基本初等函数、函数与方程专题1．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln [(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D ．故选A ．2． 若0＜a ＜b ＜1，m ＝a b ，n ＝b a ，p ＝log b a ，则m ，n ，p 这三个数的大小关系正确的是( )A ．n ＜m ＜p __B ．m ＜n ＜pC ．p ＜m ＜nD ．p ＜n ＜m解析：选B 由0<a <b <1得p ＝log b a >log b b ＝1，而0<a b <a a <b a <1，据此有m ＜n ＜p . 本题选择B 选项．3． 已知实数a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c解析：选B ∵b －a ＝ln 33－ln 22＝2ln 3－3ln 26＝ln 9－ln 86＞0，∴b ＞a ；又a －c ＝ln 22－ln 55＝5ln 2－2ln 510＝ln 32－ln 2510＞0，∴a ＞c ，∴b ＞a ＞c ，即c ＜a ＜b .选B ． 4． 已知函数f (x )＝ln e x －e －x2，则f (x )是( )A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减解析：选A 要使函数有意义，则e x ＞e －x ，解得x ＞0，即函数的定义域是(0，＋∞)，故函数是非奇非偶函数．又y ＝e x 与y ＝－e －x在(0，＋∞)上递增，所以f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A ．5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年解析：选C 设2018年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n ＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2022年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．5． 函数y ＝a －a x (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＝1时，y ＝0，则函数为减函数，故a ＞1，则当x ＝0时，y ＝1，即y ＝a －1＝1，即a －1＝1，解得a ＝2，则log a 56＋log a 485＝log a ⎝⎛⎭⎫56×485＝log 28＝3，故选C ． 7．(2018·邵阳模拟)若关于x 的不等式2x ＋1－2－x －a ＞0的解集包含区间(0,1)，则a 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，72 B ．(－∞，1] C ．⎝⎛⎭⎫－∞，72 D ．(－∞，1)解析：选B 由题得a ＜2·2x －12x 在(0, 1)上恒成立，设2x ＝t ，t ∈(1,2)，所以a ＜2t －1t ，t ∈(1,2)，由于函数f (t )＝2t －1t ，t ∈(1,2)是增函数，所以a ≤f (1)＝2×1－1＝1，故选B ．8．已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB →＝2BC →，则( )A ．b ＝a 2B ．a ＝b 2C ．b ＝a 3D ．a ＝b 3解析：选C 由于AB →＝2BC →，则AC →＝3BC →，则点A 的坐标为(m ，3g (m ))，又点A 在函数f (x )＝log a x 的图象上，故log a m ＝3log b m ，即log a m ＝log b m 3，由对数运算可知b ＝a 3．9．(2018·保定月考)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x ＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－6解析：选B ∵f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，故f (0)＝0，∵x ≥0时，f (x )＝e x ＋m .∴f (0)＝1＋m ＝0，m ＝－1，即x ≥0时，f (x )＝e x －1，则f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－(e ln 5－1)＝－4，故选B ．10．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝⎛⎭⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m <1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．11．(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________． 解析：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) ＝⎝⎛⎭⎫12log 23＋13log 23⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32 ＝56log 23×32log 32＝54． 答案：5412．已知函数f (x )为偶函数且f (x )＝f (x －4)，又在区间[0,2]上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－32x ＋5，0≤x ≤1，2x ＋2－x ，1<x ≤2，函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋a ，若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则a ＝________．解析：由题意可知f (x )是周期为4的偶函数，画出函数f (x )与g (x )的大致图象(图略)．若F (x )＝f (x )－g (x )恰有2个零点，则有g (1)＝f (1)，解得a ＝2．答案：213． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，2－x 2，x ≤0若函数g (x )＝f (x )－kx 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：若函数g (x )＝f (x )－kx 有4个零点，即方程f (x )＝kx 有4个解，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，2－x 2，x ≤0与y ＝kx 有4个交点，记h (x )＝ln x ，则过原点作h (x )的切线，切线斜率为1e ，∴0＜k ＜1e，则实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e ． 答案：⎝⎛⎭⎫0，1e 14．已知f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.如果函数g (x )＝f (x )－(x ＋m )有两个零点，则实数m 的值为________．解析：令g (x )＝0得f (x )＝x ＋m ．①考虑函数f (x )在[0,1]上的图象，因为两个端点分别为(0,0)，(1,1)，所以过这两点的直线方程为y ＝x ，此时m ＝0；②考虑直线y ＝x ＋m 与f (x )＝x 2(x ∈[0,1])的图象相切，与区间(1,2]上的函数图象相交，则此时直线与函数f (x )也是两个交点，即g (x )仍然有两个零点，可求得此时m ＝－14，切线方程为y ＝x －14.综上，由f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，得m ＝2k 或m ＝2k －14(k∈Z)．答案：2k 或2k －14(k ∈Z)15．已知函数f (x )＝|2x －a2x |在[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：令2x ＝t ，t ∈[1,2]，则y ＝|t －at |在[1,2]上单调递增．当a ＝0时，y ＝|t |＝t 在[1,2]上单调递增显然成立；当a >0时，函数y ＝|t －at |，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a ，＋∞)，此时a ≤1，即0<a ≤1时成立；当a <0时，函数y ＝|t －a t |＝t －at ，t ∈(0，＋∞)的单调递增区间是[－a ，＋∞)，此时－a ≤1，即－1≤a <0时成立．综上可得a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]。