一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。

解：法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。

1N T 表示1()N t =1N 的发生时刻，2N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。

1111111111()exp()(1)!N NN T f t t t N λλ-=-- 2221222222()exp()(1)!N NN T f t t t N λλ-=--1212121221112,12|12211122212(,)(|)()exp()exp()(1)!(1)!N N N N N NNN N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--==----12212121112211122210012()exp()exp()(1)!(1)!NNt N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞--<=----⎰⎰（2）当1N =2N 、1λ=2λ时，12121()()2N N N N P T T P T T <=>=法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为1λ+2λ的泊松过程。

令1Z 、2Z 分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。

则1Z 、2Z 分别服从参数为1λ、2λ的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。

212211122210()exp()exp()z p P Z Z dz z z dz λλλλ∞=<=--⎰⎰112λλλ=+。

故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-p 212λλλ=+上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度1λ+2λ的泊松过程时，乘客分别以112λλλ+概率乘坐公共汽车1，以212λλλ+的概率乘坐公共汽车2。

将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：121111111211212(1=()()N N N N k N k k N P C λλλλλλ+----=++∑路汽车比2路汽车先出发）（2）当1N =2N 、1λ=2λ时2121111111111(1=()()2222N N N k N k k k k N k N P CC -------====∑∑路汽车比2路汽车先出发）3.3设{(),0}i N t t ≥，(1,2,,)i n =L 是n 个相互独立的Poisson 过程，参数分别为i λ(1,2,,)i n =L 。

记T 为全部n 个过程中，第一个事件发生的时刻。

（1）求T 的分布； （2）证明1{()(),0}n i i N t N t t ==≥∑是Poisson 过程，参数为1ni i λλ==∑；（3）求当n 个过程中，只有一个事件发生时，它是属于1{(),0}N t t ≥的概率。

解：（1）记第i 个过程中第一次事件发生的时刻为1i t ，1,2,...,i n =。

则1min{,1,2,...,}i T t i n ==。

由1i t 服从指数分布，有111111{}1{}1{min{,1,2,...,}}1{,1,2,...,}1{}1{1(1)}1exp{}i i ni i i nnti i i P T t P T t P t i n t P t t i n P t t et λλ=-==≤=->=-=>=->==->=---=--∏∑∏（2）方法一：由{(),1,2,...,}i N t i n =为相互独立的poisson 过程，对于,0s t ∀≥。

11111{()()}{[()()]}{()(),,1,2...,}(exp(()))!()exp(())!n ni in ni ni i i iiiinnn ni i i i i n ni ni i i P N t s N t n P N t s N t n P N t s N t n nn i n ss n s s n λλλλ=∑=∑=====+-==+-==+-====-=-∑∑∑∑∑∏∑∑这里利用了公式11(...)!!in ni nnni n i i n n λλλ=∑=++=∑∏所以1{()(),0}n i i N t N t t ==≥∑是参数为1ni i λλ==∑的poisson 过程。

方法二： ○1当0h →时，11111{()()1}{[()()]1}{(())(1())}[()]()ni i i nn i j i j j inni i i i P N t h N t P N t s N t h o h h o h h o h h o h λλλλ===≠==+-==+-==+-+=+=+∑∑∏∑∑○2当0h →时， 111111{()()2}{[()()]2}1{[()()]2}1(1())()1(1())()()ni i i ni i i n nj i i j n ni i i i P N t h N t P N t s N t P N t s N t h o h h o h h o h h o h o h λλλλ======+-≥=+-≥=-+-<=--+-+=--+-+=∑∑∑∏∑∑得证。

（3）11{()1|()1}{()1,()0,2,...,}/{()1}i P N t N t P N t N t i n P N t ======= 1111121/...ni i i nnttti i i nteeet λλλλλλλλ=---==∑==++∑∏3.4 证明poisson 过程分解定理：对于参数为λ的poisson 过程{(),0}N t t ≥，01i p <<，11ri i p ==∑，1,2,,i r =L ，可分解为r 个相互独立的poisson 过程，参数分别为i p λ，1,2,,i r =L 。

解：对过程{(),0}N t t ≥，设每次事件发生时，有r 个人对此以概率12,,...,r p p p 进行记录，且11ri i p ==∑，同时事件的发生与被记录之间相互独立，r 个人的行为也相互独立，以()i N t 表示为到t 时刻第i 个人所记录的数目。

现在来证明{(),0}i N t t ≥是参数为i p λ的poisson 过程。

00{()}{()|()}{()}()(1)()!()!i i i n m n m mntm ni i n mp ti P N t m P N t m N t m n P N t m n t Cp p em n p t em λλλλ∞=+∞-+=-====+=+=-+=∑∑独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录， 一个以概率p ，一个以概率1p -记录，则1{(),0}N t t ≥是参数为p λ的poisson 过程，2{(),0}N t t ≥是参数为(1)p λ-的poisson过程。

121121212121212112211121211121212121212{(),()}{(),()}{()}{()|()}()(1)()!()!()(1)()!!!()(1)!!(k k k k k t k k k k k k t k k k k t P N t k N t k P N t k N t k k P N t k k P N t k N t k k t e C p p k k k k t e p p k k k k t e p p k k pt λλλλλλλ+-++-+-=====+==+==+=-++=-+=-=12(1)121122)((1))!!{()}{()}k k t p t p t e ek k P N t k P N t k λλλ----===得证。

3.5 设{(),0}N t t ≥是参数为3的poisson 过程，试求 （1）{(1)3}P N ≤； （2）{(1)1,(3)2}P N N ==； （3）{(1)2|(1)1}P N N ≥≥解：（1）33303{(1)3}13!kk P N e e k --=≤==∑ （2）{(1)1,(3)2}{(1)1,(3)(1)1}P N N P N N N ====-=369{(1)1}{(3)(1)1}3618P N P N N e e e ---==-===（3）33{(1)2}14{(1)2|(1)1}{(1)1}1P N e P N N P N e--≥-≥≥==≥- 3.6 对于poisson 过程{(),0}N t t ≥，证明s t <时，{()|()}P N s k N t n ===(1)()n k k n s sk t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭解：(){(),()}{()|()}{()}{(),()()}{()}{()()}{()}{()}(())()()!!()!()!()!!()n k kt s s nt n k k nn k k P N s k N t n P N s k N t n P N t n P N s k N t N s n k P N t n P N t N s n k P N s k P N t n t s s e en k k t en t s s n n k k t n t s s k λλλλλλ-------=======-=-==-=-===--=-=-⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)()n k k n k kt t n s s k t t --⎛⎫=- ⎪⎝⎭3.7 设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是参数为1λ，2λ的Poisson 过程，另12()()()X t N t N t =-，问{()}X t 是否为Poisson 过程，为什么？解：不是12()()()X t N t N t =-，()X t 的一维特征函数为：121212121122(()())()()()()120012001212()()()()()()!!()()!!exp{(iuiu iu N t N t iuN t iuN t iuX t X t k k t tiukiuk k k iu k iu ktt k k t et t e tiu iu f u E e E e E e e t t ee e e k k e t e t ee k k e e e ee t e t λλλλλλλλλλλλλλλλ--∞∞--==∞∞--==---=====⋅==+-+∑∑∑∑)}t参数为λ的Poisson 过程的特征函数的形式为exp{1}iu e t λ-，所以()X t 不是poisson 过程。