2017年安徽省江南十校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1|z|=（）A B．1 C．5 D．252．设集合A={x∈Z||x|≤2}A∩B=（）A．{1，2}B．{﹣1，﹣2}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣2，﹣1，0，2}3（1，m）（2，5）（m，3），则m=（）A C D4sinα（sinα﹣cosα）=（）A B C D5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．76．质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为（）A B C D7．《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E 每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A B C D8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．20 B．22 C．24 D．269．设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5）A B C D10．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）AC D11．已知球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，则棱锥S ﹣ABC的体积为（）A B C D12．设⌈x⌉表示不小于实数x的最小整数，如⌈2.6⌉=3，⌈﹣3.5⌉=﹣3．已知函数f （x）=⌈x⌉2﹣2⌈x⌉，若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则k的取值范围是（）A C．D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实x，y|x﹣2y+2|的最大值是．14．若（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x且x的次数为1的项的系数为．15上一点P（x，y）到双曲线一个焦点的距离是9，则x2+y2的值是．16．将函数y=sin2x﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到的图象与y=ksinxcosx（k＞0k+m的最小正值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．（1）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（2）求数列{S n}的前n项和T n．18．美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，四边形ABCD CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得．（1）求证：PH⊥平面AEF；（2）求二面角A﹣EF﹣G的余弦值．20个不同的公共点A，B．（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣1+a，函数g（x）=ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x）≥g（x）+1；（Ⅲ）若函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0），证明：x0＜2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知P直线C2（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．2017年安徽省江南十校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1|z|=（）A B．1 C．5 D．25【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】|z|．故选：B．2．设集合A={x∈Z||x|≤2}A∩B=（）A．{1，2}B．{﹣1，﹣2}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣2，﹣1，0，2}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出根据A、B的范围，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x x＜0}，故A∩B={﹣2，﹣1，2}，故选：C．3（1，m）（2，5）（m，3），则m=（）A C D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】、进而由向量平行的坐标表示方法可得（m+1）×（m﹣5）=（m+3）×（﹣1），解可得m的值，即可得答案．【解答】（1，m）（2，5）（m，3），，（m+1）×（m﹣5）=（m+3）×（﹣1）故选：D．4sinα（sinα﹣cosα）=（）A B C D【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】故选：A．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（n，i）的值，∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，共要循环7次，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=36，i=2，MOD（36，2）=0，j=1，i=3满足条件i＜n，MOD（36，3）=0，j=2，i=4满足条件i＜n，MOD（36，4）=0，j=3，i=5满足条件i＜n，MOD（36，5）=1，i=6…N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，∴共要循环7次，故j=7．故选：D．6．质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为（）A B C D【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数N=42=16，再利用列举法求出m2+n2≤4包含的基本事件个数，由此能求出事件A发生的概率．【解答】解：质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．基本事件总数N=42=16，记m2+n2≤4为事件A，则事件A包含听基本事件有：（1，1），（0，1），（1，0），共3个，∴事件A故选：B．7．《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E 每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A B C D【考点】等差数列的通项公式．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，解得故E故选：D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．20 B．22 C．24 D．26【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．该几何体的体积V=33﹣3×13=24．故选：C．9．设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5）A B C D【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，可得A=45°，B=60°，C=75°，△ABC的面积为S1，外接圆面积为S2=πR2．利用正弦定理把a与R【解答】解：在△ABC中，∵△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，∴A=45°，B=60°，C=75°，那么△ABC的面积为S12外接圆面积为S2=πR2，故选D．10．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）AC D【考点】函数的图象．【分析】由题意，x=0，y＜0，排除A，0＞x＞﹣1，x→﹣1，y→﹣∞，排除C，D选项，f（﹣2）=5，f（﹣3）D，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=0，y＜0，排除A，0＞x＞﹣1，x→﹣1，y→﹣∞，排除C，D选项中，f（﹣2）=5，f（﹣3）D．故选：B．11．已知球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，则棱锥S ﹣ABC的体积为（）A B C D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，由此能求出S﹣ABC的体积．【解答】解：∵球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，∴由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，故选：D．12．设⌈x⌉表示不小于实数x的最小整数，如⌈2.6⌉=3，⌈﹣3.5⌉=﹣3．已知函数f （x）=⌈x⌉2﹣2⌈x⌉，若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则k的取值范围是（）A C．D【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据[x]的定义，分别作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：令F（x）=0得f（x）=k（x﹣2）﹣2，作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象如下图所示：若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则函数f（x）和g（x）=k（x﹣2）﹣2的图象在（﹣1，4]上有2个交点，经计算可得k PA=5，k PB=10，k PO=﹣1，k PC=∴k的范围是[﹣1[5，10）．故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实x，y|x﹣2y+2|的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设u=2x+y﹣4，则z=|u|，利用u的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】5 由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，解：对应的平面区域如图：M（﹣1，3），由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，故答案为：5．