概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲? 乙? 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹? 设事件A ? B ? C 分别表示甲? 乙? 丙击中目标? 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示.事件E ?{事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABC ABC ABC ABC =+++或;AB AC BC =U U 或;AB AC BC =U U 或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++(和A B +即并A B U ,当,A B 互斥即AB φ=时?A B U 常记为A B +?)2. 设M 件产品中含m 件次品? 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221M m M C C --或1122(21)(1)m M m m MC C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只? 计算以下事件的概率.A ?{8只鞋子均不成双},B ?{恰有2只鞋子成双},C ?{恰有4只鞋子成双}. ★4. 设某批产品共50件? 其中有5件次品? 现从中任取3件? 求?(1)其中无次品的概率? (2)其中恰有一件次品的概率? (1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392C C C == 5. 从1～9九个数字中? 任取3个排成一个三位数? 求?(1)所得三位数为偶数的概率? (2)所得三位数为奇数的概率?(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4},9=(2){P三位数为奇数}{P=尾数为奇数5 },9 =或{P三位数为奇数}1{P=-三位数为偶数45 }1.99 =-=6.某办公室10名员工编号从1到10?任选3人记录其号码?求?(1)最小号码为5的概率?(2)最大号码为5的概率?记事件A?{最小号码为5}, B?{最大号码为5}.(1)253101();12CP AC==(2)243101().20CP BC==7.袋中有红、黄、白色球各一个?每次从袋中任取一球?记下颜色后放回?共取球三次?求下列事件的概率:A={全红}?B={颜色全同}?C={颜色全不同}?D={颜色不全同}?E={无黄色球}?F={无红色且无黄色球}?G={全红或全黄}.☆.某班n个男生m个女生(m?n?1)随机排成一列? 计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0? 1]线段上任取两点将线段截成三段? 计算三段可组成三角形的概率.第二次作业1. 设A? B为随机事件? P(A)?? P(B)?? (|)0.85P B A=? 求?(1)(|)P A B?(2)()P A B∪?(1)()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P ABP B A P ABP A====⨯=-(2)()()()()P A B P A P B P AB=+-U0.920.930.8620.988.=+-=2. 投两颗骰子?已知两颗骰子点数之和为7?求其中有一颗为1点的概率. 记事件A?{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B?{(1,6),(6,1)}.★.在1—2000中任取一整数? 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率?记事件A ?{能被5除尽}, B ?{能被7除尽}.4001(),20005P A ==取整2000285,7⎡⎤=⎢⎥⎣⎦28557(),2000400P B ==200057,57⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦57(),2000P AB = 3. 由长期统计资料得知? 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15? 刮风(用B 表示)的概率为7/15? 既刮风又下雨的概率为1/10? 求P (A |B )、P (B |A )、P (A ?B )?4? 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2?若第一次落下未摔破?第二次落下时摔破的概率是7/10?若前二次落下未摔破?第三次落下时摔破的概率是9/10?试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破}?1,2,3.i =5? 设在n 张彩票中有一张奖券?有3个人参加抽奖?分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券}?1,2,3.i = 由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n=== 或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n-====- 或 第一个人中奖概率为11(),P A n = 前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21(),P A n=前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31().P A n= 6? 甲、乙两人射击? 甲击中的概率为0?8? 乙击中的概率为0?7? 两人同时射击? 假定中靶与否是独立的?求(1)两人都中靶的概率? (2)甲中乙不中的概率?(3)甲不中乙中的概率?记事件A ={甲中靶}?B ={乙中靶}.(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==⨯=(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-=(3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=★7? 袋中有a 个红球? b 个黑球? 有放回从袋中摸球? 计算以下事件的概率?(1)A ?{在n 次摸球中有k 次摸到红球}?(2)B ?{第k 次首次摸到红球}?(3)C ?{第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}? (1) ();()k n k k n k k k n n n a b a b P A C C a b a b a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(2) 11();()k k kb a ab P B a b a b a b --⎛⎫== ⎪+++⎝⎭ (3) 1111().