七上数学《二元一次方程组》培优训练题一、用换元法解下列方程组：
（1）
5
34
11
34
x y x y
x y x y
+-
⎧
-=
⎪⎪
⎨
+-
⎪+=
⎪⎩
（2）
⎩
⎨
⎧
=
-
+
-
-
=
-
5
)1
(
)2
(2
)1
(2
2
y
x
y
x
（3）
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
-
+
+
=
-
+
+
1
2
1
3
2
2
2
1
3
2
y
x
y
x
（4）
2332
2
25
3(23)2(32)25
236
x y x y
x y x y
++
⎧
=+
⎪⎪
⎨
++
⎪=+
⎪⎩
（5）
43
10
3225
52
1
3225
x y x y
x y x y
⎧
+=
⎪--
⎪
⎨
⎪-=
⎪--
⎩
（6）
4
239
x y x
x y x
⎧++=
⎪
⎨
++=
⎪⎩
二、用倒数法解下列问题： 例：解方程组：13281
237
xy x y xy x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩
练习：已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，求abc ab bc ca
++的值.
三、二元一次方程组解的讨论
二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222
111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ①当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解（两个方程等效）；②当2
12121c c b b a a ≠=时，方程组无解（两个方程是矛盾的）；③当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=--=12212
11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得）
例.选择一组a 、c 值，使方程组⎩
⎨⎧=+=+c y ax y x 275：①有无数多解；②无解；③有唯一的解.
练习：1.不解方程组，判定下列方程组解的情况：
①⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ； ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ； ③⎩
⎨⎧=-=+153153y x y x
2.k 、b 为何值时，方程组(31)2
y kx b y k x =+⎧⎨=-+⎩：①有无数多解；②无解；③有唯一的解.
四、一次不定方程的解法
例.小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？
练习：求不定方程x -y=2的正整数解．
总结：定理 如果a ，b 是互质的正整数，c 是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x 0，y 0则此方程的一
切整数解可以表示为00x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩
（其中t=0，±1，±2，±3，…） 证明： 因为x 0，y 0是方程①的整数解，当然满足ax 0+by 0=c ， ②
因此a(x 0-bt)+b(y 0+at)=ax 0+by 0=c ．
这表明x=x 0-bt ，y=y 0+at 也是方程①的解．
设x ＇，y ＇是方程①的任一整数解，则有：ax ＇+bx ＇=c. ③
③-②得：a(x ＇-x 0)=b ＇(y ＇-y 0)． ④
由于(a ，b)=1，所以a ｜y ＇-y 0，即y ＇=y 0+at ，其中t 是整数．将y ＇=y 0+at 代入④，即得x ＇=x 0-bt ．因此x ＇， y ＇可以表示成x=x 0-bt ，y=y 0+at 的形式，所以x=x 0-bt ，y=y 0+at 表示方程①的一切整数解，命题得证．
练习：1.求11x+15y=7的整数解．
2.求方程6x+22y=90的非负整数解．
3.某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？。