第五单元 导数的概念与计算、定积分与微积分定理考点一 导数的计算1.(2016年四川卷)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )={-lnx,0<x <1,lnx,x >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ).A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞) 【解析】由图象易知P 1,P 2位于f (x )图象的两段上,不妨设P 1(x 1,-ln x 1)(0<x 1<1),P 2(x 2,ln x 2)(x 2>1), 则函数f (x )的图象在点P 1处的切线l 1的方程为y+ln x 1=-1x 1(x-x 1),即y=-x x 1+1-ln x 1. ①则函数f (x )的图象在点P 2处的切线l 2的方程为y-ln x 2=1x 2(x-x 2),即y=x x 2-1+ln x 2. ②由l 1⊥l 2,得-1x 1×1x 2=-1,∴x 1x 2=1.由切线方程可求得A (0,1-ln x 1),B (0,ln x 2-1), 由①②知l 1与l 2交点的横坐标x P =2−lnx 1-lnx 21x 1+1x 2=2x1+x 2. ∴S △PAB =12×(1-ln x 1-ln x 2+1)×2x1+x 2=2x1+x 2=2x 1+1x1. 又∵x 1∈(0,1),∴x 1+1x 1>2,∴0<2x 1+1x1<1,即0<S △PAB <1.【答案】A2.(2015年天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f'(x )为f (x )的导函数.若f'(1)=3,则a 的值为 .【解析】f'(x )=a (lnx +x ·1x)=a (1+ln x ). 因为f'(1)=a (1+ln 1)=a ,又f'(1)=3,所以a=3. 【答案】3考点二 导数的几何意义3.(2016年山东卷)若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质,下列函数中具有T 性质的是( ).A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x 3【解析】若y=f (x )的图象上存在两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2)),使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则f'(x 1)·f'(x 2)=-1.对于A :y'=cos x ,若有cos x 1·cos x 2=-1,则存在x 1=2k π,x 2=2k π+π(k ∈Z )时,结论成立; 对于B :y'=1x,若有1x 1·1x 2=-1,则存在x 1x 2=-1,∵x>0,∴不存在x 1,x 2,使得x 1x 2=-1; 对于C :y'=e x,若有e x 1·e x 2=-1,则存在e x 1+x 2=-1,显然不存在这样的x 1,x 2;对于D :y'=3x 2,若有3x 12·3x 22=-1,则存在9x 12x 22=-1,显然不存在这样的x 1,x 2.综上所述,故选A . 【答案】A4.(2015年全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=ax 3+x+1的图象在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a= .【解析】∵f'(x )=3ax 2+1,∴f'(1)=3a+1.又f (1)=a+2,∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1.【答案】15.(2016年全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x-1-x ,则曲线y=f (x )在点(1,2)处的切线方程是 .【解析】设x>0,则-x<0,f (-x )=e x-1+x.∵f (x )为偶函数,∴f (-x )=f (x ),∴f (x )=e x-1+x (x>0). ∵当x>0时,f'(x )=e x-1+1, ∴f'(1)=e 1-1+1=1+1=2.∴曲线y=f (x )在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. 【答案】2x-y=06.(2016年全国Ⅱ卷)若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .【解析】求得(ln x+2)'=1x,[ln (x+1)]'=1x+1. 设曲线y=ln x+2上的切点为(x 1,y 1),曲线y=ln (x+1)上的切点为(x 2,y 2), 则k=1x 1=1x 2+1,所以x 2+1=x 1.又y 1=ln x 1+2,y 2=ln (x 2+1)=ln x 1, 所以k=y 1-y 2x 1-x 2=2,所以x 1=1k =12,y 1=ln 12+2=2-ln 2, 所以b=y 1-kx 1=2-ln 2-1=1-ln 2. 【答案】1-ln 2考点三 定积分及其应用7.(2014年江西卷)若f (x )=x 2+2∫ 10f (x )d x ,则∫ 10f (x )d x=( ).A.