八年级数学二次根式综合应用讲义
课前预习
1.
回顾二次根式的相关概念，并完成下列各题．（1）
．2=_____（2）二次根式的乘除法则：
①_______________________；②______________________． （3）二次根式的加减法则：
①______________________；②_______________________．
2.根据幂的运算性质（a ≠0，p 为正整数）进行计算：11p
p
p a a a -⎛⎫
==
⎪⎝⎭
（1）；
（2）
．
2
-⎛ ⎝3-3.有理数混合运算处理方法：①观察_______划_______；②有序操作依_______；③每步推进一点点．
例：
2112(2)(3)2102543.⎛⎫-÷
⨯--⨯-+ ⎪⎝⎭①
②
③
思路分析
观察结构，划为①②③三个部分，对①②部分，每步推进一点点．过程示范
1840.25(3)1
432 31
32
31
343
⎛⎫
=⨯⨯--⨯-+ ⎪⎝⎭
⎛⎫
=---+ ⎪⎝⎭=-++=-
原式
请你类比有理数混合运算处理方法，处理下面实数混合运算：
知识点睛
1.
理解二次根式的双重非负性
（1
且．
0x ≥（220z =，则x =_____，y =_____，z =_____．2.
实数混合运算处理方法：①_____________________；②_____________________；
③_____________________．
做运算时往往需要估计工作量，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．
（1）；22()()a b a b a b +-=-（2）．222()2a b a ab b ±=±+3.比较大小的几种方法：估值法，作差法，乘方法，分母有理化．4.
二次根式与数形结合
被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理解决问题．
精讲精练
1.
当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1；（2（3
2.若x ，y ，z ，则
0=的值为___________．
2()x y z --
3.若a ，b 为实数，且满足的值24129a a =-为___________．
4.实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，
．__________=
5.
当1≤x ≤3
6.
已知b <0，则二次根式的化简结果是（ ）
A ．-
B ．-
C ．
D ．
7.若xy ≠0=- ）
A ．x > 0，y > 0
B ．x > 0，y < 0
C ．x < 0，y > 0
D ．x < 0，y < 0
8.．
_________=
9.计算：
（1）
；
33
8(0.125)
+⨯-
（2
）
30
20152016
1)1)
-
+--；
（3
）；（4）
．
2
1)(3(2
++-
10.用适当的方法比较大小．
（1）
（2
（3（4；
3（5）
与
；（6）
与
．
6
71-2
51-1
32-1
21-
11.
，的大小关系是（ ）
5
2
1
A B ．521
52
1
C <
D <5
2
15
2
1
12.===
类比上述式子，再写出几个同类型的式子．你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．
13.观察下列各式及验证过程：
===．
===；
===
===．
（1
结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥1且n为自然数）表示的等式，并进行验证．
图2C
B
A
图114.问题背景：
在△ABC 中，AB ，BC ，AC
形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上___________．思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．若△ABC
，
（a >0），请利用图2的
正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积．探索创新：
（3）若△ABC
m >0，n >0，且m ≠n ），试利用图3的网格画出相应的△ABC ，并求出这个三角形的面积．
图3
n
m
15.如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连
接AC ，CE ．已知AB =2，DE =1，BD =4，设CD =x ．（1）用含x 的代数式表示AC +CE 的长；（2）求AC +CE 的最小值；
（3）根据（2
）中的规律和结论，请构图求出代数式
+E
D C
B
A
【参考答案】 课前预习
1.
（1）x ；x
（2）；00a b =
≥≥，）
00a b >≥，）（3）①化为最简二次根式；②合并同类二次根式
2.（1）5；（2
3.①结构，部分②法则
2 知识点睛1.0，0，0
2.
①观察结构划部分；②有序操作依法则；③每步推进一点点
精讲精练
1.
（1）（2）（3）3x ≤23x x ≠≥且312x x -≠-≥且2.
9
3.
4.
a b -5.
26.
C 7.
B
8.
-
9.（1）4
+（2）
（3）（4）7-10.（1）<（2）<（3）>
（4）<
（5）>（6）>11.B
12.=，证明略
13.（1===；
（2=
14.（1）7
2
；
（2）图略，△ABC的面积是2
3a；
（3）图略，△ABC的面积是5mn
15.（1）AC CE
+=+（2）5；
（3）13，图略。