()r k r r k r r r k k k a b a b P C C C a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 8?一射手对一目标独立地射击4次? 已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率?设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133q q p q =-===-=9? 设某种高射炮命中目标的概率为? 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以的概率命中目标?(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥☆.证明一般加法(容斥)公式证明 只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +⊂L L L 只计算1次概率．(1,,n i i L 是1,,n L 的一个排列?1,2,,.k n =L )分块概率重数为1,,k i i A A L 中任取1个-任取2个1(1)k -++-L 任取k 个?即将,U I 互换可得对偶加法(容斥)公式☆.证明 若A ? B 独立? A ? C 独立? 则A ? B ∪C 独立的充要条件是A ? BC 独立. 证明充分性:⇐(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-U 代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C =U 即,A B C U 独立.必要性:⇒()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立． 证明 因为所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立.第三次作业1? 在做一道有4个答案的选择题时?如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测? 设他知道问题的正确答案的概率为p? 分别就p?和p?两种情形求下列事件概率?(1)学生答对该选择题? (2)已知学生答对了选择题?求学生确实知道正确答案的概率?记事件A={知道问题正确答案}?B={答对选择题}.(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A=+113,444p p p-=+=+当0.6p=时?13130.67()0.7, 444410pP B⨯=+=+==当0.3p=时?13130.319()0.475.444440pP B⨯=+=+==(2) 由贝叶斯公式得()4 (|),13()1344P AB p p P A BpP B p===++当0.6p=时?440.66 (|),13130.67pP A Bp⨯===++⨯当0.3p=时?440.312 (|).13130.319pP A Bp⨯===++⨯2? 某单位同时装有两种报警系统A与B? 当报警系统A单独使用时? 其有效的概率为? 当报警系统B单独使用时? 其有效的概率为.在报警系统A有效的条件下? 报警系统B有效的概率为.计算以下概率? (1)两种报警系统都有效的概率?(2)在报警系统B有效的条件下? 报警系统A有效的概率? (3)两种报警系统都失灵的概率.(1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A==⨯=(2)()0.588(|)0.735,()0.8P ABP A BP B===(3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB==-=--+U U☆.为防止意外? 在矿内同时设有两种报警系统A与B? 每种系统单独使用时? 其有效的概率系统A为0? 92? 系统B为? 在A失灵的条件下? B有效的概率为?? 求: (1)发生意外时? 两个报警系统至少有一个有效的概率? (2) B失灵的条件下? A有效的概率?3? 设有甲、乙两袋? 甲袋中有n只白球? m只红球? 乙袋中有N只白球? M只红球?从甲袋中任取一球放入乙袋? 在从乙袋中任取一球? 问取到白球的概率是多少?记事件A={从甲袋中取到白球}?B={从乙袋中取到白球}.由全概率公式得☆.设有五个袋子? 其中两个袋子? 每袋有2个白球? 3个黑球? 另外两个袋子? 每袋有1个白球? 4个黑球? 还有一个袋子有4个白球? 1个黑球? (1)从五个袋子中任挑一袋? 并从这袋中任取一球? 求此球为白球的概率? (2)从不同的三个袋中任挑一袋? 并由其中任取一球? 结果是白球? 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4? 发报台分别以概率0?6和0?4发出信号“·” 及“?”? 由于通信系统受到于扰? 当发出信号“·” 时? 收报台分别以概率0?8及0?2收到信息“·” 及“?”? 又当发出信号“?” 时? 收报台分别以概率0?9及0?l收到信号“?” 及“·”? 求: (1)收报台收到“·”的概率?(2)收报台收到“?”的概率?(3)当收报台收到“·” 时? 发报台确系发出信号“·” 的概率?(4)收到“?” 时? 确系发出“?” 的概率?记事件B ={收到信号 “·”}?1A ={发出信号 “·”}?2A ={发出信号“?”}.(1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-= (3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.8120.923;0.5213⨯=== (4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.40.930.75.0.484⨯=== 5? 对以往数据分析结果表明? 当机器调整良好时? 产品合格率为90%? 而机器发生某一故障时? 产品合格率为30%? 每天早上机器开动时? 机器调整良好的概率为75%?(1)求机器产品合格率?(2)已知某日早上第一件产品是合格品? 求机器调整良好的概率?记事件B ={产品合格}?A ={机器调整良好}.(1) 由全概率公式得(2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B ==0.750.90.9.0.75⨯== ☆.系统(A)? (B)? (C)图如下? 系统(A)? (B)由4个元件组成? 系统(C)由5个元件组成? 每个元件的可靠性为p ? 即元件正常工作的概率为p ? 试求整个系统的可靠性.(A) (B) (C)记事件A ={元件5正常}?B ={系统正常}.(A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+(B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p=---=-(C) 由全概率公式得第四次作业1? 在15个同型零件中有2个次品? 从中任取3个? 以X表示取出的次品的个数? 求X的分布律.☆.经销一批水果? 第一天售出的概率是? 每公斤获利8元? 第二天售出的概率是? 每公斤获利5元? 第三天售出的概率是? 每公斤亏损3元? 求经销这批水果每公斤赢利X的概率分布律和分布函数?2? 抛掷一枚不均匀的硬币? 每次出现正面的概率为2/3? 连续抛掷8次? 以X 表示出现正面的次数? 求X的分布律.3? 一射击运动员的击中靶心的命中率为? 以X表示他首次击中靶心时累计已射击的次数? 写出X的分布律? 并计算X取偶数的概率?解得0.6513()=0.394.110.6533qP Xq==++B偶4? 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机? 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为?求在同一时刻?(1)恰有2个刷卡机被使用的概率?(2)至少有3个刷卡机被使用的概率?(3)至多有3个刷卡机被使用的概率?(4)至少有一个刷卡机被使用的概率? 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==:(1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C ==⨯⨯= (2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==⨯⨯+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=5? 某汽车从起点驶出时有40名乘客? 设沿途共有4个停靠站? 且该车只下不上? 每个乘客在每个站下车的概率相等? 并且相互独立? 试求? (1)全在终点站下车的概率? (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率? (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率?记事件A ={任一乘客在终点站下车}?乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==: (1) 40231(40)8.271810,4P X -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭(2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车}?乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==:2020202040404011(20)0.1268.222C P Y C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(精确值)应用斯特林公式!,nn n e ⎫⎪⎭其中 1.7724538509.π==参?贝努利分布的正态近似?6? 已知瓷器在运输过程中受损的概率是? 有2000件瓷器运到? 求? (1)恰有2个受损的概率? (2)小于2个受损的概率? (3)多于2个受损的概率? (4)至少有1个受损的概率?受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==:近似为泊松分布(4).P n p λ=⨯=(1) 2441480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(3) 431211130.761897,P P P e-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=7? 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为的泊松分布? 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品? 求产品的合格品率?产品合格品率2 1.2 1.21.2 1.21 2.920.879487.1!2!P e e --⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭ ★8? 设随机变量X 的分布律是求?X 的分布函数? 以及概率(36),(1),(5),(||5).P X P X P X P X <≤>≤≤随机变量X 的分布函数为 第五次作业1? 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位? 小时)? 其密度函数是 试求? (1)系数k ? (2)X 的分布函数? (3)在15分钟内完成一道作业的概率? (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率? (1) 0.50.52320111(0.5),21,32248kk F kx xdx x x k ⎛⎫==+=+=+= ⎪⎝⎭⎰(2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x x F x P X x x xdx x x x F x <⎧⎪⎪=≤=+=+≤<⎨⎪=≥⎪⎩⎰(3) 322011119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰(4) 3212316111111129217.6336424108P X F F x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2? 设连续型随机变量X 服从区间[?a ? a ](a ?0)上的均匀分布? 且已知概率1(1)3P X >=? 求? (1)常数a ? (2)概率1()3P X <?(1) 1111(1),3,223aa P X dx a a a ->====⎰(2) 13311115()3.36639P X dx -⎛⎫<==+= ⎪⎝⎭⎰3? 设某元件的寿命X 服从参数为? 的指数分布? 且已知概率P (X ?50)?e ?4? 试求?(1)参数? 的值? (2)概率P (25?X ?100) ?补分布()()|,0.x x xx x S x P X x e dx e ex θθθθ+∞--+∞->==-=>⎰@(1) 504502(50)(50),0.08,25x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====⎰ (2) 由()(),,0,rx r S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1,2,2r =得其中 2.7182818284.e B4? 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布? 求? (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率? (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率? (1) 1312008002(1200)0.2231301602,P X ee-⨯->===1.6487212707001.= (2) 932(1200)0.0111089965.P X e->==5? 设X ~N (0? 1)? 求? P (X ?0?61)? P (?2?62?X ?1?25)? P (X ?1?34)? P (|X |?2?13)? (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=(2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-=(4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-⨯=6? 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4? 19)? 设飞机上午10? 10从甲地起飞? 求? (1)飞机下午2? 30以后到达乙地的概率? (2)飞机下午2? 10以前到达乙地的概率? (3)飞机在下午1? 40至2? 20之间到达乙地的概率? (1)131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) (4)(0)0.5,P X<=Φ=(3)72525/647/24261/31/3P X--⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭★7? 设某校高三女学生的身高X~N(162? 25)? 求? (1)从中任取1个女学生? 求其身高超过165的概率? (2)从中任取1个女学生? 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率? (3)从中任取6个女学生? 求其中至少有2个身高超过165的概率?(1)162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55XP X P--⎛⎫>=>==-Φ=-=⎪⎝⎭(2)162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5XP X P⎛-⎫-<=<=Φ-=⨯-=⎪⎝⎭(3) 记事件A={任一女生身高超过165}? ()(165)0.2742,p P A P X==>=随机变量Y:贝努利分布(6,0.2742),B n p==第六次作业★1.设随机变量X的分布律为(1)求Y?|X|的? (2)求Y?X2?X的分布律?(1)(2)★.定理（连续型随机变量函数的密度公式） 设连续型变量X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤两边对y 求导,2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥两边对y 求导,因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<<或证明 两边对y 求导, 或两边微分2? 设随机变量X 的密度函数是f X (x )? 求下列随机变量函数的密度函数?(1)Y ?tan X ? (2)1Y X=? (3)Y ?|X |? (1) 反函数()arctan ,x y y ='21(),1x y y =+由连续型随机变量函数的密度公式得 或 反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'21(),1i x y y =+ (2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y==(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--? 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+-> ★3? 设随机变量X ~U [?2? 2]? 求Y ?4X 2?1的密度函数? 两边对y 求导得随机变量Y 的密度为或解 反函数支12()()x y x y ==★4? 设随机变量X 服从参数为1的指数分布? 求Y ?X 2的密度函数(Weibull 分布)?当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时, 两边对y 求导得或 反函数y x ='()()0.Y X y y f y f x x y ==>★5? 设随机变量X~N (0? 1)? 求(1)Y ?e X 的密度函数? (2)Y ?X 2的密度函数(Gamma 分布)?(1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时,因而Y 的密度为或反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ϕϕ=={}2(ln ),0.2y y =-> (2) 当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时,2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=-?两边对y 求导得Y的密度函数为2,0,()0.yY y f y ->=⎩或反函数支12()()x y x y ==6? 设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩? 求Y ?ln X 的概率密度? 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===>第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为1? 2? 3? 4? 5的五个盒子中去? 设X 为落入1号盒的球的个数? Y 为落入2号盒的球的个数? 试求X 和Y 的联合分布律? 1? 袋中装有标上号码1? 2? 2的3个球? 从中任取一个并且不再放回? 然后再从袋中任取一球?? 以X ? Y 分别记第一、二次取到球上的号码数? 求? (1)(X ? Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等)? (2)X ? Y 的边缘分布律? (3)X 与Y 是否独立？(1)(X ? Y )的联合分布律为(2) X ? Y 的分布律相同?12(1),(2).33P X P X ==== (3) X 与Y 不独立?2? 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.x y e e x y F x y --⎧-->=⎨⎩其它 求(,)X Y 联合密度?★3? 设二维随机变量(X ? Y )服从D 上的均匀分布? 其中D 是抛物线y ?x 2和x ?y 2所围成的区域? 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数? 并判断Y X ,是否独立?分布区域面积21312320211,333x S x dx x x ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰联合密度213,1,(,)0,.x y f x y S ⎧=<<<⎪=⎨⎪⎩其它边缘X的密度为22()),01,X x f x dy x x ==<<边缘Y的密度为22()),0 1.Y yf y dy y y ==<<(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立. 4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是问,p q 取何值时X 与Y 相互独立.两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12,.1015p q == ★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.y Ax e x y f x y -⎧-<<>=⎨⎩其它求?(1)常数A ?(2)概率1(0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x )? f Y (y )? (4)X 与Y 是否相互独立？ (1) 2220()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Ax e dy Ax x +∞+∞+∞--====-<<⎰⎰⎰(2) 112201113(0,1)(0)(1).22216y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰ (3) 23(),11,2X f x x x =-<< (4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⋅==⎨⎪⎩其它得X 与Y 独立. 或因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.且,X Y 独立.求?(1)X 的密度?(2) (,)X Y 的联合密度?(1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,y e x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其它.第八次作业★1? 设随机变量(X ? Y )的联合分布律是求函数(1)Z 1?X ?Y ? (2) Z 2?min{X ? Y }? (3) Z 3?max{X ? Y }的分布律? (1)11(0)(0),6P Z P X Y =====1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P X Y ====+===+=(2)2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223(0)1(1).4P Z P Z ==-==(3) 31(0)(0),6P Z P X Y =====2? 设随机变量(X ? Y )的联合分布律是求函数Z?X /Y 的分布律?3? 设X 与Y 相互独立? 概率密度分别为220()00,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩0()00,y Y e y f y x -⎧>=⎨≤⎩试求Z ?X ?Y 的概率密度?★4? 设X ~U (0? 1)? Y ~E (1)? 且X 与Y 独立? 求函数Z ?X ?Y 的密度函数? 当01z <≤时? 当1z >时? 因此★5? 设随机变量(X ? Y )的概率密度为()101,0(,)10x y e x y f x y e -+-⎧⎪<<<<+∞=⎨-⎪⎩其它(1)求边缘概率密度f X (x )? f Y (y )? (2)求函数U ?max (X , Y )的分布函数? (3)求函数V ?min (X , Y )的分布函数?(1) 1,01,()10,xX e x f x e --⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.(2) 11000,0,1()(),01,111,1x xx x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤⎧⎪-⎪===<<⎨--⎪≥⎪⎩⎰⎰.min{,1}10,0,1,01x x e x e --≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. (3) 111,0,()1(),01,10,1x X X x e eS x F x x e x ---≤⎧⎪-⎪-=<<⎨-⎪≥⎪⎩@.6? 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160? 202)分布? 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率?随机变量2(160,20),X N :180160(180)(1)0.84134,20P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭没有一只寿命小于180小时的概率为 第九次作业★1. 设离散型随机变量X 具有概率分布律试求? E (X )? E (X 2?5)? E (|X |)?2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,() 01, 1.x x f x x x Ae x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩求? (1)常数A ? (2)X 的数学期望? (1) 110111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞+∞--==+=+⎰⎰⎰,2e A =(2) 121114()2.2323x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+⨯=⎰⎰⎰ ★3. 设球的直径D 在[a ? b ]上均匀分布?试求? (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π)?(2)球的体积的数学期望(体积316D π)?(1) 22222()();3bax E D ED dx a ab b b a ππππ===++-⎰(2) 33322()().6624b a x E D ED dx a b a b b a ππππ⎛⎫===++ ⎪-⎝⎭⎰ ★4. 设二维离散型随机变量(X ? Y )的联合分布律为求E (X )? E (Y )? E (XY )? ★ 5. 设随机变量X 和Y 独立? 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它,3(1)3,1,()0, 1.y Y e y f y y --⎧>=⎨≤⎩(1)求(25)E X Y +? (2)求2()E X Y ?(1) 112002()2,3X EX xf x dx x dx ===⎰⎰或随机变量1Z Y =-:指数分布(3),E 141,,33EZ EY EY =-==(2)11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===⎰⎰由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY ==⨯=第十次作业1. 