14．若（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x且x的次数为1的项的系数为﹣7．【考点】二项式系数的性质．【分析】二项式（x+y）3（2x﹣y+a）5中，令x=y=1得展开式各项系数和，求出a的值；再求（x+y）3（2x﹣y+1）5的展开式中含字母x且x的系数．【解答】解：（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，令x=y=1，得23×（a+1）5=256，解得a=1，所以（x+y）3（2x﹣y+1）5的展开式中含字母x且x的系数为：故答案为：﹣7．15上一点P（x，y）到双曲线一个焦点的距离是9，则x2+y2的值是133．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，不妨设点P（x，y）在右支上，焦点为右焦点，运用两点的距离公式和点满足双曲线方程，解方程可得P的坐标，进而得到所求值．【解答】的a=4，b=6，不妨设点P（x，y）在右支上，由条件可知P点到右焦点（0）的距离为9，，解出y=±9，则x2+y2=52+81=133．故答案为：133．16．将函数y=sin2x﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到的图象与y=ksinxcosx（k＞0）则k+m【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意可得y=﹣cos（2x﹣2m）的图象和（k＞0）的图象关于P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点（k＞0）的图象上，故有k=2，且cos（2x0=cos（2x0﹣2m），由此求得k+m的最小正值．【解答】解：将函数y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=﹣cos2（x﹣m）=﹣cos（2x﹣2m）的图象，根据所得图象与（k＞0设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，（k＞0）的图象上，求得k=2，sin（2x0=cos（2x0﹣2m），即cos（2x0=cos（2x0﹣2m），∴﹣2m=2kπ，k∈Z，即2kπ，k∈Z，故m则k+m的最小正值为2三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．（1）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（2）求数列{S n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n=1时，a1=S1，求得首项为3，由题意可得S n﹣n+2=2[S n﹣1﹣（n ﹣1）+2]，运用等比数列的定义即可得证；（2求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）证明：当n=1时，a1=S1，S1﹣2a1=1﹣4，可得a1=3，S n﹣2a n=n﹣4转化为：S n﹣2（S n﹣S n）=n﹣4（n≥2），﹣1即S n=2S n﹣1﹣n+4，﹣（n﹣1）+2]所以S n﹣n+2=2[S n﹣1注意到S1﹣1+2=4，所以{S n﹣n+2}为首项为4，公比为2等比数列；（2）由（118．美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．（Ⅰ）当送餐单数n≤45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100，【分析】当送餐单数n＞45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100+（n﹣45）×6=6n﹣170，n∈N*，由此能求出百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系．（Ⅱ）①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．②先求出美团外卖“骑手”日平均送餐单数，再求出美团外卖“骑手”日平均工资和百度外卖“骑手”日平均工资为112元．由此推荐小明去美团外卖应聘．【解答】解：（Ⅰ）∵百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，∴当送餐单数n≤45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100，当送餐单数n＞45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100+（n﹣45）×6=6n﹣170，n∈N*，∴百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系为：（Ⅱ）①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，P（X=100），P（X=106），P（X=118），P（X=130），∴X的分布列为：E（X）=100×0.2+106×0.3+118×0.4+130×0.1=112（元）．②美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70+45×1=115（元）由①知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元．故推荐小明去美团外卖应聘．19．如图，四边形ABCD CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得．（1）求证：PH⊥平面AEF；（2）求二面角A﹣EF﹣G的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，则∠PAO为AP与面ABCD所成角，推导出AP⊥PH，PH⊥EF，由此能证明PH⊥面AEF．（2）建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣EF﹣G的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，∴OP∥DE，∴OP⊥面ABCD．∴∠PAO为AP与面ABCD所成角，∵AP与平面ABCD所成角为60°，∴∠PAO=60°．在Rt△AOPRt△AHC梯形OPHC∴AP2+PH2=AH2，∴AP⊥PH，又EH=FH，∴PH⊥EF，又AP∩EF=P，∴PH⊥面AEF．解：（2）∵CG面ABCD，ABCD为正方形，∴如图所示建立空间直角坐标系．G（0，0，，E0，F（0，，H（0，0，，P，0）0∵PH⊥面AEF，∴面AEF设面EFG设二面角A﹣EF﹣G的平面角为θ，由题意θ为钝角，则cosθ=故二面角A﹣EF﹣G20个不同的公共点A，B．（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1m≠0m的范围组成的集合M．（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，则k PA+k PB=0，令，得：有定点P的坐标．【解答】解：（1m≠0，联立，消去y因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0所以实数m的范围组成的集合M（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，即k PA+k PB=0由（1）知x1，x2代入（*所以定点P经检验，满足题意，所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，21．已知函数f（x）=e x﹣1+a，函数g（x）=ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x）≥g（x）+1；（Ⅲ）若函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0），证明：x0＜2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据在Q（x1，y1）点处切线是y=x，得到x1，y1的值，从而求出a的值即可；性求出F（x）的最小值，从而证出结论即可；（Ⅲ）令G（x）=e x﹣1﹣lnx﹣ax+a（x＞0），等价于函数G（x）有且只有一个零点x0，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）设曲线y=f（x）在Q（x1，y1）点处切线是y=x，x1=1，y1=1，a=0．当x∈（0，1）时，0＜e x﹣1＜1x∈（1，+∞）时，1＜e x﹣1F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣1﹣lnx在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，其最小值是F（1）=1，所以F（x）=f（x）﹣g（x）≥1，于是原不等式成立．（Ⅲ）令G（x）=e x﹣1﹣lnx﹣ax+a（x＞0），则函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）等价于函数G（x）有且只有一个零点x00，+∞）上的增函数且值域为R，0，+∞）上有唯一零点x1，且G'（x）在（0，x1）上为负，（x1，+∞）上为正，所以G（x1）为极小值，又函数G（x）有唯一零点x0，结合G（x）的单调性知x1=x0，显然，x0是H（xH'（x）在（0，1）上为正，（1，+∞）上为负，于是H（x）在（1，+∞）上单调递减，所以H（x）在（1，2）内有一个零点，在[2，+∞）内无零点，所以H（x）的零点一定小于2，从而函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）时一定有x0＜2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知P直线C2（t 为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】化简直线的参数方程为普通方程，设椭圆的P的参数，利用点到直线的距离公式，通过三角函数的最值求解即可．【解答】P到C2之距离．此时cosθ=﹣[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】2≤|2a﹣1|≤3求解即可．（Ⅱ）设g（a）=t•a+t2﹣3，利用恒成立列出不等式组，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当x∈[0，3]2≤|2a﹣1|≤3设g（a）=t•a+t2﹣3，t≥3．2017年3月27日。