学院班级姓名学号(密封线内不答题)………
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…第六届广东省大学生数学竞赛试卷（高职高专类）参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)题号12345答案C D B D C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.0 2.0 3.4 4.-8 5.1三、解:因为3116sin 2sin (12)(12) x x x x x ⋅⋅+=+…………………………5分所以3116sin 2sin 00lim(12)lim(12) x x x x x x x ⋅⋅→→+=+…………………………8分6 =e …………………………10分四、解：由于2132()3221x f x x x x x +==--+--……………………3分()()()11()3()2()21n n n f x x x =---…………………………5分1132(1)!(2)(1)n n n n x x ++⎡⎤=--⎢⎥--⎣⎦…………………………10分五、解：由乘积导数公式及复合函数导数公式111(ln ln )ln ln ln ln ln ln x x x x x x x x '=+=+…………………………7分所以1(ln ln ).ln x dx x +⎰=ln ln x x +C…………………………10分六、解由洛必达法则，原式()22222lim (2)x u t x e du dt x -→=-⎰⎰……………4分2222lim (2)u x x e du x -→=-⎰……………7分
24122x e e
--==-……………10分
七、证明：由0x =时的麦克劳林公式，2()()(0)(0)2!f f x f f x x ξ'''=++………………4分
由已知，(0)0,(0)1,()0,f f f x '''==>……………8分故2()()2!f f x x x x ξ''=+≥成立.……………10分
八、证明：作辅助函数2()()(1),F x f x x x =--+………………4分
111(0)(1)0,()0(01),
F F F ξξξ=='=<<则由罗尔定理存在使得
…………………8分1(1)0,()0(1),()=f ()20f ()=2F F F ξξξξξξξξ'=''''''=<<-=''∈又由罗尔定理存在使得即所以， （0,1）
…………………10分
九、解：设切点00000(,),2()P x y y y x x x -=-切线方程…………………………2分
20002000021(1)(),0122x x x S x =-≤≤交轴于点A(
,0),交直线x=1于点B(1,2x -x ),则2x -x …………………………6分20000320,2()43
x x x '+
=⇒==令S =1-2x 舍…………………………8分2280,()3327S ''∴= S ()=-1<为极大值，故为所有三角形中面积最大者。

…………………………10分。