思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0
(4) 2 y dx ( y3 x) dy 0
(5) ( y ln x 2) y dx x dy
提示:
y 1dy dx
f (x) f (x) cos x
则有
f (0) 0
利用公式可求出
f (x) 1 (cos x sin x ex ) 2
2. 设有微分方程 y y f (x), 其中
2, 0 x 1 f (x) 0 , x 1
试求此方程满足初始条件
的连续解.
解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得
dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)yn dy
dz
(1
n)
P(
x)
z
dx (1
n)
Q(x)
dx
(线性方程)
dx
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
例6. 求方程
的通解.
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a ln x dx x
其通解为
z
e
1 x
dx
(a
e
1 dx
x(
3
x
2e
1 dx
x dx
C
)
3x2 x( C)
2
由 y x1 1，代入得
C 1 2
y 3x3 1 x 22
例4.求(2x y2 )dy ydx 0的解.
解 : dx 2 x y dy y
通解
:
x
e
2dy
y(
ye
2 y
dy
dy
C
)
1 y2 (
y3dy C )
ln
x)
e
1 x
dx
dx
C
x C a ( ln x)2
将 z y1代入, 得原方2程通解:
内容小结
1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式
y e P(x)dx Q(x) e P(x)dx dx C
2. 伯努利方程
令 u y1n , 化为线性方程求解.
x2
x2
x2
x2
e 2 (2 xe 2 dx C ) e 2 (2e 2 C )
x2
Ce 2 2
x2
f (0) 0 C 2 f ( x) 2e 2 2
二、伯努利 ( Bernoulli )方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
yn d y P(x)y1n Q(x)
1 y2
(1 4
y4
C
)
y2 4
Cy2
例5.设f ( x)连续,满足方程
x
tf (t)dt
x2
f ( x),求f ( x).
0
分析：等式两Biblioteka 对x求导解 : xf ( x) 2x f ( x)
即 f ( x) xf ( x) 2x （一阶线性方程）
f ( x) e xdx(2 xe xdxdx C )
e 2 xdx ( xe x2e 2 xdxdx C )
e x2 ( xdx C )
ex2 (1 x2 C) 2
例2. 求 dy 1 y ex 的解. dx x x
解 : 令P 1 x
ex Q
x
y
e
1 dx x
(
e
x
e
1 x
dx
dx
C
)
x
1 x
(
e
xdx
C)
1 (ex C) x
y
x
可分离 变量方程
dy y ln y
齐次方程
dx x x
dy 1 y x2 线性方程
dx 2x
2
dx 1 x y2
dy 2y
2
线性方程
dy 2 y sin x y2 dx x x
伯努利 方程
备用题
1. 求一连续可导函数
使其满足下列方程:
令 u xt
提示:
x
f (x) sin x 0 f (u)d u
故通解为
y C e P(x)dx
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x)d x , 则
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
即
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxeC P(x)dx
第四节
第十二章
一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
Q(
x)
e
P(
x)
d
x
dx
C
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
例1.求y 2x y xex2的通解.
解 : 令P 2x Q xex2
通解 : y e P( x)dx ( Q( x)e P( x)dxdx C )
例3.求 xy y x 的解. ln x
解 : y 1 y 1
x ln x
y
e
1 dx
x(
1
e
1 x
dx
dx
C
)
ln x
eln x ( 1 eln xdx C ) ln x
x
(
x
1 ln
dx x
C
)
x(lnln x C)
ex
: 求y
1 x
y
3x2
,
y
|x1
1的特解.
解
:
y
y y 2, 0 x 1 y x0 0
y e dx 2e dx dx C1
ex ( 2 ex C1) 2 C1ex
利用 y x 0 0 得 C1 2
故有
y 2 2ex (0 x 1)
2) 再解定解问题
y y 0 , x 1 y x 1 y(1) 2 2e1
此齐次线性方程的通解为 y C2ex (x 1)
利用衔接条件得 C2 2(e 1)
因此有
y 2(e 1) ex (x 1)
3) 原问题的解为
y
2(1ex ), 2(e 1) ex
0 ,
x
x 1
1