等腰三角形常用辅助线 专题练习 （含答案）AB=AC,AF 平行BC 于F , D 是AC 边上任意一点，延长 BA AF 与DE 的位置关系，并说 明理由•/ AB=AC , AE=AD B= / C , / E= / ADE•••/ B+ / E= / C+ / CDG •// B+ / E= /DGC , •••/ BGE= / CGD=90 •• EG 丄 BC . •/AF // BC解法2：过A 点作△ ABC 底边上的高，再用/ BAC= / D+AED= / 2/ ADE,即/ CAG= / AED,证明 AG // DE 利用 AF // BC 证明AF 丄 DE3.如图，△ ABC 中，BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点， DF 丄AC 交BC 于E,求证：△ DBE是等腰三角形。
证明：在 △ ABC 中，•/ BA=BC ,•••/A= / C , •/ DF 丄 AC ,/ A+ / D=90 , •••/ FEC= / D v/ FEC= / BED ,BED= / D ,是等腰三角形.4.如图，△ ABC 中，AB=AC,E 在AC 上，且 AD=AE,DE 的延长线与 DF 丄 BC.证明：v AB=AC ,•••/ B= / C , 又 v AD=AE , ••/ D= / AED ,•••/ B+ / D= / C+ / AED , •••/ B+ / D= / C+/ CEF , •••/ EFC= / BFE=180 X 1/2 = 90 , • DF 丄 BC; 若把“AD =Ae 与结论“DFL BC ”互换，结论也成立。
若把条件“AB=AC 与结论“ DFL BC ”互换，结论依然成立。
5. 如图，AB=AE,BC=ED, / B= / E,AM 丄 CD, A 求证：CM=MD.证明：连接AC,AD•/ AB=AE, / B= / E,BC=ED ••△ ABC ◎△ AED(SAS)1.如图：已知，点 D 、E 在三角形 ABC 的边BC 上, 证明：作AF 丄BC ,垂足为 又••• AF 丄 BC , AF 丄 DE , 互相重合）。
••• BD=CE.AB=AC , AD=AE ，求证: F ,贝U AF 丄 DE 。
•/ AB=AC , AD=AE ••• BF=CF , DF=EF (等腰三角形底边上的高与 BD=CE 。
底边上的中线2.如图，在三角形 ABC 中，到E ,使AE=AD ， 连接DE ，试判断直线 解：AF 丄DE .理由：延长ED 交BC 于G , •••/ B+ / E= / C+/ ADE •// ADE= / CDG / C+ /CDG= / BGE , / BGE+ / CGD=18° ••• AF 丄DE .•••/ C+ /FEC=90 ,BC 相交于F 。
求证:•/ AM 丄CD •••/ AMC= / AMD=90 •/ AM=AM (公共边)二RTA ACM 也RT△ ADM (HL)6. 如图，已知 AD 是^ABC 的中线，BE 交AC 于F,且AE=EF,求证：BF=AC证明：过B 点做AC 的平行线,交AD 的延长线于G 点•/ AD 为中线，••• BD=CD •/ BG 平行于 AC ,FGB= / CAF , / DBG= / ACD在^ AFE 和^GFB 中，•••/ FGB= / CAF , / GFB= / AFE ••△ AFE GFB•••/ FGB= / FAE•/ AE=EF, •/ FAE= / AFE•••/ BFG= / G •••△ GFB 为等腰三角形，且 BF=BG 在△ ADC 和△ GBD 中 •// DBG= /ACD , BD=CD , / BDG= / CDA ••△ ADC N GBD •• BG=AC••• BF=AC7. 已知：如图， △ ABC(ABM AC)中，D 、E 在 BC 上， 且 DE=EC,过 D 点作 DF // BA,交 AE 于点F,DF=AC,求证：AE 平分/ BAC证明：延长AE ，过D 作DMI AC 交AE 延长线于 M M= / 1,/ C= / 2在^ DEM 与^ CEA 中/ M= / 1,/ C= / 2, DE=CE•••△ DEM ◎△ CEA•• DM=CA又•/ DF=CA, • DM=DF, •/ M= / 3 •/ AB|| FD,•/ 3=/ 4, •/ 4= / 1 • AE 平分/ BAC8. 已知：如图， △ ABC 中，AB=AC,在AB 上取一点 D,在 延长线上取一点 BC 于点F 若F 是DE 中点。
求 证：BD=CE证明：过 D 作 DF // AC 交 BC 于 F , •/ DF // AC （已知），••/ DFC= / FCE , （平行线的性质）••• AB=AC （已知），•••/ B= / ACB （等边对等角），（等量代换），••• BD=DF （等角对等边），••• BD=CE （已知），•• DF=CE （等量代换），•••/ DFC= / FCE , / DGF= / CGE （已证），•••△ DFG ◎△ ECG （AAS ）,••• DG=GE （对应边相等）E,连接DE 交/ DFB= / ACB •••/ B= /DFB9.已知：如图，在^ABC 中，AB=AC=CE,B 求证：BE=1/2BC 证明：过点 A 作AF 丄BC 交BC 于点F •/△ ABC 是等腰三角形， AB=AC ，/ ABF= AF丄 BC , BF=CF=BC/2 ……(•••/ DBE= / BAF ................................... •••/ DBE+ / ABF=90 = / ACF+ / ECB .....