令 xe ,
t
则
d y d y dt 1 d y d x dt d x x dt
dy x y dt
d2 y d 1 d y d t 1 d2 y d y ) ( 2 2 2 dt x dt d x x dt dt dx


计算繁!
d2 y d y x 2 y 2 dt dt
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k d d k 记 D , D k (k 2, 3, ) ,则由上述计算可知: dt dt x y D y
x 2 y D 2 y D y D( D 1) y
用归纳法可证
x k y ( k ) D( D 1)( D k 1) y
则方程化为
即 特征根:
②
பைடு நூலகம்
设特解: y A t 2 et , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
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例3.
解: 由题设得定解问题 ③
④
d 令 x e , 记 D , 则③化为 dt [ D( D 1) D 4] y 5e t
t
( D 2 4) y 5e t
于是欧拉方程
x n y ( n) p1 x n 1 y ( n 1) pn 1 x y pn y f ( x)
转化为常系数线性方程:
D n y b1D n 1 y bn y f (et )
即 dn y d n 1 y t b1 n 1 bn y f (e ) n dt dt
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例1. 解:
则原方程化为
亦即 特征方程 其根
①
则①对应的齐次方程的通解为
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设特解:
y A t 2 B t C
代入①确定系数, 得
① 的通解为
换回原变量, 得原方程通解为
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例2.
解: 将方程化为
(欧拉方程)
第十节 欧拉方程
欧拉方程
x y
n ( n)
第十二章
p1 x
n 1 ( n 1)
y
pn 1 x y pn y f ( x)
( pk 为常数 )
令 x et , 即 t ln x
常系数线性微分方程
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欧拉方程的算子解法:
x n y ( n) p1 x n 1 y ( n 1) pn 1 x y pn y f ( x)
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思考: 如何解下述微分方程
提示: 原方程
直接令
d 记D dt [ D( D 1) p1D p2 ] y f (e t a)
d 记D dt
作业
P319 2 ; 6; 8
第11节 目录 上页 下页 返回 结束
⑤
特征根: r 2i, 设特解: y A e t , 代入⑤得 A＝1
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得通解为
y C1 cos 2t C2 sin 2 t e t
1 C1 cos( 2 ln x) C2 sin(2 ln x) x 利用初始条件④得 1 C1 1, C2 2 故所求特解为 1 1 y cos( 2 ln x) sin(2 ln x) 2 x