数学分析（3）复习参考题1.叙述并证明2R 上的柯西准则、闭域套及聚点存在定理.2.叙述重极限与累次极限概念，并论述它们的关系.3.证明下述极限：（1）)()(lim 2/32222)0,0(),(=+-⋅→y x y x xy y x ；（2）221lim),2(),(=+-+∞→y xy y x4.讨论下述函数),(y x f 在)0,0(处的累次极限与重极限的存在性： （1）2222),(yxyx y x f +-=；（2）y x xy y x f +=),(；（3）222)sin(),(yx y x y x f +=.5.论述二元函数连续与单变量连续之间的关系.6.证明：若),(y x f 在有界闭域)(2R D ⊂上连续，则),(y x f 在D 上有界、一致连续而且最值存在. 7.叙述二元函数可导与可微的概念；论述可微、可导及连续之间的关系.8.求下列函数的偏导数与全微分：（1）22arcsinyx x z +=；（2）xyyxz ⋅=（3）),(12-=xy xy f x z ；（4）),,(xyz xy x f u =.9.论述可微、方向导数存在及连续之间的关系.10.叙述高阶偏导数与高阶全微分的概念；叙述并证明二元函数中值定理及泰勒公式. 11.叙述并证明二元函数极值存在的必要条件与充条件.12.求下述函数的二阶偏导数： （1）)sin(22y x z +=；（2）)arctan(1y x z -=； （3）)()(1y x y xy f x z ++=-ϕ；（4）),(1y x xy f z -=.13.求下述函数在)0,0(处的二阶泰勒展开式： （1）)1ln(y x z ++=；（2）)(22y x f z +=； （3）),(y x f z =，其中2t x =，3t y =. 14.求下列函数的极值： （1）684222++-+=y x y x z ； （2）22y xy x z +-=； （3）)(2222)(y x e y x z +-+=.15.求函数2222),(y y x x y x f ++=在}1|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值与最小值.16.叙述二元（及n 元）隐函数存在唯一性、连续性及可微性定理；叙述隐函数组及反函数组存在可微性定理.17证明方程0sin 21=---y x y 在)0,0(的某邻域内能确定隐函数)(x y y =，并求)(x y '18.试问由方程xyz z y x 62332=++在)1,1,1(附近能确定什么样的函数？在此基础上，进一步设)(222z y x f u ++=（其中f 是可微函数），试问如何计算)1,1,1(xu ？19.设由方程0),(=+++z y x y x F 确定隐函数),(y x z z =，试求xxz 与dz .20.（1）求抛物面22by ax z +=在点),,(000z y x M 上的切平面与法线方程；（2）求球面50222=++z y x 与锥面222z y x =+的交线在)5,4,3(0P 处的切线与法平面方程.21.叙述条件极值的拉格郎日乘子法及条件极值的必要条件与充分条件.22.（1）求函数z y x z y x f ++=),,(在条件3c xyz =（其中0>c ）下的极值；（2）求函数z y x z y x f ln 3ln 2ln ),,(++=在22226r z y x =++的极值；并证明：0,,>∀c b a ，有6326108⎪⎭⎫ ⎝⎛++<c b a c ab .23.叙述第一型与第二型曲线积分的概念、几何意义、物理意义及基本性质.24.给出第一型曲线与第二型曲线积分的联系公式.25.计算下列曲线积分：（1）⎰+=Lyx ds e I 22，其中L 由0=y ，x y =及222a y x =+所围区域在第一象限的扇形区域的整个边界； （2）⎰+=Lds y x J 22)32(，其中L 为)(222y x y x +=+； （3）⎰+=Ldy y ydx x K 32，其中L 为23x y =和x y =所围成的封闭曲线（按逆时针方向）；（4）⎰-+++=Ldz y x ydy xdx M )1(，其中L 为由点)1,1,1(到点)4,3,1(的直线段.26.叙述二重积分的概念及基本性质；证明二重积分的中值定理及保序性定理.27.（1）设),(y x f 为连续函数.证明：⎰⎰≤+→=222)0,0(),(1lim2ry x r f dxdy y x f rπ；（2）估计积分⎰⎰≤+---122224y x dxdyyx y x 的取值范围.28.更改下述累次积分的次序： （1）⎰⎰π 0sin 0),(xdyy x f dx ； （2）⎰⎰---26- 2 )4(4 21),( xx dyy x f dx .29.