习 题 场论初步1．设 a 3i 20 j 15k ，对以下数目场 f ( x, y, z) ，分别计算 grad f 和 div ( fa) ：1（1） （2） （3）f (x, y, z) ( x 2 y 2 z 2 ) 2 ； f (x, y, z) x 2 y 2 z 2 ； f (x, y, z) ln( x 2 y 2 z 2 ) 。
解（1） grad f3( x 2y 2 z 2 ) 2 ( xi yjzk ) ，3div ( fa)(x 2 y 2 z 2 ) 2 (3x 20 y 15z) 。
（2） grad f 2( xi yj zk ) ，div ( fa) 2(3x 20 y 15z) 。
（3） grad f 2( x 2 y 2 z 2 ) 1 (xi yj zk ) ，div ( fa) 2(x 2 y 2 z 2 ) 1 (3x 20 y 15 z) 。
2．求向量场 a x 2 i y 2 j z 2 k 穿过球面 x 2 y 2 z 2 1 在第一卦限部分 的通量，此中球面在这一部分的定向为上侧。
解 设 : x 2 y 2 z 2 1 ( x 0, y 0, z 0) ，方向取上侧，则所求通量为x 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy ，因为z 2dxdy(1 x2y 2 )dxdy2d13dr ，r48xy同理可得x 2 dydzy 2dzdx，8因此x 2 dydzy 2 dzdx z 2 dxdy 3。
83．设 r xi yj zk ， r | r | ，求：（1）知足 div [ f (r )r ] 0 的函数 f (r ) ； （2）知足 div[grad f (r )] 0 的函数 f (r ) 。
解（1）经计算获得( f ( r ) x)f (r ) f (r ) x2，xr( f (r ) y)f (r )f ( r )y 2 ,yr( f (r ) z)f (r ) f ( r ) z2，zr 因此。
由 div [ f (r )r ] 0 ，得 3 f (r ) r f (r )0，解此微分方程，获得f ( r )c 3 ，r此中 c 为随意常数。
（2）由 f (r ) x f (r ) ， f (r ) x f (r ) ， f ( r )x f (r ) ，获得xrx rxrx r 2 x 2f (r )x 2x f (r )r 3r 2 f (r )，ryf (r )23y22y r rf ( r ) y2 f (r )，rrzf ( r )r23z2 z 2z rf (r )2 f (r ) ，rr因此div[grad f (r )]2f( r ) f "( r ) 。
r由 div[grad f (r )] 0 ，得 2 f (r )rf ( r ) 0 ，解此微分方程，获得f (r )c 1 c 2 ，r此中 c 1 ,c 2 为随意常数。
4. 计算grad c 1 ln( c r )r2此中 c 是常矢量， r xi yj zk ，且 c r 0 。
解 设 c (c 1 , c 2 , c 3 ) ， u c r 1 c r ) ，则ln(2u c 1 , u c 2 , u c 3 c 3 ，x c 1 c 2 2(c z 2(c r )2(c r ) y r ) 因此grad c r1ln( c r )c 1 c 。
22 c r5. 计算向量场 a grad arctan y沿以下定向曲线的环量：x（1）圆周 ( x 2) 2 ( y 2) 2 1, z 0 ，从 z 轴正向看去为逆时针方向；（2）圆周 x 2 y 2 4, z 1 ，从 z 轴正向看去为顺时针方向。
解 经计算，可得a grad arctany12 ( y, x,0)，x x 2yi j krot a =x y z0 ，y xx2 y2 x2 y2它在除掉 z 轴的空间上是无旋场。
（1）设L ( x, y, z) ( x 2)2 ( y 2)2 1,z 0 ，从 z 轴正向看去为逆时针方向；(x, y, z) (x 2)2 ( y 2)2 1, z 0 ，方向取上侧。
因为z 轴不穿过曲面，依据 Stokes公式，a ds rot a dS 0 。
L（2）令x 2cos , y 2sin , z 0 ，则a ds xdy ydx 2d 2 。
x 2 y 2 0L L6. 计算向量场 r xyz(i j k ) 在点M (13,,2)处的旋度，以及在这点沿方向 n i 2 j 2k 的环量面密度。
解由i j krotrx y zx( z y)i y( x z)j z( y x)k ，xyz xyz xyz可得rot r (M ) i 3 4 。
j k向量场 r xyz(i j k ) 在点M (1,3,2) 沿方向 n 的环量面密度为lim 1 r dr rot r (M ) n 1 。
) nM m( 37. 设 a a x i a y j a z k 向量场， f ( x, y, z) 为数目场，证明：（假定函数a x ,a y ,a z和 f 拥有必需的连续偏导数）（1）div(rot a) 0 ；（2）rot (grad f ) 0；（3）grad(div a) rot (rot a) a 。
证（1）rot a z a yia x a zja y a xk 。
