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运动学
第七章 刚体的简单运动
刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体 的两种简单的运动 — 平移和定轴转动。这 是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂 运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动(平移)
由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺 寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的 位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动 形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。
（2）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速度 a 的方
向与半径间的夹角 都相同。
速度分布图
加速度分布图 16
运动学
例 题 7-2
第七章ห้องสมุดไป่ตู้刚体的简单运动
M O αω
A
滑轮的半径r=0.2 m，可绕 水平轴O转动，轮缘上缠有不可 伸长的细绳，绳的一端挂有物体 A（如图），已知滑轮绕轴O的
转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2 s时轮缘上M
工程中常用单位还有 n 转/分(r / min)
n与w 的关系为:
w 2πn πn
60 30
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第七章 刚体的简单运动
角加速度:
lim
t 0
w
t
dw
dt
d 2
dt 2
单位: rad/s2
如果与w 同号，则为加速转动, 反之则为减速转动
下面讨论两种特殊情况。
（1）匀速转动
当w =常数,为匀速转动时。有 = 0+ w t
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第七章 刚体的简单运动
例 题 7- 1
解：
O1 φl
A O
（+）
O2 l
M
B
由于两条钢索O1A和O2B的长度相 等，并且相互平行，于是荡木AB在运
动中始终平行于直线O1O2，故荡木作 平移。
为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速
度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规
π2 16
l02
cos2
πt 4
代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在
这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
t (s) φ(rad) 00
v (m·s－1)
at (m·s－
2)
π 4
（0 水平向右）
0
an (m·s－2)
π2 16
02（l 铅直向上）
2 φ0
0
点和物体A的速度和加速度。
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例 题 7-2
vM M
O αω
A
第七章 刚体的简单运动
解：
首先根据滑轮的转动规律，求得
它的角速度和角加速度
w 0.45t2 0.9t
代入 t =2 s， 得
w 1.8 rad s－1 , 1.8 rad s－2
轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为
当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆 周运动，圆心在转轴上，圆心所在平面与转 轴垂直，半径R等于该点到轴线的距离。
用自然法， 点在 t时间内，走过的弧长为
s= R
速度 v dS lim S dt t0 t
lim R Rw
t0 t
v wR
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切向加速度为
at
π 16
0l
0
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第七章 刚体的简单运动
§7-2 刚体绕定轴的转动
1.刚体定轴转动的特征及其简 化
特点:刚体在运动时，其上 或其扩展部分有两点保持不动， 这种运动称为刚体绕定轴的转 动。该两点的连线称为刚体的 转轴。
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第七章 刚体的简单运动
2.定轴转动刚体的转动方程
如图所示转角,是固定面A与固连在转动 刚体上的动平面B的夹角。 确定了刚体 的位置，它的符号规定如下：从z 轴正
定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为
s
0l sin
πt 4
将上式对时间求导，得A点的速度
v
ds dt
π 4
l0
cos
π 4
t
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例 题 7- 1
再求一次导，得A点的切向加速度
O1 φl
O2
at
dv dt
π2 16
l0
sin
πt 4
l
A点的法向加速度
A
M
B
O
（+）
an
v2 l
向看去,逆时针为正 ，顺时针为负。因 而刚体绕定轴转动的运动方程为
= f (t) 单位用弧度(rad)
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3. 定轴转动刚体的角速度和角加速度
角速度：
w lim Δ d (代数量)
Δt0 Δt dt
角速度也为代数量。其正负号这样来确 定，从 z 轴的正端向负瑞看，刚体逆时 针转动为正，顺时针转动为负。单位用 rad/s(弧度/秒）。
这里 0是 t = 0 时转角 的值。 12
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(2) 匀变速转动
当 =常数,为匀变速转动时。有
w w0 t
0
w0t
1 t 2
2
w 2 w02 2 ( 0 )
这里 0和w 0是t = 0 时转角和角速度。
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§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
drA dt
vA
( drAB 0) dt
同理 :
aB
d 2 rB dt 2
d2 dt 2
(rA rAB )
d 2 rA dt 2
aA
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第七章 刚体的简单运动
由于点A和点B是刚体上的任意两点，因此可以 得出如下结论
平移刚体在任一瞬时速度,加速度都一样，各点的运动轨迹
形状相同。
即:平移刚体的运动可以简化为一个点的运动。
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例 题 7- 1
第七章 刚体的简单运动
O1 l
A O
（+）
O2 l
M
B
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索
长为长l，度单位为m。当荡
木摆动时钢索的摆动规律
为 时
0 sin
间，单位为s
π t，其中 t ；4转角φ0的
为 单
位为rad，试求当t=0和t=2 s时，
荡木的中点M的速度和加速度。
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第七章 刚体的简单运动
1.刚体平移的定义:
刚体在运动中,其上任意两点的连线始终与它的初始位置 平行，这种运动称为平行移动，简称平移。
2.刚体平移的特点: 如图所示，由刚体平移 的定义， rAB 常矢量
rB rA rAB
vB
drB dt
d dt
(rA
rAB )
dv dt
d dt
(wR)
dw
dt
R
R,
法向加速度为
an
v2
(wR)2
R
Rw 2
全加速度大小为
a an2 at 2 R 2 w 4 方向为 tan at R
an w 2R w 2
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第七章 刚体的简单运动
结论: （1）在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。