二、用函数极限的定义 证明： 1 4x2 1、 lim1 2 x 2 2 x 1 sin x 2、 lim 0 x x
三、试证 : 函数 f ( x ) 当 x x 0 时极限存在的充分 必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等 . x 四、讨论：函数 ( x ) 在 x 0 时的极限是否 x 存在?
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切
2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,
只要取 ,
x 1 lim 2. x 1 x 1
2
x2 1 当0 x x 0 时, 就有 2 , x 1
3.单侧极限:
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明 lim f ( x ) 1.
x0
例如,
x0 x0
y y 1 x
y x2 1
1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近x 0 , 记作x x 0 0; x从右侧无限趋近x 0 , 记作x x 0 0;
左右极限存在但不相等, lim f ( x ) 不存在.
x 0
二、函数极限的性质
1.有界性
定理 若在某个过程下 , f ( x ) 有极限 , 则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界.
2.唯一性
定理 若lim f ( x ) 存在,则极限唯一.
3.函数极限的局部保号性
定理(保号性)
恒有 f ( x ) A .
1.函数极限与f ( x )在点x 0是否有定义无关; 注意：
2.与任意给定的正数有关.
2、几何解释:
当x在x 0的去心邻 域时,函数y f ( x ) 图形完全落在以直 线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
A A A
y
y f ( x)
x x0 0
f ( x)
f ( x) A
思考题
1 x sin , x 试问函数 f ( x ) 10, 2 5 x ,
极限是否存在？
x0 x 0 在x 0 处
x0 的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x ) 的
左极限
0, 0, 使当x 0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
x x0 0 ( x x0 )
右极限
0, 0, 使当x 0 x x 0 时,
定理 : lim f ( x ) A f ( x 0 0) f ( x 0 0) A.
x x0
x 例6 验证 lim 不存在. x0 x
x x lim lim 证 x 0 x x 0 x
y
1
o
x
lim ( 1) 1
x 0
1
x x lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x x0 x
sin x 0. 例1 证明 lim x x
1 sin x sin x 1 证 , 0 x X x x
y
sin x x
1 0, 取 X , 则当 x X时恒有
sin x 0 , x
x
sin x 故 lim 0. x x
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
注意 : { x 0 x x 0 } { x 0 x x 0 } { x x x 0 0}
x x0 0 ( x x0 )
练习题答案
一、1、0.0002； 四、不存在. 2、 397 .
谢谢!
思考题解答
x 0
lim f ( x ) lim (5 x 2 ) 5,
x 0

左极限存在,
1 lim f ( x ) lim x sin 0, x 0 x 0 x
右极限存在,
lim f ( x ) lim f ( x )
x 0 x 0
lim f ( x ) 不存在.
x 0
练 习 题
一、填空题:
1、当 x 2 时，y x 2 4，问当 取 ___ 时， 只要 0 x 2 ，必有 y 4 0.001 .
x2 1 2、当 x 时，y 2 1，问当 z 取 ______ x 3 时，只要 x z，必有 y 1 0.01 .
满足不等式 f ( x ) A , 那末常数 A 就叫函数
f ( x ) 当 x x 0 时的极限, 记作
x x0
lim f ( x ) A 或
f ( x ) A(当x x 0 )
" " 定义 0, 0, 使当0 x x 0 时,
当x a时的子列.
定理
有数列xn ( a ), 使得n 时xn a .则称数列
若 lim f ( x ) A, 数列f ( xn )是f ( x )当x a
x a n
时的一个子列, 则有lim f ( xn ) A.
三、小结
函数极限的统一定义
lim f ( n) A;
n
lim f ( x ) A;
x
x x0
x
lim f ( x ) A;
x x0
x
lim f ( x ) A;
x x0
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A.
lim f ( x ) A 0, 时刻, 从此时刻以后, 恒有 f ( x ) A .
若 lim f ( x ) A, 且A 0(或A 0),
x x0 0
则 0,当x U ( x0 , )时, f ( x ) 0(或f ( x ) 0).
推论
若 lim f ( x ) A, 且 0,当x U 0 ( x0 , )时,
x x0
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A , 那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
x
f ( x ) A(当x )
" X " 定义
lim f ( x ) A
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
3、几何解释:
y
A
sin x x
X

X
当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A为中心线 , 宽为 2的带形区域内.
定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x ) 的图形的水平渐近线.
2、自变量趋向有限值时函数的极限
问题 : 函数 y f ( x ) 在 x x 0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
(见下表)
过 时
程 刻
从此时刻以后
n x x x N n N x N x N x N
f ( x) A
0
f ( x)
过 时 程 刻
x x0
xx
0
xx
从此时刻以后 0 x x0
0 x x0
o
x0

x0

x0
x
显然, 找到一个后, 越小越好.
例2 证明 lim C C , (C为常数).
x x0
证 任给 0, 任取 0, 当0 x x 0 时,
f ( x ) A C C 0 成立, lim C C . x x
0
例3
证明 lim x x 0 .
x x0
证 f ( x ) A x x 0 , 任给 0, 取 ,
当0 x x 0 时,
f ( x ) A x x 0 成立,
lim x x 0 .
x x0
x 1 例4 证明 lim 2. x 1 x 1
f ( x ) 0(或4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义 设在过程x a (a可以是x0 , x0 , 或x0 )中
f ( xn ), 即f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn ),为函数f ( x )
第三节 函数的极限
• 一、函数极限的定义 • 二、函数极限的性质 • 三、小结 练习题
一、函数极限的定义
1、自变量趋于无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x