a y z z x x y设 a x , a y , a z二阶偏导数连续，则div(rot a)a z a ya x a za y a x 0 。
yz yzxzxyxi jk（2） rot (grad f )y z 0 。
xff f xyz（3）由grad(div a) div a div ajdiv aikxyz2a x 2a y2a zi2a x2a y2a zjx 2x yx zx yy 2y z2a x 2a y 2a zk ，x z y zz2以及a za ya xa zj a y a x k ，rotaizxxyyzrot(rot a) =2a y 2a x2a x2a zix yy2z2x z2a z 2a y 2a y 2a xj2a x2a z2a z2a yy zz 2 x 2x y x zx 2 y 2k ，y z获得grad(div a) rot (rot a)a x ia y ja z ka 。
8. 位 于 原 点 的 点 电 荷 q 产 生 的 静 电 场 的 电 场 强 度 为Eq3( xi yj zk ) ，此中 rx 2 y 2z 2 ， 0 为真空介电常数。
4 0r求 rot E 。
解zy 3yz 3yz 0 ， yr 3z r 3r 4r 4xz 3zx 3zx 0 ，zr 3x r 3r 4r 4yx3xy 3xy 0 ，xr3y r3r4r4因此rot E0 , ( x, y, z) 0 。
9. 设a为常向量，r xi yj zk ，考证：（1）(a r ) 0 ；（2）(a r ) 2a ；（3）((r r )a) 2r a 。
证（1）(a r )x y z a x a y a z x y z(a y z a z y) (a z x a x z) (a x y a y x)0。
x y zi j k（2）(a r )x y za y z a z y a z x a x z a x y a y x2( a x i a y j a z k ) 2a 。
（3）((r r )a) (a x x2 ) ( a y y 2 ) (a z z2 )a 。
x y z 2r10. 求全微分( x2 2 yz) dx ( y 2 2xz)dy ( z2 2xy)dz 的原函数。
解记 a ( x2 2 yz)i ( y2 2xz) j ( z2 2xy)k ，因为a z 2x a y, a x 2 yaz ,a y2zax ，z xy z x y因此向量场 a ( x2 2 yz)i ( y 2 2xz) j ( z2 2xy)k 是一个无旋场，其原函数为U ( x, y, z) (x , y, z)22 yz)dx ( y2 2 xz)dy ( z2 2xy)dz C(x(0,0,0)x 0 x2 dxy2 dy z 2xy)dz 1 (x2 y2 z2 ) 2xyz C 。
y ( z20 0 3x y x y11.证明向量场ax 2 y 2 ix2 y 2j (x 0) 是有势场并求势函数。
证当 x 0 时，x y y 2 x 2 2xy x y，y x2 y2 (x 2 y2 ) 2 x x 2 y 2因此向量场 a 是有势场，其势函数为V (x, y) U (x, y) ( x, y) ( xy)dx ( x y)dyC(1,0) x 2 y 2x dxy x y dy C arctany 1ln( x2 y2 ) C 。
1 x 0 x2 y2 x 212.证明向量场a (2x y z) yzi ( x 2y z)zxj ( x y 2z) xyk 是有势场，并求出它的势函数。
证 设 a a x i a y j a z k ，则a z x 22x( yz)a y a xy 22 y(x z)a z，yz,xza yz 2 2 z( x y)a x ，xy因此向量场 a 是有势场。
设原函数为 UU (x, y, z) ，则dU (2 x y z) yzdx ( x 2yz)zxdy (x y 2z) xydz[ yzdx 2 x 2 (zdy ydz)] [ y 2 ( zdx xdz) zxdy 2 ][ z 2 ( ydx xdy) xydz 2 ]d( x 2 yz) d ( xy 2 z) d( xyz 2 ) d[ xyz( x y z)] ，因此势函数为V (x, y, z)U (x, y, z)xyz( xy z) C 。
13.考证：（1） u y 3 3x 2 y 为平面 R 2 上的调解函数；（2） u ln ( x a) 2 ( y b)2 为 R 2 {( a,b)} 上的调解函数； （3） ux 21为 R 3 {( 0,0,0)} 上的调解函数。
y 2 z 2解（1）因为u 6 xy, u 3y 2 3x 2 , 2u6 y,2u6y ，xy x 2y 2因此2u2u0 ，x2y2即 u y 3x 2 y为平面 R 2 上的调解函数。
3（2）因为ux auy b，x2( y b)2,22( x a)y ( x a)( y b)2u( y b) 2(x a)22u( x a)2( y b) 2x2[( x a)2( y b) 2 ] 2 ,y 2[( x a)2( y b) 2 ]2，因此2u2u0 ，x2y2即 u ln ( x a) 2 ( y b) 2 为 R 2 {( a, b)} 上的调解函数。