设离散型随机变量X 的分布列为试求? (1) D (X )? (2) D (?3X ?2) ?(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑(2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=⨯=★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Ax x x f x ⎧+<<=⎨⎩其他，试求? (1)常数A ? (2)E (X )? (3) D (X )? (4) D (2X ?3) ? (1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+⎰⎰解得9.8A =-(2) 22095()(2).86EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰(3)22222094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰2224519.56180DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(4) 21919(23)24.18045D X DX -==⨯= ★ 3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他， 试求? (1),X Y 的协方差和相关系数A ? (2)(21).D X Y -+(1) 13()(,)(2),01,2X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<<⎰⎰ 由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y =-<< 因此(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得 ★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数? (1) X 的分布列为由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑g(2) Y 的分布列为(,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j iEY y p ==-⨯-++⨯=∑g(3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i j i j ijE XY x y p ==∑∑(,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此,0.X Y ρ==5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P ?随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =063,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-⨯=- (2) 2(60)2, 3.12DX DY -===由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y =由随机变量和的方差公式()2(,)+=++得D X Y DX DY Cov X Y第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大? 掷1000次均匀硬币? 出现正面的次数在400到600次之间?出现正面的次数~(1000,0.5),==X B n p应用切比雪夫不等式?有2. 若每次射击目标命中的概率为? 不断地对靶进行射击? 求在500次射击中? 击中目标的次数在区间(49? 55)内的概率?击中目标的次数~(500,0.1),==X B n p根据中心极限定理,X近似服从正态分布(50,45).==N EX DX★3. 计算器在进行加法时? 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(?? 上服从均匀分布? (1)若将1500个数相加? 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于?(1) 误差变量,1,2,.i X i =⋅⋅⋅独立同均匀分布(0.5,0.5),X U -:10,.12EX DX ==由独立变量方差的可加性150011500125,12i i D X =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑15001i i X =∑近似(0,125).N :(2) 1||10n i i P X =⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑1|n i P X =⎧⎪=<=⎨⎪⎩210.90,⎛≈Φ-≥ ⎝ 因此?最多可有4个数相加?误差总和的绝对值小于10的概率不小于?★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成? 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为? 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行? 问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于?正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p =0.9,EX np n ==0.09.DX npq n ==1.645,24.354.n ≥≥因此n 至少取25.★5. 有一大批电子元件装箱运往外地? 正品率为? 为保证以的概率使箱内正品数多于1000只? 问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p =0.8,EX np n ==0.16.DX npq n == 解得1637.65,n ≥因此n 至少取1638.★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数20X =的概率. 正面次数(40,1/2),X B n p ==:400.520,400.50.510.EX np DX npq ==⨯===⨯⨯=离散值20X =近似为连续分组区间19.520.5,X << 第十二次作业★1. 设X 1? X 2? ???? X 10为来自N (0? 0?32)的一个样本? 求概率1021{ 1.44}i i P X =>∑?标准化变量(0,1),1,2,...,10.0.3iX N i =:由卡方分布的定义?10222211~(10).0.3ii Xχχ==∑略大?卡方分布上侧分位数20.1(10)15.9872.χ= ★2. 