是AD 上一点, (1)BE 丄 CB 交 CD 于 E,AC 丄 DC,/ DBE= / ECB ......................... ( 5) 由( 3 )和(5)知道：/ / BFA= / EBC=90 •• RT △ BFA 也 RT △ EBC (角角边) • BF=EB 由(2)和(6)知道：BE=BC/2••• AF 是BC 上的垂直平分线，•/ BE 丄 BC ,••• BE//AF )•••/ CBE=90(1 )和(4 )知道：BAF= / ECB 又••• AB=CE ,(6)10.如图，AD为^ ABC的角平分线，M为BC的中点，ME // DA交BA延长线于E,求证：BE=CF=1/2(AB+AC)证明：(1)延长EM，使EM=MG，连接CG•••点M 是BC 的中点，••• BM=CM •••/ BME= / CMG •△ BME ◎△ CMG (SAS)••• BE=CG, / E= / G•/ AD 平分 / BAC , •••/ BAD= / CAD •/ ME // DA, •/ BAD= / E , / CAD= / AFE •••/ E= / AFE , ••• AE=AF T/AFE= / CFG , ••/ G= / CFG •• CF=CG , •• BE=CG ,••• BE=CF⑵T BE=AB+AE,••• 2BE=2AB+2AET CF=BE , AC=CF+AF , AE=AF•2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE =AB+BE+AE=AB+(CF+AE) T AC=AF+CF•• 2BE=AB+AC•BE=CF=1/2(AB+AC)11. 如图，已知△ ABC中，AD丄BC, / ABC=2 / C.试说明AB+BD=CD 的理由。
证明：在DC 上截取DE=BD ，连接AE •/ AD 丄BC, •/ ADB= / ADE=90°•/ AD=AD ••• RT △ ADB 也RT△ ADE ( SAS) • AB=AE , / ABC= / AEB•// AEB= / C+ / EAC •// ABC=2 / C (已知) EAC= / C••• AE=CE , • AB=CE •/ CD=CE+DE , • AB+BD=CD12. 已知：如图，AD是^ ABC的角平分线，且AC=AB+BD. 求证：/ B=2 / C.证明：在AC 上作AE = AB，连结DE •/ AC=AB+BD = AE+CE , • BD = CE •/ AD 是角平分线，•/ BAD =/ EAD 又••• AB=AE , AD=AD ••△ ABD ◎△ EAD B = / AED , BD = DE = CE •••/ EDC= / C,/ AED = 2/ C即：/ B = 2/ C13. 如图所示，已知在△ ABC中AD是/ A的平分线，且/ B=2/ C.求证：AC=AB+BD. 证明：延长AB至U E,使AC=AE，连接DE••• AD 是/ BAC 的角平分线•••/ BAD= / DAC (角平分线的定义)•• •公共边AD=AD AC=AE / BAD= / DAC ••△ ACD ◎△ AED (SAS) ACB= / DEA (全等三角形形的对角相等)•// BDE+ / DEB= / CBA / CBA=2 / ACB / ACB= / DEA BDE= / DEA •• BD=BE (等角对等边)•/ AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE••• AB+BD=AC14. 如图，点E是等边△ ABC内一点，且EA=EB, △ ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分/ BDE。
求/ BDE的度数解：连接CE, •/AC=BC , AE=BE , CE为公共边，•••△ BCE ◎△ ACE , •••/BCE= / ACE=30 又T BD=AC=BC , / DBE= / CBE , BE 为公共边，•••△ BDE ◎△ BCE ,•••/ BDE= /BCE=3015. 如图，已知在 △ ABC 中，AB=BC=CA,E 是 AD 上一点，并且 EB=BD=DE. 求证: BD+DC=AD. A提示：证明 △ ABE ◎△ BCD 即可 E B C16.已知：如图， △ ABC 中，/ C=90° , CM 丄AB 于M,AT 平分 / BAC 交CM 于D,交BC 于T,过D作DE // AB 交BC 于E , 求证：CT=BE 证明1: 作DF // BC 交AB 于F 则：•// AFD= / B= / ACD, AT 为/ BAC 的角平分线,AD 为公共边 ••△ AFD ◎△ ACD,AF=AC 连接TF •/ AF=AC, AT 为/ BAC 的角平分线，AT 为公共边 ••△ ACT ◎△ AFT, TF 丄 AF,TF // CM •/ DF // CT // BE,TF // CD,DE // BF 二四边形 CTFD 和四边形 BEDF 都是平 行四边形作 TF 丄 AB 于 F 则：•••/ CDT= / ADM=90 - / DAM=90 - / DAC= / CTD CDT ,••• CT=CD•/ AT 为/ BAC 的角平分线，TF 丄 AB , AC 丄TC •• CT=TF=CD :.△ CDE ◎△ TFB,••• CT=DF=BE证明2: =/ CTD•/ DE // BF,TF // CD,DEC= / B, / DCE= / FTB 又•/ TF=CD••• CE=BT ••• CE -TE=BT-TE,CT=BE。