2015-2016学年度第一学期高三期中调研测试数 学 试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）2015．11注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{|||2}A x x =≤，{|321}B x x =-≥，则AB = ▲ ．2．已知复数z满足1iz =（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．命题“,sin 1R θθ∀∈≤”的否定是 ▲ ． 4．若1sin,[2,3]22ααππ=-∈，则α= ▲ ． 5．设x ，y 满足约束条件202502x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值为 ▲ ．6．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则实数a = ▲ ． 7．在ABC ∆中，若1AB =，2BC =，CA =AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值是▲ ．8．已知函数(0)()1(0)xe xf x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式2()(2)f x f x <-的解集为 ▲ ．9．将函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<图象上每一点的横坐标变为原的2倍（纵坐标不变），然后把所得图象上的所有点沿x 轴向右平移3π个单位，得到函数2sin y x =的图象，则()f ϕ= ▲ ．10．已知直线30x y -+=与圆222:(0)O x y r r +=>相交于,M N 两点，若3OM ON ⋅=，则圆的半径r = ▲ ．11．若x 轴是曲线()ln 3f x x kx =-+的一条切线，则k = ▲ ．12．已知定点(1,2)M -，动点N 在单位圆221x y +=上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形OMPN ，则点P 到直线34100x y ++=距离的取值范围是 ▲ ． 13．ABC ∆中，1tan 3A =，4B π=．若椭圆E 以AB 为长轴，且过点C ，则椭圆E 的离心率是 ▲ ．14．实数a 、b 、c 满足2225a b c ++=，则 2687ab bc c -+的最大值为 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）设函数()sin()cos 464f x x x πππ=--．（1）求()f x 的单调增区间；（2）若(0,4)x ∈，求()y f x =的值域．16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(cos ,sin)2Cm C =，(sin,cos )2Cn C =，且//m n ． （1）求角C 的大小； （2）若2222a b c =+，求A tan 的值．17．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率为12．过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥． （1）若椭圆C 的右准线方程为：4x =，求椭圆C 的方程；（2）设直线BD 、AB 的斜率分别为1k 、2k ，求12kk 的值．18．（本小题满分16分）有一块三角形边角地，如图中ABC ∆，其中8AB =（百米），6AC =（百米），60A ∠=︒．某市为迎接2500年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪（图中AEF ∆）供市民休闲，其中点E 在边AB 上，点F 在边AC 上．规划部门要求AEF ∆的面积占ABC ∆面积的一半，记AEF ∆的周长为l （百米）．（1）如果要对草坪进行灌溉，需沿AEF ∆的三边安装水管，求水管总长度l 的最小值； （2）如果沿AEF ∆的三边修建休闲长廊，求长廊总长度l 的最大值，并确定此时E 、F 的位置．F E C BA （18题图） （17题图）19．（本小题满分16分）已知直线220x y -+=与圆22:40C x y y m +-+=相交，截得的弦长为5． （1）求圆C 的方程；（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线2y x =相交于M 、N 两点（异于原点）．证明：直线MN 与圆C 相切；（3）若抛物线2y x =上任意三个不同的点P 、Q 、R ，且满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明． 20．（本小题满分16分）已知函数33()|1|f x x x ax =-++()a R ∈． （1）解关于字母a 的不等式2[(1)](2)f f -≤； （2）若0a <，求()f x 的最小值；（3）若函数()f x 有两个零点12,x x ，试判断12()f x x 的符号，同时比较12()f x x 与1a +的大小，并说明理由．2015-2016学年度第一学期高三期中调研测试数 学 试 题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）2015．1121．（本小题满分10分） 已知矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值4的一个特征向量为23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ．22．（本小题满分10分）3个女生，4个男生排成一排，记X 表示相邻女生的个数，求随机变量X 的概率分布及数学期望． 23．