数学分析答案1 反常积分分概念1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1）dxxex 2-∞+⎰； （2）dxxex 2-∞+∞-⎰； （3）dxex⎰+∞1； （4）⎰+∞+12)1(x x dx； （5）⎰+∞∞-++5442x x dx； （6）xdxe xsin 0-+∞⎰； （7）xdxe xsin ⎰+∞∞-； （8）⎰+∞+021xdx解（1）因为 ⎰+∞-=02dx xe x⎰⎰+∞-+∞→-=022limAx A x dxxe dx xe021lim 2Ae x A -+∞→-=21021212121lim 2=⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+∞→A A e故dxxex 2-∞+⎰收敛，其值为21。

（2）⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞-+=0222dxxe dx xedx xex x x=⎰+∞-=-00212dx xe x故dxxex 2-∞+∞-⎰收敛，其值为0。

（3）⎰⎰∞+-+∞→=02lim1Adx x A xedx e2lim 2A ex A -+∞→⋅-=2)22(lim 2=-=-+∞→A A e故dxex⎰+∞1收敛，其值为2。

（4）⎰⎰+∞+∞→+=+1122)1(lim)1(A A x x dxx x dx⎰⎪⎭⎫⎝⎛--+=+∞→AA dx x x x12111lim1)11)1(ln(lim Ax nx x A --+=+∞→ )1ln 11(lnlim +--+=+∞→A AA A A2ln 1-=因此⎰+∞+12)1(x x dx 收敛，其值为2ln 1-。

（5）⎰⎰+∞∞-+∞∞-++=++4)1(254422x dx x x dx⎰⎰∞+--∞-+++++=2121224)12(4)12(x dx x dx⎰⎰∞-∞++++=0202421421t dt t dt ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎰⎰∞-∞+02021141u du u du ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→0arctan 0arctan 41limA u A u A)]arctan([arctan lim 41A A A --=+∞→ 42241arctan 2lim 41ππ=⋅⋅==∞→A A所以⎰+∞∞-++5442x x dx收敛，其值为4π（6）因为⎰⎰----++-=-=xdxe x e x e xdx e x x x xcos sin sin sin⎰------=xdxe cox e x e x x x sin sin从而⎰++-=--c e x x xdx e xx2cos sin sin 故⎰∞+-+∞→-+-=00)2cos sin (lim sin Ae x x xdx e x A x⎪⎭⎫⎝⎛++-=-+∞→212cos sin lim A A e A A21=可见⎰+∞-0sin xdxe x 收敛，其值为21 （7）因为⎰⎰-=xdxe x e xdx e x x xcos sin sin⎰--=xdxe x e x e x x x sin cos sin所以⎰+-=c e x x xdx e xx2cos sin sin于是xdxe xdx e Ax A x⎰⎰+∞→+∞=0sin limsin02cos sin lim Aex x x A -=+∞→ 212cos sin lim+-=+∞→A A e A A因最后的极限不存在，故 ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0sin sin sin xdx e xdx e xdx e xx发散 （8）⎰⎰∞++=+0202221sec 1πθθθtam d xdx⎰⎰==20202sec sec sec ππθθθθθd d|tan sec |ln lim 2A x A θθ+=→|tan sec |ln lim 2A A x A +=→因为最后的极限不存在，故⎰+∞+021xdx 不收敛2、讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1）⎰-bap a x dx )(； （2）⎰-1021xdx； （3）⎰-2|1|x dx ； （4）dxxx ⎰-121； （5）⎰1ln xdx ；（6）⎰-11dx xx； （7）⎰-12xx dx ； （8）⎰1)(ln px x dx ；解（1）当1=p 时，有⎰⎰-=-→b u b aa u p dxax a x dx 1lim )(uba x a a ||ln lim -=→|)|ln ||(ln lim a u a b au ---=→=||ln lim ||ln a u a b an ---→。

因最后的极限不存在，故当1=p 时，⎰-bapa x dx)(不收缴。

当1>p 时，有⎰-b apa x dx )(])()[(11lim11+-+-→---+-=p p a n a u a b p1)(1+--=+-p a b p故仅当1<p 时，⎰-b apa x dx)(收敛，其值为1)(1+--+-p a b p（2）因为⎰⎰-=-→1002121lim 1u u x dx x dx|1|ln |1|(ln lim 1u x x u ++-=→|)1|ln |1|(ln lim 1u u u ++-=→。

