常微分方程自学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程21y dxdy-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程y x dxdy/-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.14⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y yx dxdy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程534y x y dx dy =++⎪⎭⎫ ⎝⎛的阶数为_______________.17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y Λ在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组Y =)(x A dxdy的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 二 单项选择:1 方程y x dxdy +=-31满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程1+=y dxdy ( ) 奇解.(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个 3 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).(A) 1=y (B)x y = (C) x y sin = (D)xe y = 4 方程x e y y x==-''的一个特解*y 形如( ).(A)b ae x= (B)bx axe x+ (C)c bx ae x++ (D)c bx axe x++ 5 )(y f 连续可微是保证方程)(y f dxdy=解存在且唯一的( )条件． （A ）必要 （B ）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间7 方程323y dxdy=过点(0,0)有( ). (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解8 初值问题 ⎝⎛=10'x ⎪⎪⎭⎫01x , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(x 在区间,∞<<∞-t 上的解是( ).(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t u t )( (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t e u t )( (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e t u t )( (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=e e u t )( 9 方程0cos 2=++x y x dxdy是( ). (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 （C)超越方程 (D)二阶线性方程10 方程032=+⎪⎭⎫⎝⎛dx dy dx dy 的通解是( ).(A)xeC C 321+ (B) xeC x C 321-+ (C)xeC C 321-+ (D)xeC 32-11 方程0442=++⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy dx dy 的一个基本解组是( ).(A) xex 2,- (B)xe2,1- (C)xex 22,- (D)x xxe e22,--12 若y1和y2是方程0)()(2=++⎪⎭⎫⎝⎛y x q dx dy x p dx dy 的两个解,则2211y e y e y += （e 1,e 2为任意常数）(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解 13 方程21y dxdy-=过点(0,0)的解为x y sin =,此解存在( ). (A)),(+∞-∞ (B) ]0,(-∞ (C)),0[+∞ (D)]2,2[ππ- 14 方程xe y x y -=23'是( ) .(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程 15 微分方程01=-y x dx dy 的通解是( ). (A) x c y = (B) cx y = (C)c xy +=1(D)c x y +=16 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ). (A)1=y (B)x y = (C)x y sin = (D)xe y = 17 方程x e y y x+=-''的一个数解xy 形如( ).(A) b ae x+ (B)bx axe x+ (C)c bx ae x++ (D)c bx axe x++ 18 初值问题 ⎝⎛10'x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫11)0(;01x x 在区间∞<<∞-t 上的解是( ). (A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t u t )( (B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-t e u t t )( (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t t e t u )( (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--t t t e e u )(三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通积分: (1)ny y dxdy1= (2)x y x y dx dy +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21 (3)5xy y dxdy+= (4)0)(222=-+dy y x xydx (5)3)'(2'y xy y += 2 求方程的解 01)4()5(=-x tx 3 解方程:x y dxdycos 2=并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解 4 求方程:x y tg x y dx dy += 5求方程: 26xy xydx dy -=的通解 6 求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解.7 求解方程: 022244=++x dt xd dt x d 8 求方程:014455=-dt x d t dt x d 的解 9 求方程25'5''x y y -=-的通解10 求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x dtdy ty dt dx sin 111求初值问题⎩⎨⎧=--=0)1('y yx y 11:≤+x R 1≤y 的解的存在区间并求出第二次近似解12 求方程的通解 (1)2y x y dx dy += (2) xy x y dx dy tan += (3) 0)4()3(2=---dy x y dx x y (三种方法) (4)04524=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy13 计算方程 x y y 2sin 34''=+的通解14计算方程 t x dtdxdt x d cos 442=+- 15 求下列常系数线性微分方程: xxe y y y 210'2''=+-16 试求⎢⎣⎡=02x⎥⎦⎤21x 的基解矩阵 17 试求矩阵⎢⎣⎡-=12A ⎥⎦⎤41的特征值和对应的特征向量. 18 试求矩阵⎢⎣⎡-=53A ⎥⎦⎤35的特征值和特征向量 19 解方程组⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13''21y y ⎪⎪⎭⎫22 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21y y 四 名词解释1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程4伯努利方程 5Lipschitz 条件 6 线性相关 五 证明题1在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中已知p(x);q(x)在);(+∞-∞上连续 求证:该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切. 2 设x 1(t)、x 2(t)分别是非齐次性线方程)()()(1111t f x t G dt xd t G dt x d n n n n n =+++--Λ )()()(2111t f x t G dtxd t G dt x d n n n nn =+++--Λ 证明：x 1(t)+x 2(t)是方程)()()()(21111t f t f x t G dtxd t G dt x d n n n n n +=+++--Λ的解。

3设f (x)在[0；+∞]上连续且lim f (x)=0求证：方程)(x f y dxdy=+的一切解y(x)； 均有lim y (x)=04 在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中p(x)、q(x)在（+∞∞-,）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w （x ）是（+∞∞-,）上的严格单调函数。

5证明：x 1(t)+x 2(t)是方程)()()(2111t f x a dtx d t c de x d tn n n n n ++++--Λ的解。

6证明：函数组x xx n e e e λλλΛ21,（其中当j i ≠时j i λλ≠）在任意区间（a ,b ）上线性无关。

常微分方程习题答案一 填空题: 1、 22、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3、 e x ; xe x4、 开5、 1±=y∞→x ∞→x6、 ydt x x ⎰=17、 c t )(φ,c 为常数列向量 8、 y=x 2+c 9、 初始10、常微分方程 11、e ⎰p(x)dx12、x 2+y 2=c ; c 为任意正常数 13、/ 14、⎪⎭⎫⎝⎛-21;21 15、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=261656665p p y c p x16、4 17、018、c x )(φ；其中c 是确定的n 维常数列向量二 单项选择1、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A 10、C 11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D 三 求下列方程的解1 (1）解：当1,0≠≠y y 时，分离变量取不定积分，得⎰⎰+=C dx ny y dy1 通积分为 1ny= Ce x （2）解：令y= xu , 则,dxdux u dx dy +=代入原方程，得 21u dxdux-= 分离变量，取不定积分，得⎰⎰+=-nC xdxu du 112（0≠C ） 通积分为：nCx xy1arcsin= （3） 解： 方程两端同乘以 y -5,得x y dxdyy+=--45令y -4= z ，则,4y -5-dxdz dx dy =代入上式，得 x z dxdz=--41通解为414+-=-x Ce z x 原方程通解为 4144+-=--x Ce yx（4） 解： 因为xNx y M ∂∂==∂∂2 ， 所以原方程是全微分方程。