所以 f(x2)<f(4－x1)， 又由 f(－x)＝－f(x＋4)， 有 f(4－x1)＝f[－(x1－4)] ＝－f(x1－4＋4)＝－f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<f(x1)＋f(4－x1)＝f(x1)－f(x1) ＝0. 3． A 因为 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数， 所以 f(x＋4)＝ f ( x) ， f(－x)＝－f(x)， f(x)＝2x＋log2x， ∴f(2015)＝f(－1＋2016)＝f(－1) ＝－f(1)＝－2，故选 A. 1 4．D 对于 A，函数 y＝x关于原点对称且在(－∞，0)和(0，＋ ∞)上单调递减；对于 B，函数 y＝－x2＋1 关于 y 轴对称且在(0，＋ ∞)上单调递减；对于 C，函数 y＝2x 无对称性且在 R 上单调递增；对 于 D 函数 y＝lg|x＋1|关于 x＝－1 对称且在(－1，＋∞)上单调递增； 故选 D. 5．A ∵f(x＋2)＝f(x－2)，y＝f(x＋2)关于 y 轴对称，∴f(x)是以 4 为周期的周期函数，其图象的对称轴为 x＝2，∵当 x∈(0,2)时，f(x) ＝log2x2，∴f(x)在区间(0,2)是增函数；∴f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝f(2 ＋1)＝f(2－1)＝f(1)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(2＋0.5)＝f(2－0.5)＝f(1.5)，∵0 ＜0.5＜1＜1.5＜2，且函数 y＝f(x)在区间[0,2]上是增函数，∴f(0.5)＜ f(1)＜f(1.5)，即 f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)，故选 A. 6．A ∵f(10＋x)为偶函数，∴f(10＋x) ＝ f(10－x)．∴f(x)有两 条对称轴 x ＝ 5 与 x ＝10 ，因此 f(x)是以 10 为其一个周期的周期 函数， ∴x ＝0 即 y 轴也是 f(x)的对称轴，因此 f(x)还是一个偶函数． 7．C 由于当 x≥0 时，有 f(x＋1)＝－f(x)，所以 f(x＋2)＝－f(x ＋1)＝f(x)， 从而当 x∈[1,2)时，x－1∈[0,1)，有 f(x－1)＝log2x， 又 f((x － 1) ＋ 1) ＝－ f(x － 1) ⇒ f(x － 1) ＝－ f(x) ＝ log2x ⇒ f(x) ＝－ log2x log2x＋1，x∈[0，1 即 f(x)＝ ； －log2x，x∈[1，2 再注意 f(x)为定义在 R 上的偶函数，所以可作出函数 f(x)的图象 如下：
①f(2014)＋f(－2015)＝0； ②函数 f(x)在定义域上是周期为 2 的函数； ③直线 y＝x 与函数 f(x)的图象有 2 个交点； ④函数 f(x)的值域为(－1,1)． 其中正确的是( ) A．①② B．②③ C．①④ D．①②③④ 1＋x 8．已知 f(x)＝ ，f (x)＝f[fx]，f2(x)＝f[f1x]，…，fn＋1(x)＝ 1－3x 1 f[fnx]，则 f2016(－2)＝( ) 1 1 A．－7 B. 7 3 C. －5 D．3 二、填空题 9．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y＝f(x)的图象关于直线 x 1 ＝2对称，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝ __________. 10． (2016· 四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函 5 数，当 0＜x＜1 时，f(x)＝4x，则 f(－2)＋f(1)＝__________. 11．(2016· 太原期末)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋6)＝f(x)， 当 x∈[－3， －1)时， f(x)＝－(x＋2)2， 当 x∈[－1,3)时， f(x)＝x， 则 f(1) ＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2016)＝__________. 三、解答题 12．设 f(x)是定义在区间(－∞，＋∞)上且以 2 为周期的函数， 对 k∈Z， 用 Ik 表示区间(2k－1,2k＋1)， 已知当 x∈I0 时， f(x)＝x2.求 f(x) 在 Ik 上的解析式．
