随机过程补充例题
例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。
甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。
他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。
求甲输光的概率。
解 此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。
由题知，甲赢1元的概率为b p a b
=+，输1元的概率为
a q a b
=+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金，
inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ
表示最终摸球次数。
如果
inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。
设A =“第一局甲赢”，则()b
p A a b
=
+，()a
p A a b
=
+，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+
01f =，0m n f +=
解具有边界条件的差分方程 由特征方程
2()p q p q λλ+=+
（1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p
λλ==，所以差分方程的
通解为
212()n q
f c c p
=+
代入边界条件得
1()11()n
n n m
q p
f q p
+-=-
-
（2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为
12n f c c n =+
代入边界条件得
1n n
f n m
=-
+ 综合（1）（2）可得
1()11()
1n n m n q p p q
q f p n p q
n m +⎧
-⎪-
≠⎪⎪
-=⎨⎪
⎪-=⎪
+⎩
若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为
()
lim 1n jia
n m q p q p p f p q
→∞
⎧>⎪==⎨⎪≤⎩
由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时，
他以正的概率()n q p
输光，只是他的最初赌金n 越大输光的概率
越小。
然而一个赌徒他面临的对手是各个可能的赌场，他的赌金跟各个可能的赌场的赌金之和比起来是微不足道的，而且每一局他是占不到便宜的，即一般是p q ≤时，因此，最终他必将输光。
这也是俗话所说的“十赌九输”。
因此，奉劝大家远离赌博。
例2 在历史上有不少显赫的家族与民族消失了。
人们自然会问：一个群体最终灭绝的概率有多大？它与什么有关系？
解 设n X 为某群体第n 代的个体数，0n ≥，并设不同个体的“子
女”（直接后代）数是独立同分布的随机变量。
以n i Z 表示第n 代的第i 个成员的“子女”数，且设有
11n
X n
n i i X Z +==∑
上式表示第1n +代成员数是第n 所有成员的“子女”数之和。
显然，当n X 已知时，1n X +与1n X -，2n X -，3n X -，，0X 无关，所以是马尔科夫链，成为离散分支过程。
现在来讨论，当01X =时，该群体灭绝的概率。
为此，设 (){},,0,1,2,
k n p n p X k k n ===，则
011(1){}{}k k p p X k p Z k p =====
记1n X +的概率母函数（PGF ）为1()n A s +，即
1
110
()(){},||1n X k n n k A s E s
s p X k s +∞
++====≤∑
则
1
110
1()()(|){}
[()],0,1,2,
n n X X n n n k n A s E s
E s X k p X k A A s n ++∞
+=======
∑
设1
n Z 的概率母函数为()A s ，即1
()(),||1n Z k k k A s E s
p s s ∞
===≤∑，因为不
同个体的子女数独立同分布，且011X Z =，所以
11()()()Z A s E s A s ==
由上式递推得
1111112231()[()]{[()]}
[()][()][()]
n n n n n n A s A A s A A A s A A s A A s A A s +---======
=
因为第n 代成员数为0，则第1n +代成员数肯定也为0，即
1{0}{0}n n X X +=⊂=
所以000()(1)1p n p n ≤≤+≤，从而数列0{(),0}p n n ≥的极限存在，记
为0π，即00lim ()n p n π→∞
=。
由定理 当01X =时，上述群体最终灭绝的概率0π是方程()s A s =的最小正根。
其中()A s 为01Z 即1X 得概率母函数。
且该群体最终肯定灭绝的充分必要条件是一个成员的平均“子女”数不超过1，即
011πμ=⇔≤
其中011[]()(),1,2,3,;1,2,3,
n i E Z E X E Z n i μ=====。