-1B.-13C.13D.1【解析】∵f (x )=x 2+2∫ 10f (x )d x ,∴∫ 10f (x )d x=(13x 3+2x ∫f 10(x)dx)| 01=13+2∫f 1(x)dx, ∴ ∫ 10f (x )d x=-13.【答案】B8.(2014年山东卷)直线y=4x 与曲线y=x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ).A.2√2B.4√2C.2D.4【解析】令4x=x 3,解得x=0或x=±2,∴S=∫24x -x 3)=(2x 2-x 44) 02=8-4=4,故选D .【答案】D9.(2014年陕西卷)定积分∫ 10(2x+e x)d x 的值为( ).A.e+2B.e+1C.eD.e-1【解析】∫10(2x+e x)d x=(x2+e x)|1=e.故选C.【答案】C10.(2015年天津卷)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.【解析】如图,阴影部分的面积即为所求.由{y=x2,y=x,得A(1,1).故所求面积为S=∫10(x-x2)d x=(12x2-13x3)01=16.【答案】1611.(2015年陕西卷)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为y=225x2-2,抛物线与x轴围成的面积S1=∫5-5(2−225x2)d x=403,梯形面积S2=(6+10)×22=16.故原始的最大流量与当前最大流量比为S2∶S1=1.2.【答案】1.2高频考点:导数的几何意义、导数的运算,定积分的计算偶尔涉及.命题特点:导数的几何意义,主要以小题的形式考查,有时也会作为解答题的第一小问出现,难度不大.导数是研究函数的工具,其运算渗透在解答题中,定积分全国卷近几年没有涉及,地方卷偶尔考查,是基础题.§5.1导数概念及其运算一导数的概念1.函数y=f(x)在x=x0处的导数:定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率lim Δx→0=f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx→0ΔyΔx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x.几何意义:函数f (x )在点x 0处的导数f'(x 0)的几何意义是曲线y=f (x )在点 处的 .相应地,切线方程为 .2.函数f (x )的导函数:lim Δx →0=f(x+Δx)-f(x)Δx . 二 基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )=x n (n ∈Q *) f'(x )= f (x )=sin x f'(x )= f (x )=cos x f'(x )= f (x )=a x f'(x )= (a>0) f (x )=e xf'(x )=f (x )=log a x f'(x )=1xlnaf (x )=ln x f'(x )=1x三 导数的运算法则1.[f (x )±g (x )]'= ;2.[f (x )·g (x )]'= ;3.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g (x )≠0). 四 复合函数的导数复合函数y=f (g (x ))的导数和函数y=f (u ),u=g (x )的导数间的关系为y x '= ,即y 对x 的导数等于 的导数与 的导数的乘积.☞ 左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x 0)与(f (x 0))'表示的意义相同. ( ) (2)函数f (x )=(x+2a )(x-a )2的导数为3(x 2-a 2).( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. ( ) (4)若f (x )=sin α+cos x ,则f'(x )=cos α-sin x.( )若f (x )=x ·e x,则f'(1)等于( ).A.0B.eC.2eD.e2曲线y=sin x+e x在点(0,1)处的切线方程是().A.x-3y+3=0B.x-2y+2=0C.2x-y+1=0D.3x-y+1=0若y=ln(2x+5),则y'=.设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=f'(π2)sin x+cos x,则f'(π4)=.已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,求a的值.知识清单一、1.(x0,f(x0))切线斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)二、n·x n-1cos x-sin x a x ln a e x三、1.f'(x)±g'(x)2.f'(x)g(x)+f(x)g'(x)四、y'u·u'x y对u u对x基础训练1.【解析】(1)错误,f'(x0)表示导函数值,(f(x0))'=0,是常数的导数.(2)正确,由求导公式计算可知f(x)'=3(x2-a2).(3)正确.(4)错误,f'(x)=-sin x.