设X 1? X 2? X 3? X 4? X 5是来自正态总体X ~(0? 1)容量为5的样本? 试求常数c ? 使得统计量服从t 分布? 并求其自由度?由独立正态分布的可加性?12(0,2),X X N +:标准化变量(0,1),U N =:由卡方分布的定义?22222345~(3),X X X χχ=++U 与2χ独立? 由t分布的定义?(3),T t ===:因此c =自由度为3.★3? 设112,,,nX X X L为来自N (?1? ?2)的样本? 212,,,nY Y Y L为来自N (?2? ?2)的样本?且两样本相互独立? 2212,S S 分别为两个样本方差? 222112212(1)(1)2pn S n S S n n -+-=+-? 试证明22().p E S σ=证 由221112(1)~(1),n S n χσ--及()211(1)1E n n χ-=-得类似地222.ES σ=★4? 设1,...,n X X 为总体2(,)N μσ的简单样本?样本均值和样本方差依次为2,.X S 求满足下式的k 值?()0.95.P X kS μ>+=统计量(1),X T t n =-:因此k = ☆.设正态总体2(,)N μσ的容量为12n =的简单样本为112,...,X X ?样本均值和样本方差依次为2,.X S 求满足下式的k 值?()0.95.P X kS μ>+=正态总体样本方差未知?统计量(1),12.X T t n n =-=:★5? 设X 1? X 2? ???? X n ? X n ?1为来自N (?? ?2)的样本? 记11nii X X n ==∑?2211()1ni i S X X n ==--∑? 证明? T (1)t n -? 证 由独立正态分布的可加性?21(,),ni i X N n n μσ=∑:211,,ni i X X N n n σμ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑:1n X +及2S 相互独立?()2110,n n X X N nσ++-:和2S独立?标准化变量(0,1),U N =: 2222(1)~(1),n S n χχσ-=-/,S σ=由t 分布的定义?第十三次作业★1? 设总体的密度函数为22(),0,(;)0,x x f x αααα-⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，?求参数α的矩估计?总体期望2322002()2(;),33x x x EX xf x dx x dx ααααααααα⎛⎫-==⋅=-= ⎪⎝⎭⎰⎰3,EX α=用样本均值X 估计（或替换）总体期望EX 即ˆ,EXX =得α矩估计为ˆ3.X α= ★2? 设总体的密度函数为1(1)(1),01(;)0,x x x f x θθθθ-⎧+-<<=⎨⎩其他? 求参数? 的矩估计?总体期望解得2,1EX EX θ=-用样本均值X 估计（或替换）总体期望EX 即ˆ,EXX =得? 矩估计为2ˆ.1X Xθ=- 3? 设总体的密度函数为||1(;),2x f x e x σσσ-=-∞<<+∞? 求参数? 的最大似然估计?似然函数1111()(;)exp ||,2nn i i n n i i L f x x σσσσ==⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭∑∏取对数得对数似然函数11ln ()ln 2ln ||,nii L n n x σσσ==---∑令21ln ()1||0,nii L n x σσσσ=∂=-+=∂∑解得σ的最大似然估计为11ˆ||.nL i i x n σ==∑ 4? 设总体的密度函数为222,0(;)0,0x x e x f x x θθθ-⎧⎪>=⎨⎪<⎩? 求参数? 的最大似然估计?似然函数2122111()(;)exp ,ninn i i i ni i xL f x x θθθθ===⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭∏∑∏取对数得对数似然函数22111ln ()ln 2ln ,nni i i i L x n x θθθ===--∑∑令231ln ()220,n ii L n x θθθθ=∂=-+=∂∑ 解得θ的最大似然估计为ˆL θ=★5? 设总体X 的均值和方差分别为?与? 2? X 1? X 2? X 3是总体的一个样本, 试验证统计量(1)112311ˆ4412X X X μ=++; (2)2123111ˆ333X X X μ=++; (3)3123311ˆ882X X X μ=++? 均为? 的无偏估计量, 并比较其有效性?(1)1123123111111ˆ.442442E E X X X EX EX EX μμ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭ (2)1123123111111ˆ.333333E E X X X EX EX EX μμ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭ (3)1123123311311ˆ.882882E E X X X EX EX EX μμ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭ 因此123ˆˆˆ,,μμμ均为μ的无偏估计量? 由独立变量方差的可加性因此无偏估计量123ˆˆˆ,,μμμ中2ˆμ最有效,1ˆμ比3ˆμ有效? ★7. 设2ˆθ为? 2的无偏估计, 且ˆ()0D θ>, 试证ˆθ不是? 的无偏估计? 反之, 若ˆθ为? 的无偏估计, ˆ()0D θ>, 则2ˆθ也不是? 2的无偏估计?证(1) 22ˆ,E θθ=2222ˆˆˆˆ0,D E E E θθθθθ=-=->22ˆˆ,,E E θθθθ<≠得ˆθ不是? 的无偏估计?(2) ˆ,E θθ=222222ˆˆˆˆˆ0,,D E E E E θθθθθθθ=-=->>得2ˆθ不是2θ的无偏估计? 8?设$$12,θθ是参数θ的两个相互独立的无偏估计量,且$$124D D θθ=,找出常数12,k k ,使$$1212k k θθ+也是θ的无偏估计量,并使它在所有这种形状的估计量中方差最小.$$$$1212121212()()E k k k E k E k k θθθθθθ+=+=+=,121k k +=,$$$$$222212122121212()(4)D k k k D k D k k D θθθθθ+=+=+,121222121,0,1,min{4}.k k k k s k k +=≤≤⎧⎨=+⎩ 求最小值得1214,55k k ==,4min 5s =,$$$121124min ().5D k k D θθθ+=第十四次作业★1. 某车间生产滚珠, 从长期实践中知道, 滚珠直径X 可以认为服从正态分布.从某天的产品里随机抽取6个, 测得直径(单位:mm)为, , , , , ?若已知总体方差为, 试求平均直径的置信区间.(置信度为? 若总体方差未知, 试求平均直径的置信区间.(置信度为?(1)μ的置信区间中心当20.06σ=时,μ的95.01=-α置信区间半长为因此μ的0.95置信区间为(2) 样本方差2211()0.051,1ni S X X n =-=-∑μ的95.01=-α置信区间半长为因此μ的0.95置信区间为★2. 