习题2-1. 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。

解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：dtdvmkv f =-=， 分离变量，可得：vdtdvm k =- 两边同时积分，所以：t m ke v v -=0 （2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：由vdt dv m k =- 可推出：dv km vdt -=，而这个式子两边积分就可以得到位移：00max 0v m mx vdt dv v k k==-=⎰⎰ 。

2-2. 一条质量分布均匀的绳子，质量为M 、长度为L ，一端拴在竖直转轴OO ′上，并以恒定角速度ω在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r 处绳中的张力T ( r )．解：在绳子中距离转轴为r 处取一小段绳子，假设其质量为dm ，可知：LMddm =，分析这dm 的绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出： LMdrr rdm r dT 22ωω==）（。

距转轴为r 处绳中的张力T ( r )将提供的是r 以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：）（）（）（2222r L LM r dT r T Lr-==⎰ω2-3. 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2/x k f -=，k 是比例常数．设质点在A x =时的速度为零，求质点在4/A x =处的速度的大小。

解：由题意和牛顿第二定律可得：dx dv mv dt dx dx dv m dt dv m xk f ===-=2再采取分离变量法可得：mvdv dx x k=-2 ， 两边同时取积分，则：mvdv dx xkv A A ⎰⎰=-024/ 所以：mAkv 6=2-4. 一质量为kg 2的质点，在xy 平面上运动，受到外力j i F 2244t -=(SI)的作用，0=t 时，它的初速度为j i v 430+=(SI)，求s t 1=时质点的速度及受到的法向力n F .解：由题意和牛顿第二定律可得：dtd m m va f ==，代入f 与v ，并两边积分，v j i md dt t vv ⎰⎰=-0)244(21， )]43([284j i v j i +-⨯=-i v 5=速度是i 方向，也就是切向的，所以法向的力是j 方向的，则24=-F j2-5. 如图，用质量为1m 的板车运载一质量为2m 的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为μ，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力F 为多少才能保证木箱不致滑动？解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，所以列式：21222msx F m gf a m m m m μ'===+可得：g m m F )(21+μ2-6. 如图所示一倾角为θ的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为)(θμtg <。

为使木块相对斜面静止，求斜面加速度a 的范围。

解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得： （1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a ），列式为：mg N N =+θθμcos sinma N N =-θμθcos sin 可计算得到：此时的θμμθtan 1tan 1+-=a g（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b ），列式为：θθμcos sin N mg N =+ ma N N =+θμθcos sin 可计算得到：此时的θμμθtan 1tan 2-+=a g所以tan tan 1tan 1tan g a g θμθμμθμθ-+≤≤+-2-7. 一质量为M 、顶角为α的三角形光滑物体上。

放有一质量为m 的物块，如图所示。

设各面间的摩擦力均可忽略不计。

试按下列三种方法：（1）用牛顿定理及约束方程；（2）用牛顿定律及运动叠加原理；（3）用非惯性系中力学定律；求解三角形物块的加速度M a .解：隔离物块和斜面体，画图分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，M 与m 的运动有联系的，M 沿地面运动，m 沿斜面运动，这就是约束条件。

取地面作为参考系，则m 的运动为：s i n x N m a α-= （1）cos y N mg ma α-= （2）M 的运动方程为：sin M N Ma α= （3）下面列出约束条件的方程：取M 作为参考系，设m 在其中的相对加速度为a '，在x,y 方向的分量分别为'x a 与'y a ，那么：tan yxa a α'=' 利用相对运动的公式，a a a M m '+= 所以：M x x a a a -='y y a a ='于是：tan y y x x Ma a a a a α'=='- 即：sin cos sin x y M a a a ααα-= （4） 由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：2sin cos sin M m a g M m ααα=+2-8. 圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度ω匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？ 解：受力分析如图y m s i n N 2ωΔα= （1） mg cos N Δα= （2）两式相比 dydz g y tan 2==ωα dy g y dz 2⎰⎰=ω C y gωz +=222当 0=y 时 0z z = 所以 0z C =0222z y gωz += 稳定旋转时液面是一个抛物面由于旋转后成为立体，故方程变为【2220()2z x y z gω=++】2-9. 质量为2m 的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为1m ，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为θ，求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。