（本小题满分10分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，11B C AC ⊥． （1）求1AA 的长．（2）在线段1BB 存在点P ，使得二面角1P A C A --1BPBB 的值．24．（本小题满分10分）已知0()[(1)()]nkkn nk k F x Cf x ==-∑（*n N ∈）．（1）若()kk f x x =，求2015(2)F 的值；（2）若()k xf x x k=+（{0x ∉，1-，…，}n -），求证：!()(1)(2)()n n F x x x x n =+++．B 12015-2016学年度第一学期高三期中调研测试数 学 试 题Ⅰ 参 考 答 案2015．11一、填空题1．[1,2] 2．2 3．,sin 1R θθ∃∈> 4．73π 5．9 6．147．5- 8．(2,1)- 9．0 1011．2e 12．[2,4] 1314．45 二、解答题15．解：（1）3()sin()cos cos sin()46442443f x x x x x x πππππππ=--=-=- ……4分∵222432k x k ππππππ-+≤-≤+ ∴2108833k x k -+≤≤+，k Z ∈∴()f x 的单调增区间为：210[8,8]()33k k k Z -++∈ ……7分（2）∵)4,0(∈x ∴23433x ππππ-<-<∴sin()1243x ππ-<-≤ ∴()f x的值域为：3(2- ……14分16．解：（1）∵//m n ∴22cos sin 02C C -= ……3分∴21cos cos 02C C --= 整理得：22cos cos 10C C +-=，解得：1cos 2C =或cos 1C =-∵(0,)C π∈ ∴3C π= ……7分（2）∵3C π=∴222222cos3c a b ab a b ab π=+-=+-∵2222a b c =+ ∴22222a b a b ab =++- ∵0b > ∴3a b =∴c = ……10分∴222cos A == ∵(0,)A π∈∴tan A =- ……14分 17．解：（1）∵2124c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，解得：21a c =⎧⎨=⎩∴23b =∴椭圆方程为：22143x y +=……6分 （2）法（一） 设11(,)A x y ，22(,)D x y ，则11(,)B x y --，∵A ，D 在椭圆上∴22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ∴121212122211()()()()0x x x x y y y y a b +-++-=∴22110AD BD k k a b +⋅= ∵12c e a == ∴2234b a = ∴134AD k k =- ……11分∵AD AB ⊥ ∴21ADk k =- ∴1234314AD ADk k k k -==- ……14分 法（二） 设00(,)A x y ，11(,)D x y ，则00(,)B x y --则222201222221010102222210101010(1)(1)AD BDx x b b y y y y y y b a a k k x x x x x x x x a----+-⋅=⋅===--+--，下同法（一）18．解：（1）设AE x =（百米）∵12AEF ABC S S ∆∆=∴111sin sin 222AE AF A AB AC A ⋅⋅=⨯⋅⋅ ∵8AB =，6AC = ∴ 24AF x = ∵082406x x <≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩∴48x ≤≤ ……2分 ∵AEF ∆中，222222242424()2cos 6024EF x x xx x=+-⋅︒=+- ∴24[4,8]l x x x =+∈……5分24lx x =+≥=，当且仅当x =“=”∴min l =……8分 （2）由（1）知：24[4,8]l x x x =+∈令24,[4,8]t xx x=+∈ ∴2222424'1x t x x -=-==列表得：且4x =时，10t =；8x =时，11t =，则t ∈ ……12分l t =上单调增 ∴当11t =时，max 18l =， 此时8,3AE AF ==答：水管总长度l 的最小值为百米；当点E 在A 处，点F 在线段AC 的中点时，长廊总长度l 的最大值为18百米． ……16分 19．解：（1）∵(0,2)C ∴圆心C 到直线220x y -+=的距离为d ==∵截得的弦长为5 ∴2221r =+= ∴圆C 的方程为：22(2)1x y +-= ……4分（2）设过原点的切线方程为：y kx =，即0kx y -=1=，解得：k =∴过原点的切线方程为：y =，不妨设y =与抛物线的交点为M ，则2y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得：M ，同理可求：(N ∴直线:3MN y = ……7分 ∵圆心(0,2)C 到直线MN 的距离为1且1r = ∴直线MN 与圆C 相切； ……9分 （3）直线QR 与圆C 相切．证明如下：设222(,),(,),(,)P a a Q b b R c c ，则直线PQ 、PR 、QR 的方程分别为：PQ ：()0a b x y ab +--=，PR ：()0a c x y ac +--=；QR ：()0b c x y bc +--=∵PQ 是圆C 的切线1=，化简得： 222(1)230a b ab a -++-= ①∵PR 是圆C 的切线，同理可得：222(1)230a c ac a -++-= ② ……12分则,b c 为方程222(1)230a x ax a -++-=的两个实根 ∴22223,11a abc bc a a -+=-=--∵圆心到直线QR的距离为：2223|2|1a d r -+=====∴直线QR 与圆C 相切． ……16分20．