1 f ( x) ln x
(4)
cos x x 1 f ( x) 2 x 1 x 1
(5)
x3 x x0 sin x f ( x) ln( 1 x) sin 21 x0 x 1
补1 确定下列函数的间断点,判断类型,并求连续区间
x 1 0 x 1 y 1 x 1 x 3 1 x 2
y
2
x 在[0,2]上
o
1
2
x
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
如果x0使f(x0)=0，那么x0称为函数f(x)的零点. 定理
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即
f(a)· f(b)<0)，则在开区间(a,b)内至少有一点ξ使f(ξ)=0. 几何意义 如果连续曲线弧y=f(x)的两个端点 位于x轴的不同侧，那么这段曲线弧 y
与x轴至少有一个交点. o
a ξ b x
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
x x0
x x0
x x0
分类 第一类间断点 f ( x0 ) 和 f ( x0 ) 间断点 都存在
可去间断点 f ( x0 ) f ( x0 ) 跳跃间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
无穷间断点
第二类间断点 振荡间断点 f ( x0 )和 f ( x0 ) 至少一个不存在
ex a 例9 设 f ( x ) x 0及可去间断点 x( x 1) 有无穷间断点
x 1, 试求常数a的值.
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
(6) 一切初等函数在其定义域内连续.
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
思路
初等函数
找间断点 分段函数 判类型 求极限
间断点 间断点
无定义的点 无定义的点 分段点（嫌疑）
x a x b
证明 f ( x )在 (a , b )内有界.
补5 设 f ( x )在(a ,)内连续, lim f ( x ) A, lim f ( x ) B
x a x
证明 f ( x )在 (a ,)内有界.
2．闭区间上连续函数性质
（1）有界性与最值性
有定义的开区间
求连续区间 讨论分段点的连续性
合并
例2 确定下列函数的间断点,判断类型,并求连续区间
1 1 1 (1) f ( x ) x 1 x 1 x 1 x
讨论全面
(2) f ( x ) ( x 1) sin x 2
( x 1) x
讨论左右极限
x=0也是间断点
(3)
（四）应用
例
证明方程 x 3 4 x 2 1 0 在区间(0,1)内至少 有一个实根.
例 若f (x)在 ( ,)内连续,且lim f ( x )存在,则
x
f (x)在 ( ,)内有界.
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
函数的连续性习题课
一、内容小结
至少有一个实根.
（2）零点定理
构造辅助函数 例15 设 f ( x )在 [0,2a ]上连续, f (0) f ( 2a ) 证明
f ( x) f ( x a )
在[0, a ]上至少有一个实根.
例16 设 f ( x )为连续函数，其定义域和值域都是 [a , b] 证明存在 [a , b], 使 f ( ) . 补6 设 f ( x ), g( x )是[a , b]上的两个连续函数，
x n 2 x n 例6 讨论 f ( x ) lim n 的连续性. n n x x
x 2 n1 ax 2 bx , 确定常数a,b使 f ( x ) 例7 设 f ( x ) lim 2 n n x 1 内连续. 在 ( ,)
x 2 n1 1 补3 讨论 f ( x ) lim 2 n 1 的连续性. n 1 n x x x
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
证明 f ( x )在 ( ,) 内连续.
补4 设 f ( x )在 x 0 处连续,
x1 , x2 R
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
证明 f ( x )在 ( ,) 内连续.
（五）证明题
(五) 证明题
1．连续的概念
2．闭区间上连续函数的性质
(五) 证明题
1．连续的概念
2．闭区间上连续函数的性质
例10 设 f ( x ) e x 在 x 0 处连续, 证明 f ( x )在 ( ,) 内连续.
例11 设 f ( x )在 x 0 处连续,
x1 , x2 R
第十节、闭区间上连续函数的性质 （一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
最值概念 设f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I，使得 对任一x∈I，恒有
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
(五) 证明题
1．连续的概念
2．闭区间上连续函数的性质
(五) 证明题
1．连续的概念
2．闭区间上连续函数的性质
2．闭区间上连续函数性质
（1）有界性与最值性
（2）零点定理
（3）介值定理
2．闭区间上连续函数性质
（1）有界性与最值性
（2）零点定理
（3）介值定理
例12 设 f ( x )在 (a , b )内连续, lim f ( x ) A, lim f ( x ) B
（三）介值定理
（四）应用
（一）有界性与最大值最小值定理 （二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
定理 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取 不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，则对于A与B之间的任意 一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得 f(ξ)=C (a<ξ<b) 几何意义 连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少 相交于一点.
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
例8 设 f ( x )
x
1 内连续,a,b为常数 bx 在 ( ,) a ae
f ( x ). 且 lim f ( x ) 0, 确定常数a,b的正负并求 xlim
确定a,b使 f ( x ) g( x )在 ( ,)内连续.
n x n x 2 例5 设 f ( x ) lim x , g ( x ) 1 x n n n x 讨论复合函数 f [ g( x )] 及 g[ f ( x )] 在 ( ,)
内的连续性.
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
例3 确定常数a,b使函数
sin ax 1 cos x f ( x ) 1 1 1 x ln 1 bx x0 x0 x0
在x=0处连续.
补2 确定常数a,b使函数
（2）零点定理
（3）介值定理
2．闭区间上连续函数性质
（1）有界性与最值性
（2）零点定理
（3）介值定理
（2）零点定理
方程根的存在性
例13 证明 sin x x 1 0在 , 内至少有一个实根. 2 2 例14 证明奇次多项式
p( x ) a0 x 2n1 a1 x 2n a2n1 (a0 0)
初等函数的连续性
连续函数经过四则运算仍连续 连续函数经过复合运算仍连续
基本初等函数在定义域内连续 初等函数 在其定义区间内连续
闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理
零点定理与介值定理
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
函数的连续性习题课
一、内容小结
二、题型练习
二、题型练习
f (a ) g(a ), f (b) g(b)
证明存在 x0 (a , b),使 f ( x0 ) g( x0 ).
2．闭区间上连续函数性质
（1）有界性与最值性
ln( 1 2 x) 1 x 1 x 1 x 0 f ( x) a x0 x2 b 0 x 1
在x=0处连续.
x 例4 设 f ( x ) a
x0 b g( x ) x 1 x 2 x 0 x 1
（一）辨析题
（二）间断点的判定
（三）分段函数的连续性 （四）确定常数
（五）证明题
二、题型练习
（一）辨析题