解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，m 1与m 2的运动有联系的，m 1沿地面运动，m 2沿斜面运动，这就是约束条件。

取地面作为参考系，则m 2的运动为：x a m N 2s i n =-θ （1）y a m g m N 22cos =-θ （2）m 1的运动方程为：11sin N m a θ= （3）下面列出约束条件的方程：取m 1作为参考系，设m 2在其中的相对加速度为a '，在x,y 方向的分量分别为'x a 与'y a ，那么：xy a a ''=θtan利用相对运动的公式，21a a a '=+ 所以：1x x a a a '=- y y a a ='于是：1tan yy x x a a θ'==' 即：1sin cos sin x y a a a θθθ-= （4） 由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：21212sin cos sin m a g m m θθθ=+；12212sin cos sin m a g m m θθθ=-+；12212()sin sin m m a g m m θθ+'=+ 相互作用力N=g m m m m θθ22121sin cos + 2-10. 一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角θ绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为ω，求：小环平衡时距杆端点O 的距离r . 解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z 轴的圆周运动，所以可列式：mg N =θsinθωθsin cos 2r m N =所以，可得：θθωsin tan 2gr =2-11. 设质量为m 的带电微粒受到沿x 方向的电力i F )(cx b +=，计算粒子在任一时刻t 的速度和位置，假定0=t 时，0,000==x v .其中c b 、为与时间无关的常数，m 、F 、x 、t 的单位分别为kg 、N 、m 、s .解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：22)(dt d m cx b x=+=i F ，整理可得二阶微分方程：022=--b cx dtd m x。

令mc=2ω 下面分c 为正负再做进一步讨论。

当00222=-+m b x dtd c ωx 时，，可得：c b t c b x -=ωcos一次求导，得到：t cb v ωωsin -=当00222=--m b x dtd c ωx 时， ，可得：c be e c b x t t -+=-)(2ωω 一次求导，得到：)(2t te e cb v ωωω--=2-12. 在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R ，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为μ，在0=t 时，球的速率为0v ，求任一时刻球的速率和运动路程。

解：在法向上有 Rv m N 2= 而 N μf =在切向上有 dtdv mf =- 由上面三个式子可得 Rv μdt dv 2-= dt R μdv v t vv ⎰⎰=-0201 t μv R R v v 00+= )1ln(00000R t μv μRt μv R dt R v vdt S tt+=+==⎰⎰思考题2-1. 质量为m 的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示．设木板和墙壁之间的夹角为α，当α逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？解：假设墙壁对小球的压力为N 1，木板对小球的压力为N 2。

由受力分析图可知：mg N =αsin 2所以当所以α增大，小球对木板的压力为N 2将减小； 同时：12cos N N =ααm g c t g N =1 所以α增大，小球对墙壁的压力1N 也减小。

2-2. 质量分别为m 1和m 2的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度a A 和a B 分别为多少 ？解：分别对A ，B 进行受力分析，由受力分析图可知：g m m F )(21+=μg m kx F 1μ+= g m kx 2μ=所以.0,121=+=B A a g m m m a μ2-3. 如图所示，用一斜向上的力F (与水平成30°角)，将一重为G 的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F ，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数μ的大小为多少？解：假设墙壁对木块的压力为N ，由受力分析图可知：N G F μα+=sinαcos F N =整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F ，都不能使木块向上滑动，则说明：F G F 2321μ+≤ 即当F F 2321μ此式中F 无论为多大，总成立，则可得：33μ2-4. 质量分别为m 和M 的滑块A 和B ，叠放在光滑水平桌面上，如图所示．A 、B 间静摩擦系数为s μ，滑动摩擦系数为k μ，系统原处于静止．今有一水平力作用于A 上，要使A 、B 不发生相对滑动，则F 应取什么范围？解：根据题意，分别对A ，B 进行受力分析，要使A ，B 不发生相对滑动，必须使两者具有相同的加速度，所以列式：Mm gM m F a s msx μ=+=可得：g MM m m F s）（+μ2-5. 如图，物体A 、B 质量相同，B 在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A 下落的加速度是多少？解：分别对A ，B 进行受力分析，由受力分析图可知：111a m T g m =-222a m T =1221a a =则可计算得到：g a 541=2-6. 如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A 至C 的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。