因此利用以上关系，递推可得
n
n
L x1, , xn f xk xk1 f xk
k 1
k 1
其中 xk N t, 2t ，利用正态分布MLE的结论
ˆ
ˆ 2
1 nt 1 nt
n
xk
k 1
xn nt
n
xk ˆt 2
k 1
第五章作业问题
5.8 ： 样本是截尾样本，还有5个样品未失效，注意计算经验
lim Lt lim sf s | t ds s lim f s | t ds 1
t
t
t
4.10 某种退化首达时分布
失效时间（首达时）基本服从正态分布
初始退化量分布 lnV0 N 0, 2 ，有可能低于Vc ，因此有一
定的“次品概率”，即
F
0
ln
Vc
0
，而
F t 0
t 0
综上：
F
t
P
V
t
Vc
ln Vc
0
texp
/
T
texp
/T
ln Vc
0
t 0
F t 0 t 0
不完全是正态分布，小于0的部分被“截掉”（注意区分 “截尾正态分布”），因为失效时间必然大于0
第五章作业问题
5.5 Wiener过程似然函数 由于退化过程只观测到退化量，没有失效时间样本，因此
Betar,n r 1
✓ 联想到顺序统计量的分布，形式相同（参见3.4.1和3.4.2 节）
✓ 该结果在求解二项分布参数p的区间估计时有重要意义。
4.3
t t , ,, 0
1 t
注意三个参数均可取0，分情况讨论，每个参数有两类可
能，等于0和大于0，所以一共8种，然后结果进行合并
4.4 平均剩余寿命 实际上是剩余寿命分布的期望
C k 1 n1
pk
1
1 p
n1
nk
Ck n1
p
k
k r
1 p
nk 1
n
n k r
C k 1 n1
pk
1
1 p
nk
n
C p m1 m1 n1
mr 1
1 p
nm
nCnr11 pr1 1 p nr
r
n!
1! n
r
!
p r 1
1
p nr
导数非负，所以函数在支撑[0,1]上非减。 综上，该函数为分布函数 导数即为密度函数，分析形式，可知为贝塔分布（beta），
只能列关于退化量的似然函数 f x1, , xn （退化量的联合
概率密度）
注意：平稳独立增量过程的各时刻退化量不相互独立！
n
f x1, xn f xi i 1
这是因为平稳独立增量过程只是增量间相互独立， 且增量独立于当前值，从而有
f xk , xk1 fX xk1 | xk f X xk fX xk1 xk | xk f X xk fX xk1 xk fX xk fX xk1 fX xk
E RUL | age t0
t
f
t0 t dt
0 R t0
R t dt
t0
R t0
f t0 t R t0
为剩余寿命分布的密度函数
结果数值计算，以后作业类似情况均是如此
第四章作业问题
i.i.d
4.6 （2）n部件独立同指数分布，Ti E ，求旁联系统
失效时间分布？(补上：假设转换装置不失效)
条件(1)(3)显然满足，需证明(2)。由于p在[0,1]内连续， 对p求导，可得
dG p
dp
n k r
kCnk
pk 1
1
p nk
n
k
Cnk
pk
1
p
nk 1
n k r
k
n!
1! n
k
!
pk 1
1
p nk
n k r
k !n
n! k
1!
pk
1
p nk 1
n
n k r
ir
i0
本题问的是该函数是否可以作为“p”的分布函数。 p显然是在[0,1]内连续取值，所以不可能是二项分布这样的 离散分布。如果问的是不合格品数，则确实是二项分布。 所以，应当分析该函数的特点，只要满足分布函数三个条件： （1）[0,1]有界，F 0 , F 1（2）非降（3）右连续，则 可作为分布函数。
注意是旁联（冷贮备），不是并联。所以，系统失效时间
n
Ts Ti Ga n, 可靠度函数自然写出 i 1
注1：期望可直接写出，不必积分。类似的还有第（3）问的weibull 分布，看出是常见分布类型后，期望直接写出，不必再积分。 注2：该旁联失效过程也可视为连续时间Markov过程，取单元失效 数（或存活数）为状态
的只是一个估计结果
第二章作业问题
第三章作业问题
1. 在直方图中，为了避免数据落在分点上，一般将分点值取的 比该批数据多一位小数；样本均值和方差计算。
2. 习题3.3：正常情况下，不会出现多个产品失效时间完全相同， 这里可能为记录精度原因（如定期检测）。所以，出现k个 相同失效时间情况下的残存比率为：
ni 1k ni 1
分开计算最终结果也相同，同一个点处取最低值。
第三章作业问题
3. 习题3.5：失效样本从第三台机器开始，由于前面存在 截尾，所以它的秩次不是1，根据平均秩次递推算法， 它的平均秩次为1.105
第四章作业问题
4.2 拒绝概率
n
r 1
G p Cni pi 1 p ni 1 Cni pi 1 p ni
方法二：利用剩余寿命分布渐进分布
Rs
|
t
Rs t Rt
exp
ts t
u
du

lim
t
exp
ut
s
exp
lim
t
ut
s
es 其中 t ut t s
t 时刻后的平均剩余寿命 St FE
注意：积分与极限是否可交换次序（不都是可交换次序，参见
Lebesgue控制收敛定理）
第二章作业问题
✓ 用样本估计 ti 时刻的失效率时，所用到的 ti 应为 ti ,ti1 之间的故障数，而不是 ti 前一时间段内的故
障数。而题中的 ti 指的是 ti1,ti 内的故障数（因为
一共测36次，而第36次仍有故障数记录），注意区分 ✓ 失效率代表单位时间下的条件概率，所以需要除以ti ✓ 失效率需要拟合一条光滑曲线，因为根据样本做出来
4.8 Gamma分布剩余寿命极限情形
方法一：直接求解
Lt
t
t
s f Rt
s ds
t
sf s ds Rt
t
tR t
t R
Rt
s ds
t
R s ds t Rt
lim t
Lt
lim
t
Rt f t
lim
t
1
t
1
注意：没必要一开始就代入分布函数具体形式，只会增加复杂 程度。另外，如果代入时只取形状参数 k 为整数，由于k R 证明不完整。