必修五：基本不等式应用一：求最值 例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧 技巧一：凑项 例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

技巧二：凑系数 例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

技巧三： 分离、换元例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t=时,4259y t t≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。

技巧四：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()af x x x=+的单调性。

例：求函数224y x =+的值域。

24(2)x t t +=≥，则224y x =+2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。

所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

例：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值错解．．：Q 0,0x y >>，且191x y+=，∴()1992212x y x y xy xy xy⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。

错因：解法中两次连用均值不等式，在2x y xy +≥x y =，在1992xyxy+≥等号成立条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：190,0,1x y x y >>+=Q ，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。

技巧六例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22 。

同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为 12， x 1＋y 2 ＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 分别看成两个因式： x ·12 ＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342 技巧七：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t ·16t＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 技巧八、取平方例: 求函数15()22y x =<<的最大值。

解析：注意到21x -与52x -的和为定值。

2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号。

故max y =。

例：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥解：Q a 、b 、c R +∈，1a b c ++=。

∴111a b c a a a a-+-==≥。

同理11b -≥11c -≥三个不等式两边均为正，分别相乘，得1111118a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g g 。

当且仅当13a b c ===时取等号。

例：已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky∴++= 10312k k∴-≥⋅ 。

16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 . 分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg( ∴R>Q>P 。

【高考真题训练】1.(2010·山东)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为__3___.2.(2011·陕西)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是(B)A.a <b <ab <a ＋b2B.a <ab <a ＋b2<bC.a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b3.(2010·四川)设a ＞b ＞c ＞0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是 (B)A.2B.4C.2 5D.54.(2013课标全国Ⅱ，文24)选修4—5：不等式选讲 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13； (2)222a b c b c a ++≥1. 解：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a ca +≥，故222()a b c a b c b c a +++++≥2(a ＋b ＋c )， 即222a b c bc a ++≥a ＋b ＋c . 所以222a b c b c a ++≥1.5.[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3D [解析] 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，则4a ＋3b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3，当且仅当4b a ＝3ab，即a ＝4＋2 3，b ＝2 3＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 3.6.[2014·湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． (1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知，l >0，v >0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002 v ·121v ＋18＝1900，当且仅当v ＝11时，取等号．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤2000，当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．7．[2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C [解析] 设底面矩形的一边长为x .由容器的容积为4 m 3，高为1 m ．得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10 ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C.8.[2014·辽宁卷] 对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________．－1 [解析] 因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab ＝3×2ab ≤3×（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大值．故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a2＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－1，其最小值为－1.9．[2014·浙江卷] 已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．63[解析] 方法一：令b ＝x ，c ＝y ，则x ＋y ＝－a ，x 2＋y 2＝1－a 2，此时直线x ＋y ＝－a 与圆x 2＋y 2＝1－a 2有交点，则圆心到直线的距离d ＝|a |2≤1－a 2，解得a 2≤23，所以a 的最大值为63.方法二：将c ＝－(a ＋b )代入a 2＋b 2＋c 2＝1得2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0，此关于b 的方程有实数解，则Δ＝(2a )2－8(2a 2－1)≥0，整理得到a 2≤23，所以a 的最大值为63.10.[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______． 6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab＝34a 2＋12b 22ab－24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．。