解：（1）∵2[(1)](2)f f -≤ ∴2(1)152a a -≤+，即24140a a --≤，解得：22a -≤≤+ ……3分（2）∵3331, 1()|1|21,1ax x f x x x ax x ax x +<⎧=-++=⎨+-≥⎩ ∴ 2, 1'()6,1a x f x x a x <⎧=⎨+≥⎩设260x a +=，则x =，若60a -≤<，则01<≤， ∴当1x <时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，∴()f x 在(,1)-∞上单调减，在(1,)+∞上单调增，故函数()f x 有最小值(1)1f a =+； ……6分若6a <-，1>，∴当1x <时，'()0f x <，当1x <<'()0f x <，当x >时，'()0f x >，又()f x 是连续函数，∴()f x在(-∞上单调减，在)+∞上单调增，故函数()f x有最小值1f =1=；综上可得：min1(60)()1(6)a a f x a +-≤<⎧⎪=⎨<-⎪⎩ ……9分 （3）由（2）知，当0a ≥时，'()0f x >，函数()f x 在R 上单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当10a -≤<时，min ()f x =10a +≥，不可能有两个零点； ……11分 若1a <-，∴1a ->，则(0)10,(1)10,f f a =>=+<10f =->，则()f x 在(0,1)，(1,)a -分别有一个零点，不妨设12x x < ∴101x << ，21x a <<-，且132210210ax x ax +=⎧⎨+-=⎩ ∴ 1322121x a x a x ⎧=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩∴22122321()21x x x x a x =-=- 又23222222221233322221(1)(21)110212121x x x x x x x x x x x -++--++-=-==<---， ∴1121x x x <<， 又()f x 在(0,1)上单调递减，∴121(1)()()f f x x f x <<，即121()0a f x x +<<．……16分数 学 试 题Ⅱ 参 考 答 案21．由条件，1224233a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ∴2382612a b +=⎧⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩ ……5分 ∵1232A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ∴276910A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……10分 22．X 的可能取值有0,2,34345772(0)7A A P X A ===；242345774(2)7A A A P X A ===；3535771(3)7A A P X A === ……6分 随机变量X 的概率分布为：答：数学期望为7． ……10分23．（1）以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AA t =， 则(0,0,0)A ，1(0,4,)C t ，1(3,0,)B t ，(0,4,0)C ∴1(0,4,)AC t =，1(3,4,)BC t =-- 11B C AC ⊥110AC BC ∴=，即2160t -=，解得4t =，即1AA 的长为4． ……3分 （2）设(3,0,)P m ，又(0,0,0)A ，(0,4,0)C ，1(0,0,4)A1(0,4,4)AC ∴=-，1A P =(3,0,4)m -，且04m ≤≤ 24111()0237777E X ∴=⨯+⨯+⨯=X0 2 3 P27 47 17设(,,)n x y z =为平面1PA C 的法向量 11,n AC n A P ∴⊥⊥∴4403(4)0y z x m z -=⎧⎨+-=⎩，取1z =，解得41,3m y x -==， ∴4(,1,1)3m n -=为平面1PA C 的一个法向量． ……6分 又知(3,0,0)AB =为平面1A CA 的一个法向量，则cos ,4311(n AB <>=++ ∵二面角11P A C A --大小的余弦值为3， 2334311(=++， 解得：1m = 114BP BB ∴= ……10分 24．（1）00()[(1)()][()](1)nn k kk k n n n k n k k F x C f x x C x ===-=-=-∑∑ ∴2015(2)1F =- ……3分（2）①1n =时，左边1111x x x =-==++右边 ②设n m =时，对一切实数(0,1,,)x x m ≠--，有0!(1)(1)(2)()m k k mk x m C x k x x x m =-=++++∑， ……5分 那么，当1n m =+时，对一切实数(0,1,,(1))x x m ≠--+，有111101(1)1(1)[](1)1m m kk k k k m m m m k k x x x C C C x k x k x m +-++==-=+-++-++++∑∑ 1101001(1)(1)(1)((1))11m m m m k k k k k k k k mm m m k k k k x x x x x C C C C x k x k x k x k x +-====+=-+-=---⋅++++++∑∑∑∑!!(1)(2)()(2)(3)(1)1m m x x x x m x x x m x =-⋅++++++++ !(1)(2)()(1)(1)(2)(1)m x m x m x x x m x m x x x m ++-+==+++++++++ 即1n m =+时，等式成立．故对一切正整数n 及一切实数(0,1,,)x x n ≠--，有0!(1)(1)(2)()n k kn k x n C x k x x x n =-=++++∑ ……10分。