对于①f(2014)＋f(－2015)＝f(2×1007＋0)＋f(2015) ＝f(0)＋f(2×1007＋1)＝0＋f(1)＝－log21＝0， 故①正确； 排除 B； 对于②由图象可知函数不是周期函数，故②是错误的；排除 A、 D； 对于③由图象可知直线 y＝x 与函数 f(x)的图象只有 1 个交点， 故 ③错误； 对于④由图象可知函数的值域为(－1,1)，故④正确． 故选 C. 1＋x x－1 8．A 由 f(x)＝ ，知 f1(x)＝ ， 1－3x 3x＋1 x－ 1 ＝x，f3(x)＝f(x)． f2(x)＝f 3x＋1 f(x)为周期函数，故 f3n(x)＝f(x)，f2016(x)＝f(x)，f2016(－2)＝f(－2) 1 ＝－7. 9．0 解析：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)， 1 又∵f(x)的图象关于直线 x＝2对称， ∴f(x)＝f(1－x)＝－f(－x)＝－f(2－x)⇒f(x)＝f(x＋2)，在 f(x)＝f(1 －x)中， 令 x＝0， ∴f(0)＝f(1)＝0， ∴f(0)＝f(1)＝…＝f(5)＝0， ∴f(1)＋f(2) ＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 10．－2 解析：因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0. 又 f(x)＝－f(－x)，f(x＋2)＝f(x)，所以 f(x＋1)＝－f(1－x)，令 x ＝0，得 f(1)＝－f(1)，所以 f(1)＝0. 5 1 1 1 f(－2)＝f(－2－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－2， 5 所以 f(－2)＋f(1)＝－2. 11．336
解析：由题意得 f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－ 2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以数列{f(n)}从第一项起， 每连续 6 项的和为 1，则 f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝336×1＝336. 12．解：设 x∈(2k－1,2k＋1)k∈Z，∴2k－1<x<2k＋1⇒－1<x－2k<1 ∵x∈I0 时，有 f(x)＝x2，∴由－1<x－2k<1 得 f(x－2k)＝(x－2k)2 ∵f(x)是以 2 为周期的函数，∴f(x－2k)＝f(x)， ∴f(x)＝(x－2k)2，k∈Z.
函数的周期性与对称性及性质的综合应用 1.A 由已知对称轴为 x＝2，由于抛物线开口向上，所以越靠近 对称轴值越小． 2． A 图象关于点(2，0)对称． f(x)在区Байду номын сангаас(2，＋∞)上单调递增， 在区间(－∞，2)上也单调递增．我们可以把该函数想象成是奇函数 向右平移了两个单位． ∵2<x2<4－x1， 且函数在(2，＋∞)上单调递增，
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函数的周期性与对称性及性质的综合应用
一、选择题 1．若函数 f(x)＝x2＋bx＋c 对一切实数都有 f(2＋x) ＝ f(2－x) 则( ) A．f(2)<f(1)< f(4) B．f(1)<f(2)< f(4) C．f(2)<f(4)< f(1) D．f(4)<f(2)< f(1) 2．已知定义为 R 的函数 f(x)满足 f(－x)＝－f(x＋4)，且函数 f(x) 在区间(2，＋∞)上单调递增．如果 x1<2<x2，且 x1＋x2<4，则 f(x1)＋ f(x2)的值( ) A．恒小于 0 B．恒大于 0 C．可能为 0 D．可正可负 3． 已知 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数， 当 x∈(0,2]时， f(x) x ＝2 ＋log2x，则 f(2015)＝( ) 1 A．－2 B.2 C．2 D．5 4．下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间(0，＋∞)上单 调递增的是 ( ) 1 A．y＝x B．y＝－x2＋1 C．y＝2x D．y＝lg|x＋1| 5．已知函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x－2)，y＝f(x－2)关于 y 轴对称， 当 x∈(0,2)时，f(x)＝log2x2，则下列结论中正确的是( ) A．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5) B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5) C．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5) D．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7) 6．定义在 R 上的非常数函数满足：f(10＋x)为偶函数，且 f(5－ x)＝f(5＋x)，则 f(x)一定是( ) A．是偶函数，也是周期函数 B．是偶函数，但不是周期函数 C．是奇函数，也是周期函数 D．是奇函数，但不是周期函数 7．已知 f(x)为定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，有 f(x＋1)＝－ f(x)，且当 x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题