高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}24M x x =<，N x x =<{|}1，则M N ⋂=A.{|}x x -<<21B.{|}x x <-2C.{|}x x <1D.{}2x x <【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，{}|22M x x =-<<，所以{}|21M N x x =-<<，故选A.考点：集合的运算.2.设i 是虚数单位，若复数z 满足()()11z i i +=-，则复数z 的模z = A.1- B.1D.2【答案】B 【解析】试题分析：根据题意有21(1)12i i z i i --===-+，所以有1z =，故选B. 考点：复数的运算，复数的模.3.在ABC ∆中，45,105,o o A C BC ∠=∠==AC 为1-【答案】B 【解析】试题分析：根据题意有1801054530B ∠=︒-︒-︒=︒，根据正弦定理可知sin sin AC BCB A=，从而有112AC ==，故选B.考点：正弦定理.4.椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线283x y = 的焦点，则椭圆C 的标准方程为A.22142x y +=B.22143x y +=C.221129x y += D.2211612x y +=【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，可知抛物线的焦点为(0,23)，所以对于椭圆而言，23b =，结合离心率等于12，可知4a =，所以方程为2211612x y +=，故选D.考点：抛物线的性质，椭圆的性质，椭圆的方程. 5.下列程序框图中，输出的A 的值是A.128 B.129 C.131 D.134【答案】C 【解析】试题分析：根据题意有，在运行的过程中，11,1,,24A i A i ====；114,3774A i ===；11710107A ==，4i =；1110,5131310A i ===；，以此类推，就可以得出输出的A 是以1为分子，分母构成以3为首项，以3为公差的等差数列，输出的是第10项，所以输出的结果为131，故选C.考点：程序框图.6.将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后的图形关于原点对称，则函数 ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为A.32 B.12 C.12-D.32-【答案】D考点：函数图像的变换，函数在某个区间上的最值问题.7.函数cos622x xxy-=-的图像大致为【答案】A【解析】试题分析：根据函数的奇偶性，可知函数为奇函数，所以图像关于原点对称，故C,D不对又因为在0x>，且比较接近于零的地方，cos60,220x xx->->，所以函数值大于零，图像在第一象限，所以B 不对，故选A.考点：函数图像的选取.8.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+11yyxyx所表示的平面区域为D，若直线3y kx=-与平面区域D有公共点，则k的取值范围为是A.[3,3]- B.11(,][,)33-∞-+∞ C.(,3][3,)-∞-+∞ D.11[,]33-【答案】C【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件画出可行域，构成以(1,0),(1,0),(0,1)A B C-为顶点的三角形区域，因为直线3y kx =-过点(0,3)P -，如果使得直线与平面区域有公共点，可知3PA k k ≤=-或3PB k k ≥=，故选C.考点：二元一次不等式组表示的平面区域，斜率取值范围问题.9.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A .203B .163C .86π-D .83π-【答案】A考点：根据三视图还原几何体，求其体积. 10.42()(1)x x x+-的展开式中x 的系数是A.1B.2C.3D.12【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，式子的展开式中含x 的项有4(12)-展开式中的常数项乘以2x x+中的x 以及4(12)展开式中的含2x 的项乘以2x x +中的2x两部分，所以其系数为2113⋅+=，故选C. 考点：二项式定理.11.如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A.4B.7C.332 D.3【答案】B 【解析】试题分析：设正三角形的边长为m ，即22AB AF BF m ===，结合双曲线的定义，可知12122,4,2BF a BF a F F c ===，根据等边三角形，可知12120F BF ∠=︒,应用余弦定理，可知222141622442a a a a c ++⋅⋅⋅=，整理得7ca= B.考点：双曲线的定义，双曲线的离心率.12.已知函数11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩>,则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡e 1,41 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D.1,4e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】试题分析：ln y x =，所以1'y x=，设切点为00(,)x y ，则切线方程为0001()y y x x x -=-，即0001ln ()y x x x x -=-，与直线y ax =重合时，有01a x =，0ln 10x -=，解得0x e =，所以1a e=，当直线与直线114y x =+平行时，直线为14y x =，当1x =时，11ln ln1044x x -=-<，当x e =时，11ln ln 044x xe e -=->，当3x e =时，3311ln ln 044x x e e -=-<，所以ln y x =与14y x =在3(1,),(,)e e e 上有2个交点，所以直线在14y x =和1y x e=之间时与函数()f x 有2个交点，所以11[,)4a e∈，故选B.考点：函数图像的交点问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(0,)απ∈，4cos 5α=，则sin()πα-=．【答案】35【解析】试题分析：根据同角三角函数关系式，结合角的取值范围，可求得3sin 5α=，根据诱导公式，可以求得3sin()sin 5παα-==.考点：同角三角函数关系式，诱导公式.14.在ABC ∆中，90,B ∠=1,AB BC ==．点M 满足2BM AM =，则CM CA ⋅=______, 【答案】3 【解析】试题分析：根据题意，设(0,0),(1,0),(0,1)B C A ,根据2BM AM =，可知(0,2)M ，此时有(1,2)(1,1)123CM CA ⋅=-⋅-=+=.考点：向量的数量积.15.如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为．【答案】13【解析】试题分析：根据题意，可以求得阴影部分的面积为31231200211()()|333S x x dx x x ==-=⎰，故该点落在阴影部分中的概率为11313P ==.考点：几何概型.16.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为． 【答案】4π 【解析】试题分析：根据题意，设2BC m =，则有11BB m=，从而有其外接球的半径为22114R m m =+≥，所以其比表面积的最小值为4S π=. 考点：几何体的外接球，基本不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足：0n a ≠,113a =，112n n n n a a a a ++-=⋅，(n N *∈). （1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出n a ；（2）证明：122311...6n n a a a a a a ++++<.【答案】（1）证明见解析，121n a n =+；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：第一问对题中所给的式子进行变形，得出1112n na a +-=，利用等差数列的定义确定出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，求得其通项公式，第二问利用裂项相消法对数列求和，得到122311111...()23236n n a a a a a a n ++++=-<+，从而得证. 试题解析：（1）得出1112n n a a +-=………………………………………………………………2分 111{}n a a 是以为首项，2为公差的等差数列……………………………………………3分 ()1111221n n n a a =+-⨯=+…………………………………………………………5分 121n a n =+………………………………………………………………………………6分 （2）()()11111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭……………………………………8分()()12231111......35572123n n a a a a a a n n ++++=++⨯⨯++ 111111111111...235257221232323n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………10分 1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭16<……………………………………………………………………12分考点：等差数列的证明，数列的通项公式，裂项相消法求和.18.(本小题满分12分)如图，矩形ABEF 所在的平面与等边ABC ∆所在的平面垂直，22AB AF ==，O 为AB 的中点．（1）求证：OE FC ⊥；（2）求二面角F CE B --的余弦值. 【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）14-试题解析：（I ）证明：连接OC ,OF ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥. ………1分 又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ， 故OC ⊥平面ABEF . …………………2分 因为OE ⊂面ABEF ，于是OC OE ⊥. ……………………3分 又矩形ABEF ，22AB AF ==，所以OF OE ⊥. ……………4分 又因为OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， ………………5分 所以OE FC ⊥. ………………6分（Ⅱ）由（I ）得，22AB AF ==，取EF 的中点D ，以O 为原点，,,OC OB OD 所在的直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系。