2．活用公式与结论 (1)平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： ① a∥ b⇔ a＝ λb⇔ x1y2－ x2 y1＝ 0. ② a⊥ b⇔ a·b＝ 0⇔ x1 x2＋ y1y2＝ 0. (2)三角形两心的向量形式 设 O 为△ABC 所在平面上的一点． ①O 是三条中线的交点⇔O 是△ABC 的重心⇔O→A＋O→B＋O→C ＝0；
D．1－3i
解析：(a＋bi)(1＋i)＝2＋4i，
即(a－b)＋(a＋b)i＝2＋4i，
∴a－ a＋
b＝ b＝
2 ， 4
∴
a＝3，b＝
1.∴b＋10ai＝
10 ＝10（ 1＋3i
1－ 10
3i）
＝
1
－3i，故选 D.
1．设复数 z 满足11＋－zz＝i，则|z|＝( A )
A．1
B． 2
C. 3
2．复数－1＋6＋2ai i为纯虚数，则实数 a 的值为( B ) A．－3 B．3 C．6 D．－6
解析：－1＋6＋2ai i＝（（－1＋6＋2ai）i）（（1－1－22i）i） ＝（－6＋2a）＋（12＋a）i，
5 ∴－6＋2a＝0，a＝3.
3．若复数 z 满足 z－|z|＝－2＋4i，则 z 的实部为( B )
式，难度不会太大
卷Ⅰ， (2)2016年高考以复数的 基本概念以及复数的代
T13 数运算为主要考点，重
念和运 卷Ⅱ， T3
算
T13
卷Ⅱ， 点考查运算能力及转化 T13 与化归思想、方程思想
1．必记概念与定理 (1)平面向量的两个重要定理 ①向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一 个实数λ，使b＝λa. ②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
＝ 3－ i＋ 1－ 2i＝ 4－ 3i，
∴－ 3i＝ (1＋ z)(4－ 3i)＝ 4－ 3i＋ (4－ 3i),
∴z＝4－－43i＝（
－4（4＋3i） 4－3i）（4＋3i）
＝－16－12i. 25 25
∴|z|＝ （－16）2＋（－12）2＝4.
专题五 复数与平面向量
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1.复数的 卷Ⅱ，
概念与
运算
T2
2.平面向 卷Ⅰ， 量的概 T7
卷Ⅱ， T2
卷Ⅰ， T2
卷Ⅱ，
(1)2016年高考对本部分
卷Ⅱ，T2
内容的考查仍将以向量 的线性运算为主，将保
卷Ⅰ，T2 持选择题或填空题的形
(经典考题)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部
为( D )
A．－4
B．－45
C．4
D．45
[解析] ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝|43＋－
3i|＝ 4i
42 ＋ 32 ＝5（ 3＋ 4i）
3－4i
25
＝3＋4i， 55
∴z 的虚部为4. 5
[名师点评] 判断复数z的实部与虚部时，应先将复数化简成z ＝a＋bi(a，b∈R)的形式，其中a为实部，b为虚部．
z2＝1＋2
＋ i
(1＋
i)2
＝（1＋2（i）1－（i1）－i）＋2i＝1－i＋2i＝1＋i.
3．若复数 z 满足－ 1＋3iz＝31＋0 i＋1＋5 2i，则|z|等于( D ) A.1
5 B．2
5 C.3
5 D．4
5
解析：1－＋3zi＝31＋0 i＋1＋5 2i
＝（31＋0（i）3（－3i）－i）＋（1－5（2i）1－（21i）＋2i）
②O 是三条高线的交点⇔O 是△ABC 的垂心⇔O→A·O→B＝
O→B·O→C＝O→C·O→A.
3．辨明易错易混点 (1)a＝0，则a·b＝0，但由a·b＝0，不能得到a＝0或b＝0，因 为a⊥b时，a·b＝0. (2)两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的 数量积大于0不等价．
考点一 复数的概念
D．2
解析：由11＋ －zz＝i， 得 z＝－1＋1＋i i＝（－1＋i）2 （1－i）＝22i＝i， 所以|z|＝|i|＝1，故选 A.
2．若复数 z 的共轭复数 z ＝1－i, 则2＋z2 等于( B ) z
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
解析：由 z ＝1－i 知 z＝1＋i
∴2＋ z
复数 z 满足|z|＝1，(3＋4i)z∈R，则 z 的实部为( C )
A.3
B．4
5
5
C．±3 5
解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)．
D．±4 5
则 (3＋ 4i)(x＋ yi)
＝ (3x－ 4y)＋(4x＋ 3y)i∈ R.
∴ 4x＋ 3y＝ 0，
又|z|＝1.即 x2＋y2＝1.
x＝3
x＝－3
(2)平面向量的三个性质
①若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2.
②若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2.
③若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角，
则 cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 . x12＋y21 x22＋y22
[解析] ∵ 21＋＋aii＝3＋i， ∴ 2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i， ∴ a＝4，故选 D.
[名师点评] 根据复数的运算法则化简已知等式，然后利用 复数相等的概念求a.
若 a，b∈R，(a＋bi)(1＋i)＝2＋4i，则b＋10ai等于( D )
A．1＋3i
B．－1＋3i
C．－1－3i
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)
则 x＋yi－ x2＋y2＝－2＋4i，
∴x－ x2＋y2＝－2， y＝4
解之得 x＝3，y＝4.
考点二 复数的运算
(2015·高考全国卷Ⅱ，5 分)若 a 为实数，且21＋＋aii＝3＋i，
则 a＝( D )
．4
联解得
5或
5，故选 C.
y＝－4 y＝4
5
5
1．当复数 z＝m＋1＋(m－1)i(m∈R)的实部与虚部之和为 4 时，
则复数1z0的虚部为( B )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
解析：由题意得 m＋1＋m－1＝4.
∴m＝2，即 z＝3＋i，
∴1z0＝31＋0 i＝（31＋0（i）3（－3i）－i）＝3－i.