i k j k k n ----⎧==++⎪⎨=-⨯=≠=+++⎪⎩且乘除法的总次数为:232121n n +. 它比高斯消去法的计算量大,但不需要回代过程3 向量和矩阵的范数、条件数向量范数: 1范数 11nii x x==∑ 2范数 21221()ni i xx ==∑ ∞范数 1max i i nxx ∞≤≤=矩阵的范数设x 为n 维向量,A 为n 阶方阵,则算子范数: 11max nij i nj A a ∞≤≤==∑称为矩阵A 的行范数。

111max nij j ni A a ≤≤==∑称为矩阵A 的列范数。

设A 为n 阶可逆矩阵,则称数 1()Cond A A A -=⋅ 为条件数：1()Cond A A A -∞∞∞=⋅ ，1111()Cond A A A -=⋅ 1222()Cond A A A -=⋅分别称为A 的-∞条件数,-1条件数, -2条件数解线性方程组的迭代法1 雅克比迭代法的迭代公式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑≠=+i nij j k j ij ii k i b x a a x ,1)(1(1） 矩阵形式：J k J k f x B x +=+)()1( A D I B J 1--=，b D f J 1-=2 高斯—赛德尔迭代法迭代公式为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=∑∑+=-=++i ni j k j ij i j k j ij iik i b x a x a a x 1)(11)1()1(1，()n i ,,2,1 =成矩阵形式S G k S G k f x B x --++=)()1(()U L D B S G 1---= ， b L D f S G 1)(---=3 迭代法的收敛性判断（迭代法收敛的基本定理）设有n 阶方程组f Bx x +=，对于任意初始向量)0(x 和右端项f ，迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径.1)(<B ρ（迭代法收敛的充分条件）若1<B ，则由迭代公式（5.1.3）所产生的向量序列{})(k x 收敛于方程组f Bx x +=的精确解*x ，且有误差估计式)1()(*)(1---≤-k k k x x BB x x ，)0()1(*)(1x x BBx x kk --≤-（充分条件）若线性方程组b Ax =的系数矩阵为严格对角占优或不可约弱对角占优矩阵，则雅克比和高斯—赛德尔迭代法收敛。

函数插值1 插值的基本概念包括线性插值、抛物插值和多项式插值的存在惟一性。

2 拉格朗日插值∑∏=≠=--=ni nij j i ji j n y x x x x x L 00)()(3 插值余项与误差估计若)(x f 在],[b a 上的插值多项式为)(x L n ，则称)()()(x L x f x R n n -=为)(x L n 的插值余项（也称误差）。

设)(x f 在],[b a 上的1+n 阶导数连续，记为],[)(1b a C x f n +∈且)(x f 在互异节点b x x x a n ≤<<<≤ 10的函数值为n y y y ,,,10 。

若满足插值条件i i n y x L =)( ),,2,1,0(n i =的插值多项式为)(x L n ，则对],[b a x ∈∀有：(1)(1)10()()()()()()()(1)!(1)!n n n n n j n j f f R x f x L x x x x n n ξξω+++==-=⋅-=⋅++∏其中b a <<ξ，∏=+-=nj j n x x x 01)()(ω4 牛顿插值)())()(,,,())(,()()(110100100----++-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x f x f x N数值积分1 代数精度的概念及其求法。

若数值求积公式对被积函数m x x x f ,,,1)( =都能精确成立，而对被积函数1)(+=m x x f 不能精确成立，则称求积公式具有m 次代数精度。

2 牛顿－柯特斯公式)()()()(0)(i bani n ix f Ca b dx x f f I ⎰∑=-==⎰∏≠=---⋅-=n n ij j i n n idt j t i n i n C00)()()!(!)1(梯形求积公式 [])()(2)(b f a f ab T f I +-=≈ 抛物线求积公式或辛普生求积公式 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=≈)()2(4)(6)(b f a b f a f a b S f I 梯形公式的截断误差 3''''1)(12)())((2)()(a b f dx b x a x f f R ba --=--=⎰ηη ， ()b a ,∈η3 复合梯形求积公式将[]b a ,区间n 等分，记分点为),,1,0,(,n i nab h ih a x i =-=+= 并在每个小区间[]1,+i i x x 上应用梯形公式得：()()[]110112)()(+-=-=+≈=∑⎰∑⎰+i i n i xx n i bax f x f hdx x f dx x f i i⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑-=11)()(2)(2n i i b f x f a f h 复合梯形公式的截断误差 )(12)(''2ηf h a b f R n --= ，),(b a ∈η4 复合辛普生求积公式在每个小区间[]1,+i i x x 上，用辛普生公式得:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=∑∑-=-=+101121)()(2)(4)(6n i n i i i n b f x f x f a f h S其中21+i x为],[1+i i x x 的中点，即h x x i i 2121+=+5高斯求积公式若有一组节点]1,1[,,,10-∈n x x x ,使插值型求积公式(8.5.1)具有12+n 次代数精度，则称此组节点为高斯点，并称相应的求积公式为高斯型求积公式。

常微分方程初值问题的数值解法1欧拉公式包括显式、隐式、两步、改进的欧拉公式和梯形公式。

欧拉公式),(1n n n n y x hf y y +=+隐式欧拉公式),(111++++=n n n n y x hf y y为梯形公式)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y改进的欧拉公式))],(,(),([211n n n n n n n n y x hf y x f y x f hy y +++=++两步欧拉公式),(211n n n n y x hf y y +=-+2 单步法的局部截断误差和方法的阶设)(x y 是微分方程的精确解，则)),(),(,,()()(1111h x y x y x x h x y x y T n n n n n n n ++++--=ϕ 称为单步法的局部截断误差。

如果求微分方程数值方法的局部截断误差是)(11++=p n h O T ，其中1≥p 为整数，则称该方法是p 阶的，或该方法具有p 阶精度。