二、利用“三线合一”作等腰三角形底边上的高
2．如图，AB＝2AC，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且
AE＝BE.求证：CE⊥AC.
证明：作EH⊥AB于H，∵AE＝BE，∴AH＝BH，又∵AB＝2AC，
∴AC＝AH，∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAH，又∵AE＝
AE，∴△AHE≌△ACE(SAS)，∴∠AHE＝∠ACE＝90°， ∴CE⊥AC
第十三章
专题课堂(七)
轴对称
等腰三角形中常见辅助线
一、等腰三角形中底边中点常作底边的中线 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是 AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
证明：连接AD，∵AB＝AC且BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD，又∵AE＝AF，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD(SAS图，将等腰Rt△ABC斜放在平面直角坐标系中，使直角顶点 C与点(1，0)重合，点A的坐标为(－2，1)． (1)求点B的坐标； (2)求△ABC的面积．
解：(1)分别过点 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D，E，则有∠ ADC＝∠BEC＝90 °，∴∠ACD＋∠CAD ＝90°.又∵∠ACB ＝90 °，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE.又∵AC＝BC， ∴△ACD≌△CBE(AAS)， ∴AD＝CE， CD＝BE.∵点 A 的坐标为(－ 2，1)，点 C 的坐标为(1，0)，可得 OC＝1，AD＝CE＝1，OD＝2， ∴CD＝CO＋OD＝3＝BE，OE＝OC＋CE＝2，故点 B 的坐标为(2， 3) 1 (2)S△ABC＝S 梯形 ADEB－S△ACD－S△BCE＝S 梯形 ADEB－2S△ACD＝ ×(1 2
三、作平行线构造等腰三角形
3．(2016· 铜仁)如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC
上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF＝FD.求证：AD＝CE.
证明：作 DG∥BC 交 AC 于 G，则∠DGF＝∠ECF，在△DFG 和△ ∠DGF＝∠ECF， EFC 中 ， ∠DFG＝∠EFG， ∴△ DFG ≌△ EFC(AAS) ， ∴ GD ＝ CE. FD＝EF， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B ，∠AGD＝∠ACB ，∴∠A＝∠ ADG＝∠AGD＝60 °，∴△ADG 是等边三角形，∴AD＝GD，∴AD＝CE
1 ＋3)×4－2× ×3×1＝5 2
四、用截长补短法构造等腰三角形
4．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点
D.求证：BC＝AB＋CD.
证明：在线段 BC 上截取 BE＝BA，连接 DE.∵BD 平分∠ABC， 1 ∴ ∠ ABD ＝ ∠ EBD ＝ ∠ ABC. 又 ∵ BD ＝ BD ， ∴ △ ABD ≌ △ 2 EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB，∴∠DEC ＝180°－108°＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝ 1 ∠ABC＝ ×(180°－108°)＝36°，∠CDE＝180°－∠DEC－∠ 2 ACB ＝ 180 °－ 36 °－ 72 °＝ 72 ° ， ∴∠ CDE ＝∠ DEC ， ∴ CD ＝ CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD