《导数、定积分及应用测试》参考答案：
1、（ B ） 2．（ B ） 3．（A ） 4.（ C ） 5.（ B ） 6、（ B ） 7、（ D ） 8、（C ） 9、（ B ） 10、（D ）
11、解：11231
001
()()3
f x dx ax c dx ax cx
=+=+⎰⎰203
a
c ax c =
+=+03x =∴12、a>2或a<-1； 13、-1/2 ； 14、10；
15、设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106
..=⎰xdx 。

16题、解方程组⎩⎨⎧-==2
x
x y kx
y 得：直线kx y =分抛物线2x x y -=的交点的横坐标为0=x 和k x -=1抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为
61
|)3121()(10
32102=-=-=⎰x x dx x x S 由题设得 dx kx dx x x S
k k ⎰⎰----=10102)(2
6)1()(310
2
k dx kx x x k
-=
--=⎰
- 又6
1
=S ，所以21)1(3=-k ，从而得：2
4
13
-
=k 17题、（1）323)('2
-+=bx ax x f ，依题意， 0)1(')1('=-=f f ，即⎩
⎨⎧=--=-+.0323,
0323b a b a
解得 0,1==b a ∴x x x f 3)('3-=，∴)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f 令0)('=x f ，
得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈ x ，则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数； 若)11(，-∈x ，则0)('<x f 故)(x f 在
)1,1(-上是减函数；所以2)1(=-f 是极大值，2)1(-=f 是极小值。

（2）
曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上。

设切点为),(00y x M ，则
03003x x y -= 由)1(3)('2
00-=x x f 知，切线方程为 ))(1(302
00x x x y y --=- 又点)16,0(A 在切线上，有
)0)(1(3)3(1602
003
0x x x x --=--化简得 83
0-=x ，解得 20-=x 所以切
点为)2,2(--M ，切线方程为 0169=+-y x
18题、要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。

22()333(1)f x ax ax '=-=-
01 当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。

02当0a <时22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即()f x 单调递减，
min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去。

0
3当0a >
时()0f x x '=⇒=
11a ≤⇒≥时()f x
在1,⎡-⎢⎣和
⎤⎥⎦
上单调递增，在⎛ ⎝
上单调递减。

所以min
()min (1),f x f f ⎧⎫⎪
⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩
⎭(1)40
0410f a a f -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪
⎩
当11a >⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减，
min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去。

综上可知a=4.
19题、 (1) '22ln 1(),ln x f x x x +=-
若 '
()0,f x = 则 1x e
=
列表如下
x 1(0,)e
1e 1
(,1)e
(1,)+∞ '()f x + 0 - - ()f x
单调增
极大值
1()f e
单调减
单调减
(2) 在 1
2a x
x > 两边取对数, 得 1
ln 2ln a x x >,由于01,x <<所以
1ln 2ln a x x >
由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1
()()f x f e e
≤=-,为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2
a
e >-,即ln 2a e >-
20题、（1）①当时010t <≤，12
4
()(1440)5050,t V t t t e =-+-+<化简得
214400t t -+>，解得410,010,04t t t t <><≤<<或又故.②当012t <≤1时，()4(10)(341)5050V t t t =--+<,化简得，(10)(341)0t t --<解得
41
10,012,0123
t t t <<
<≤<≤又1故1.综上得，04t <<,或012t <≤1.故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。

（2）由（1）知，()V t 的最
大值只能在(4,10)内内达到。

由11
'
24
4131()(4)(2)(8)424
t t V t e t t e t t =-++=-+-,令
'()0V t =，解得8t =（2t =-舍去）。

当t 变化时，'()V t 与()V t 的变化情况如下
由上表，()V t 在8t =时取得最大值2(8)850108.32V e =+=（亿立方米）。

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。

21题、（I ）()f x 的定义域为{}1x x >，当2n =时
21()ln(1),1
)f x a x x =+--（/
2/
23
12(1)()ln(1),.1)1)a x f x a x x x ⎡⎤--=+-=⎢⎥--⎣
⎦
（（1）当0a >时，由/()0f x =得12
11,11,x x =+
>=</123()()(),1)
a x x x x f x x ---=-（当1,1x ⎛∈+ ⎝时，/
()
0,f x <()f x
单调递减；当1x ⎛⎫∈++∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，/()0,f x >()f x 单调递增。

2）当0a ≤时/()0f x <恒成立，()f x 无极值。

纵上可
知2n =时，当0a >时()f x 在1x =+
2
(1(1ln ),2a f a
+
=+当0a ≤时()f x 无极值。

（II ）当1a =时，1
()ln(1),1)n
f x x x =+--（
当2x ≥时，对任意*,n N ∈恒有1
11)
n
x ≤-（，故只需证1ln(1)1x x +-≤-。

令[]()11ln(1)2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2,x ∈+∞，
/12()10,11
x h x x x -=-
=≥-- 故()h x 在[)2,+∞上单调递增，即()(2)h x h ≥在[)2,+∞上恒成立，而
(2)0,h =[]()11ln(1)0,h x x x =--+-≥1ln(1)1x x +-≤-恒成立，因此，当2x ≥时，恒有() 1.f x x ≤-。