因最后的极限不存在，故⎰-1021xdx。

（3）因为⎰⎰⎰-+-=-212111|1|x dx xdx x dx⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=→u x u x u 2)1(20)1(2lim 21211 4])1(22)1(22[lim 21211=--+--=→u u u故⎰-2|1|x dx 收敛，其值为4。

（4）因为⎰⎰---=-→122121)1(21lim 1uu x x d dx xx]))1([lim 2121u x u --=→ 1]21)1(1[lim 21=--=→u u故⎰-121dxxx 收敛，其值为1（5）因为⎰⎰-===→→1101)1(ln lim ln lim ln uu u ux x xdx xdx 1)1(lim 0-=+--=→u ulu u因此⎰1ln xdx 收敛，其值为－1。

（6）因为⎰⎰∞++=-10022)1(21dt t t dx x x dt t t uu ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅=∞→0222)1(1112lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=∞→0)1tan (210tan lim 22u t t x axc u t axc u]121tan 21tan [lim 22+--=∞→u u u axc u axc u⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→121arctan 21lim 22u u u u22212ππ=⋅⋅=，故⎰-11dx xx 收敛，其值为2π。

（7）因为⎰⎰--=-1122)21(41x dx xx dx⎰--=12)]21(2[12x dx ⎰--=-=112))21(2(1x u u duππ=⋅=-=-=→22arcsin 21lim arcsin lim 1u u uu uu因此⎰-12xx dx 收敛，其值为π。

（8）当1=p 时，⎰→→+=1001)ln(ln lim )ln(ln lim ln e x u x x x dxu u ϕϕ)]ln(ln )[ln(ln lim )]ln(ln )[ln(ln lim 01εϕϕ-+-=→→u u u)(ln lim )ln(ln lim 01ε→→+=u u u 极限不存在。

当1>p 时，⎰-=-→101101)(ln lim )(ln up x x x dx p u ppu pu -=-→1)(ln lim11极限不存在。

当1<p 时，⎰-=-→101011)(ln lim)(ln up x x x dx p u ppu pu --=-→1)(ln lim10极限不存在。

综上可知：⎰10)(ln px x dx不收敛。

3、举例说明：瑕积分⎰badxx f )(收敛时，⎰badxx f )(2不一定收敛。

解 在习题2中，令xx f 1)(=，则⎰⎰=11)(xdx dx x f 收敛，但⎰⎰=10102)(xdxdx x f发散。

4、举例说明：⎰+∞adxx f )(收敛且f 在),[+∞a 上连续时，不一定有0)(lim=+∞→x f x 。

解 令⎪⎩⎪⎨⎧=为自然数不为然数x x x x f ,1 ,1)(2则⎰⎰+∞+∞→+∞→=-==1121]1[lim lim)(AAA A x xdx dx x f但极限)(limx f x +∞→不存在。

5、证明：若⎰+∞adxx f )(收敛，且存在极限Ax f x =+∞→)(lim则A=0证 因⎰+∞adxx f )(收敛，从而由Cauchy 准则知：⎰+++∞→=1)(lim n a na n dx x f令]),1,[inf(+++=n a n a f a n)]1,([sup +++=n a n a f n β。

则由推广的积分中值定理知：存在],[n n na βλ∈使⎰+++1)(n a na dxx f =nλ因此0lim 8=→nn λ。

由于Ax f x =+∞→)(lim 所以aM >∃>∀,0ε，使得当M x >时，εε+<<-A x f A )(。

取N 使MN a >+，从而当Nn >时，]1,[+++∈∀n a n a x 有εε+<<-A x f A )(。

于是当N n >时有εβλε-≤≤≤≤-A a A n n n 。

可见)(∞→→n A nλ。

故0=A 。

6、证明：若f 在+∞,[a ]上可导，且⎰+∞adxx f )(与dxx f a)('⎰+∞都收敛，则)(lim =+∞→x f x 。

证 由⎰+∞'adxx f )(收敛知，任给0>ε，存在a M >，当M x x >''',时，有ε<'⎰xxdx x f )(，即ε<''-'|)()(|x f x f所以，)(limx f x +∞→存在，若记Ax f x =+∞→)(lim，则由上题知0=A。