解析几何中计算方法与技巧
高考中解析几何综合题要求具有较强的计算能力,常规的解题方法必须熟练掌握,在此基础上积累计算经验，掌握计算技巧，则解析几何定可得到高分。
一、巧用韦达定理简化运算
1、过二次曲线C 上一点P （x 0，y 0）作直线l ，求l 与C 另一交点。
例1：求直线y=kx+22－k 与椭圆22x +y 2
=1的交点坐标。
2、合二为一的整体运算
例2：过点P （-1，2）作圆C ：（x-1）2+y 2=1的两条切线，求两条切线的斜率和。
例3：过点P （x 0，-4
1
）作抛物线y=x 2的两条切线，求证：切点弦过定点。
例4：抛物线y 2=2x 上动点P ，过点P 作⊙C ：（x-1）2+y 2=1的切线PM ，PN 分别交y
轴于M ，N 两点，求△PMN 面积的最小值。
例5：过抛物线x 2=2y 的焦点作斜率分别为k 1、k 2的两条直线l 1和l 2，若l 1交抛物线
于A 、B 两点，l 2交抛物线于C 、D 两点。
以线段AB 为直径作圆C 1，以CD 为直 径作圆C 2。
若k 1+k 2=2，求两圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程。
二、利用计算的对称性避免重复运算
引例：过原点O 作抛物线y 2=2px 的两条互相垂直的弦OA 与OB ，求证：AB 直线过定点。
例1：设椭圆E ：2
2x +y 2=1上一点A （1，22），过A 作两条关于平行y 轴的直线对
称的两条直线AC ，AD 交椭圆E 于另两点C 和D 。
求证：CD 直线的方向确定。
例2：设曲线C 1：4
2x +y 2
=1与曲线C 2：y=x 2-1。
C 2的顶点为M ，过原点O 的直线l 与
C 2相交于A 、B 两点，直线MA 、MB 分别与C 1相交于
D 、
E 。
（1）证明：MD ⊥ME ；
（2）若△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1、S 2，问是否存在直线l 使得21S S =32
17？
例3：设椭圆42x +42
y =1的左焦点F ，点A 、B 是椭圆上的两点，满足2 ，
求A 、B 两点距离。
例4：一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线E ：22a x -22
b
y =1（a>0, b>0）
交于P 、Q 两点，直线l 与y 轴交于R ，且·=-3，=3 （1）求双曲线方程；
（2）若F 是双曲线的右焦点，M 与N 是E 上的两点，且=λ，求实数
λ的取值范围。
例5：设A 、B 是椭圆22a x +22
b
y =1（a > b > 0）上两点，O 为原点，且OA ⊥OB ，
求△AOB 面积的最大值与最小值。
例6：若椭圆22a x +22
b
y =1（a > b > 0）上任两点A 、B ，O 为原点，求AOB 面积S
的最大值。
三、活用图形的几何性质，则计算变得更为轻巧
我们知道解析几何的基本任务之一是用代数的方法讨论图形的几何性质，也就是说曲线的几何性质不明显时必须用计算的办法加以讨论，反之几何性质明显时可大大简化计算。
引例1：若直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆52x +m
y 2
=1总有公共点，求m 范围。
引例2：双曲线22a x -22
b
y =1（a>0， b>0）的两焦点为E 、F ，△MEF 为等边三角形。
若线段ME 的中点N 在双曲线上，求双曲线的离心率。
例1：设圆C 与两圆(x+5)2 +y 2=4，(x-5)2 +y 2
=4中的一个内切，另一个外切
（1）求圆心C 的轨迹L 的方程； （2）已知点M （
553，5
5
4），F （5，0），若点P 是L 上的动点，求||MP|-|FP|| 的最大值及此P 点坐标。
例2：设椭圆22a x +22
b
y =1（a> b>0）的右顶点为A ，若椭圆上存在一点P 使∠OPA=90°
（O 为原点），求椭圆离心率的取值范围。
例3：抛物线y 2=4x 与圆(x-a)2+y 2=a 2
有唯一公共点，求a 的取值范围。
例4：已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，过点K （-1，0）的直线l 与C 相交于A 、B
两点，若点A 关于x 轴的对称点为D
（1）证明：点F 在直线BD 上；
（2）设·=98
，求△BDK 的内切圆方程。
例5：设F 1、F 2分别是椭圆E ：22a x +22
b
y =1（a > b > 0）的左、右焦点，过F 1斜率
为1的直线l 交E 于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列 （1）求E 的离心率；
（2）设P （0，-1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程。
例6：曲线C 1上的点均在圆C 2：(x-5)2+y 2=9外，且对C 1上任一点M ，M 到直线x=-2
的距离等于该点与圆C 2上点距离的最小值。
（1）求曲线C 1的方程；
（2）设P （x 0，y 0）（y 0≠±3）为C 2外任一点，过P 点作C 2的两条切线，分别
与C 1相交于A 、B 和C 、D ，当P 在直线x=-4上运动时，求证：四点A 、B 、 C 、D 的纵坐标之积为定值。
例7：长为2的木棍的两端在抛物线y 2=X 的上滑动，设棍子的中点为P
（1）求P 点轨迹方程；
（2）求棍子的中点P 到y 轴距离的最小值。