为了解某型号灯泡使用寿命X (单位:小时)的均值μ和标准差?? 今测量10只灯泡? 测得1500x =? S?20? 若已知X 服从正态分布N (?? ??2), 求? (1)置信度为的总体均值? 的置信区间? (2)置信度为的总体方差??2的置信区间?(1)置信区间半长/20.025( 2.262 6.32214.3,t n t α-==⨯=当2σ未知时,μ的95.01=-α置信区间为(2) 已知参数2210,20,0.10,n S α===上侧分位数为置信区间两端(下限,上限)为因此灯泡使用寿命方差2σ置信度为10.90α-=的置信区间为★3. 对方差220σσ=为已知的正态总体? 问须抽取容量n 为多大的样本, 方能使总体均值? 的置信度为1??的置信区间的长度不大于L ? 总体均值μ的置信区间长度为/22,u L α≤取22/224n u Lασ≥的整数? ★4? 已知某种元件的寿命X ~N (?? ? 2)? 现随机地抽取10个试件进行试验, 测得数据如下?82, 93, 57, 71, 10, 46, 35, 18, 94, 69. (1)若已知? ?3, 求平均抗压强度? 的95%的置信区间?(2)求平均抗压强度?的95%的置信区间? (3)求? 的95%的置信区间?(1)μ的置信区间中心当223σ=时,μ的95.01=-α置信区间半长/2 1.96 1.861,u α==因此μ的0.95置信区间为(2) 上侧分位数220.02510.025(9)19.023,(9) 2.700,χχ-== 样本方差σ的10.95α-=的置信区间两端(下限,上限)为因此元件寿命标准差σ的0.95置信区间为★.两正态总体均值差21μμ-的1α-置信区间．当22212σσσ==未知时? 由于22,,,x yX Y S S 相互独立?构造服从分布(2)t m n +-的统计量(枢轴量) 记222(1)(1)2x ywm S n S S m n -+-=+-，则21μμ-的二样本t 置信区间为★5? 随机地抽取A 批导线4根? B 批导线5根? 测得起电阻为(单位? 欧姆)A ? ? ? ? ?B ? ? ? ? ?设测得数据分别服从正态分布N (?1? ? 2)? N (?2? ? 2)? 且它们相互独立? ?1? ?2? ? 均未知? 求?1??2的95%的置信区间? 上侧分位数20.025(2)(7) 2.3646,t m n t α+-==当22212σσσ==未知时,21μμ-的1α-置信区间半长为 21μμ-的95.01=-α置信区间为★6? 假设人体身高服从正态分布, 今抽测甲、乙两地区18岁~ 25岁女青年身高得数据如下: 甲地区抽取10名, 样本均值米, 样本标准差0.2米; 乙地区抽取10名, 样本均值米, 样本标准差0.4米. 求? (1)两正态总体均值差的95%的置信区间? (2)两正态总体方差比的95%的置信区间?(1) 分位数20.025(2)(18) 2.1009,t m n t α+-==当22212σσσ==未知时,21μμ-的1α-置信区间半长为21μμ-的95.01=-α置信区间为★(2)两正态总体(期望未知)的方差比2212/σσ的1α-置信区间．由于22111(1)/n S σ-~21(1),n χ-22222(1)/n S σ-~22(1),n χ-且2212,S S 独立,构造统计量(枢轴量) 2211122222~(1,1),S F F n n S σσ=-- 对给定的置信度α-1,由其中/2211/2121(1,1),(1,1)F n n F n n αα-=----因此2212/σσ的α-1置信区间为第十五次作业★1? 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布N (?? ?2)? ? ?40cm/s, ? ?2cm/s? 现在用新方法生产了一批推进器? 从中随机抽取25只? 测得燃烧率的样本均值为X ?s? 设在新方法下总体均方差仍为2cm/s? 问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显着的改变？取显着性水平???1).提出原假设及备择假设.0010:40;:.H H μμμμ==≠2).选取统计量并确定其分布.~(0,1).X U N =3).确定分位数及拒绝域.上侧分位数0.025 1.96,u =拒绝域{|| 1.96}.W U =≥4).计算统计量的观测值并作出统计推断.因此拒绝原假设,认为在显着性水平0.05α=下,推进器的燃烧率显着改变.★2? 某苗圃规定平均苗高60(cm)以上方能出圃? 今从某苗床中随机抽取9株测得高度分别为 62? 61? 59? 60? 62? 58? 63? 62? 63? 已知苗高服从正态分布? 试问在显着性水平? ?下? 这些苗是否可以出圃？1).原假设及备择假设0010:60;:.H H μμμμ≥=<2).取统计量(8).X T t =:3).上侧分位数0.05(8) 1.8595,t =得拒绝域(, 1.8595).W =-∞-4).由样本计算得61.11,X =0,.T T W S ==>∉因此接受原假设0,H 即认为在显着性水平0.05α=下,这些苗可以出圃.★3? 5名测量人员彼此独立地测量同一块土地? 分别测得这块土地面积(单位? km 2)为, , , ,算得平均面积为? 设测量值总体服从正态分布? 由这批样本值能否说明这块土地面积不到?(? ?1).原假设及备择假设0010: 1.25;:.H H μμμμ≥=<2).取统计量(4).X T t =:3).上侧分位数0.05(4) 2.1318,t =得拒绝域(, 2.1318).W =-∞-4).样本方差为2211()0.00123,1ni S X X n =-=-∑0.035,S = 统计量的实现值为因此接受原假设0,H 认为在显着性水平0.05下,这块土地面积达到.★4? 设某电缆线的抗拉强度X 服从正态分布N (10600? 822)? 现从改进工艺后生产的一批电缆线中随机抽取10根? 测量其抗拉强度? 计算得样本均值x ?10653? 方差S 2?6962? 当显着水平??时? 能否据此样本认为(1)新工艺下生产的电缆线抗拉强度比过去生产的电缆线抗拉强度有显着提高？(2)新工艺下生产的电缆线抗拉强度的方差有显着变化？(1)提出原假设及备择假设.0010:10600;:.H H μμμμ≥=<选取统计量并确定其分布.(9).X T t =:确定分位数及拒绝域.0.05(9) 1.8331,t =得拒绝域(, 1.8331).W =-∞-计算统计量的观测值并作出统计推断.因此接受原假设,认为在显着性水平0.05α=下,新工艺电缆抗拉强度比过去工艺有显着提高.(2)提出原假设及备择假设222220010:82;:.H H σσσσ==≠在原假设成立的前提下,构造统计量2222(1)~(9).n S χχσ-=确定上侧分位数2210.0250.025(9) 2.700,(9)19.023,χχ-==得拒绝域计算2χ统计量的观测值并作出统计推断因而接受原假设0,H 即认为新工艺下的电缆抗拉强度的方差无显着变化.★5? 设某涤纶强度X ~N (?? ? 2)? 用老方法制造的涤纶强度均值是? 标准差? 现改进工艺后? 从新生产的产品中随机抽取9个样品? 测得起强度如下?。