3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
课时目标
1.理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.理解直线的方向向量与平面的法向量在确定直线与平面时的作用．
1．直线的方向向量
直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的______________．
2．平面的法向量
如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n __________平面α，记作________，此时把向量n 叫做平面α的__________．
3．平面法向量与平面内点之间的关系
在空间直角坐标系内，设平面α经过点P (x 0，y 0，z 0)，平面α的法向量n ＝(A ，B ，C )，M (x ，y ，z )为平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式为______________________．
一、填空题
1.已知A （3,5,2），B （-1,2,1），把AB →按向量a ＝(2,1,1)平移后所得的向量是________．
2．从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为________．
3．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________；y ＝________.
4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________.
5．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝________.
6．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则l 的一个方向向量a |a |
＝ ________________________________________________________________________. 7.
如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a＝________.
8．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为
________________________．
二、解答题
9．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．
10．△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，设M(x，y，z)是平面ABC上任一点．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求x，y，z满足的关系式．
能力提升
11.
在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示，求平面CMN 的一个法向量．
12.
如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．
求证：EF →是平面AB 1C 的法向量．
1．直线的方向向量是一个很重要的概念．由定点A 和方向向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点；还可确定直线共线的条件，计算两条直线所成的角等．
2．求解平面的法向量
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．
3．由平面的法向量和平面内一点可得到平面上任一点坐标满足的关系式．
3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量
知识梳理
1．方向向量
2．垂直于 n ⊥α 法向量
3．A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0)＝0
作业设计
1．(－4，－3，－1)
解析 AB →＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的，所以平移后的向量
和向量AB →相等．
2．(18,17，－17)
解析 设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7)＝λ(8,9，－12)，λ>0.
故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ，又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342，
得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．
3．6 152
解析 ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则有2x ＝12且2y ＝15，
解方程得x ＝6，y ＝152
. 4．4
解析 α∥β(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)，
∴λ＝－2，k ＝4.
5．－8
解析 (2，m,1)·⎝⎛⎭
⎫1，12，2＝0，得m ＝－8. 6.⎝⎛⎭⎫1414
，147，31414或⎝⎛⎭⎫－1414，－147，－31414 7．2
解析 以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，
设Q (1，y,0)，P (0,0，b )，D (0，a,0)，所以PQ →＝(1，y ，－b )，QD →＝(－1，a －y,0)，由PQ ⊥QD
得－1＋y (a －y )＋0＝0，即y 2－ay ＋1＝0有等根，所以Δ＝0，即a 2－4＝0，得a ＝2.
8.⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 9．解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，
∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)，
设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.
即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2y z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.
∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．
10．解 (1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )，
∵AB →＝(2,4，－1)，AC →＝(2,2,1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
c ＝b a ＝－32b . 故可取n ＝(－3,2,2)．
∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3,2,2)．
(2)∵点M (x ，y ，z )是平面ABC 上任一点，
∴－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0.
∴3x －2y －2z －1＝0.
这就是所求的x 、y 、z 满足的关系式．
11．
解 取AC 中点O ，连结OS 、OB .
∵SA ＝SC ，AB ＝BC ，
∴CA ⊥SO 且AC ⊥BO .
∵平面SAC ⊥平面ABC ，
平面SAC ∩平面ABC ＝AC ，
∴SO ⊥平面ABC ，
∴SO ⊥BO .
如图所示建立空间直角坐标系O —xyz ， 则A (2,0,0)，B (0,23，0)，
C (－2,0,0)，S (0,0,22)，
M (1，3，0)，N (0，3，2)．
∴CM →＝(3，3，0)，MN →＝(－1,0，2)．
设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧
CM →·n ＝3x ＋3y ＝0MN →·
n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1， 则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1)． 因此平面CMN 的一个法向量为(2，－6，1)． 12．
证明 分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
不妨设|AB →|＝2，
则E (2,2,1)，F (1,1,2)，
A (2,0,0)，
B 1(2,2,2)，
C (0,2,0)．
∴EF →＝(－1，－1,1)，AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →·AB 1→＝－2＋2＝0，EF →·AC →＝2－2＝0.
∴ ⎭⎪
⎬⎪
⎫EF →⊥AB 1→
EF →⊥AC →EF →⊥平面AB 1C . ∴EF →是平面AB 1C 的法向量．。