计算下述二重积分： （1）⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 14222sin 2sin xxxdy y x dx dy y x dx ππ；（2）⎰⎰Ddxdy y x y x },max{sin sin ，其中],0[],0[ππ⨯=D ；（3）⎰⎰Ddxdyy x22，其中D 是由1=xy ，2=xy 及x y =与x y 4=)0(>x 所围成的区域；（4）⎰⎰-Ddxdyy x)arctan(1，其中D 是由122=+yx，922=+yx 及xy =，0=y 所围成的区域；（5）⎰⎰≤+22222sin sin Ry x dxdyy x ； （6）⎰⎰≤++122|43|y x dxdy y x .30.计算下列三重积分： （1）⎰⎰⎰-Vdxdydzx y21，其中V 由221zx y ---=，122=+zx及1=y 所围成；（2）⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(，其中V 由0=x ，1=x ，222221bz ay x+=+所围成； （3）⎰⎰⎰+Vdxdydzy x z22，其中V 是由22xx y -=及0=z ，)0(>=a a z ，0=y 围成的立体；（4）⎰⎰⎰+V dxdydzy x )(22，其中V 由222yx b z --=，222yx a z --=)0(>>a b 与0=z 所围成.31.（1）求椭圆内部1)()(22222111=+++++c y b x a c y b x a 的点所构成的区域D 的面积（其中1221b a b a ≠）；（2）求由曲面czby ax22222=+，by ax by ax+=+2222与平面0=z 所围立体的体积；（3）由xyz z y x 27)(3222=++所围立体的体积； （4）求曲面22y x z -=含在柱面)()(222222y x a y x -=+内的部分的面积.32.叙述第一型与第二型曲面积分的概念、基本性质以及几何意义与物理意义. 33.计算下述曲面积分：（1）⎰⎰++Sy x dS2)1(，其中S 为1=++z y x ，0≥x ，0≥y ，0≥z ； （2）⎰⎰++S dSz y x)32(222，其中S yzy x2:222=++；（3）⎰⎰Sdydz x 3，其中S 为：1222222=++cz by a x的上半部)0(≥z 取外侧；（4）⎰⎰∑-+z z dxdyy dzdx x x dydz 222cos cos cos 2，其中∑为球面1222=++zy x 的外侧.34.叙述并证明关于平面曲线积分的格林公式及保守场定理.35.试用格林公式计算下列曲线积分： （1）⎰++-Lydy ye x dx y x 2)3()2(，其中L 由0=y ，22=+y x 及左上半圆弧122=+y x 所围成的闭区域D 的边界按顺时针方向；（2）⎰+-ldy x dx x xy y 222)cos()]sin(2[，其中l 为椭圆12222=+--y b x a 的右半部分)0(≥x 的逆时针方向. 36.叙述并证明关于三重积分的高斯公式. 37.叙述关于空间曲线的斯托克斯公式以及空间曲线积分与路径无关的条件.38.利用高斯公式计算下述曲面积分：（1）⎰⎰++-+Sdxdyz y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322，其中S 为上半球面2222azy x =++的上侧；（2）⎰⎰++Syzdxdyxydzdx zxdydz，其中S由hz =，222kyx =+)0,0(>>k h 及三个坐标平面所围成的第一卦限部分的外侧.39.利用斯托克斯公式计算下列曲线积分： （1）⎰-+-+-Cdz y x dy x z dx x y 222222)()()(，其中C 是立方体],0[],0[],0[a a a V ⨯⨯=的表面与平面2/3a z y x =++的交线，C 的定向是从z 轴正向看去为逆时针方向；（2）⎰+++++Cdz y x dy x z dx z y 222222)()()(，其中Rx z y x 2222=++与rx y x 222=+（其中)0,0><<z R r 的交线，C 的定向使得C 所包围的球面上较小区域保持在左边.40.叙述含参变量定积分的概念及基本性质.41.叙述含参变量广义积分一致收敛的概念及基本性质.42.叙述Γ函数与B 函数的概念、基本性质及常用计算方法.43.设⎰-=badx x y x f y F ||)()(（其中b a <），f 为可微函数，试求)(y F ''.44.讨论下述含参变量广义积分在指定区间上的一致收敛性： （1）⎰∞+-+ 12)(xdy y x ，（i ）),0[+∞∈x ，（ii ）],0[b x ∈；（2）⎰∞+= 1)(pxdx p I ，（i ）),1[+∞+∈σp )0(>σ，（ii ）),1(+∞∈p .45.求函数⎰∞+-+= 03)1ln()(dxx xy I y的连续区间.。