【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2.【解析】f'(x)=e x+x e x,则f'(1)=2e.【答案】C3.【解析】y'=cos x+e x,则切线斜率k=2,所以切线方程2x-y+1=0.【答案】C4.【解析】y'=22x+5.【答案】22x+55.【解析】因为f'(x )=f'(π2)cos x-sin x ,所以f'(π2)=-1,所以f'(π4)=√22f'(π2)-√22=-√2.【答案】-√26.【解析】设切点P (m ,ln (m+a )),又y'=1x+a, 所以{1m+a=2,ln(m +a)=2m -1,解得a=12ln 2.题型一 导数的计算【例1】(1)f (x )=x 2+xe x; (2)f (x )=x 3+2x -x 2lnx -1x 2; (3)y=x sin (2x +π2)cos (2x +π2).【解析】(1)f'(x )=(2x+1)e x -(x 2+x)e x (e x )2=1+x -x 2e x .(2)由已知得f (x )=x-ln x+2x -1x2,∴f'(x )=1-1x -2x 2+2x 3=x 3-x 2-2x+2x 3.(3)∵y=x sin (2x +π2)cos (2x +π2)=12x sin (4x+π)=-12x sin 4x ,∴y'=-12sin 4x-12x ·4cos 4x=-12sin 4x-2x cos 4x.【变式训练1】(1)函数y=(1-√x )(1+1√x),则y'= .(2)已知f (x )=sin (3x -π4),则f'(π3)= .【解析】∵y=(1-√x )(11√x )=1√x-√x =x -12-x 12,∴y'=-12x-32-12x-12=-12x-32+x-12.(2)∵y'=cos(3x-π4)·(3x-π4)'=3cos(3x-π4),∴f'(π3)=3cos(3×π3-π4)=-3√22.【答案】(1)-12x-32-x12(2)-3√22题型二导数的几何意义【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.【解析】∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1.又f(2)=-2,∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.(2)设切点坐标为(x0,x03-4x02+5x0-4),∵f'(x0)=3x02-8x0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3x02-8x0+5)(x-2).又切线过点(x0,x03-4x02+5x0-4),∴x03-4x02+5x0-2=(3x02-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,∴经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.【变式训练2】(1)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为().A.1B.2C.-1D.-2(2)设a∈R,函数f(x)=e x+ae x 的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为.【解析】(1)设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a).又y'=1x+a,所以y'|x=x0=1x0+a=1,即x0+a=1.又y0=ln(x0+a),所以y0=0,则x0=-1,所以a=2.(2)函数f(x)=e x+ae x 的导函数是f'(x)=e x-ae x.又f'(x)是奇函数,所以f'(x)=-f'(-x),即e x-ae x=-(e-x-a·e x),则e x(1-a)=e-x(a-1),所以(e2x+1)·(1-a)=0,解得a=1,所以f'(x)=e x-1e x.令e x-1e x=32,解得e x=2或e x=-12(舍去),所以x=ln2.【答案】(1)B(2)ln 2题型三导数运算的应用【例3】设点P,Q分别是曲线y=x e-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+1上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为().A.√22(2−1e) B.√2(2−1e)C.√22D.√2【解析】y'=e-x-x e-x=(1-x)e-x,令(1-x)e-x=1,得e x=1-x,e x+x-1=0,令h(x)=e x+x-1,显然h(x)是增函数,且h(0)=0,即方程e x+x-1=0只有一解x=0,曲线y=x e-x在x=0处的切线方程为y=x,故两条平行线x-y=0和x-y+1=0间的距离为d=1√2=√22,即P,Q两点间距离的最小值为√22,故选C.【答案】C【变式训练3】f(x)=x(2017+ln x),若f'(x0)=2018,则x0等于().A.e2B.1C.ln 2D.e【解析】f'(x)=2017+ln x+x×1x=2018+ln x,故由f'(x0)=2018得2018+ln x0=2018,则ln x0=0,解得x0=1.【答案】B方法一化归转化思想在导数运算中的应用对于比较复杂的函数求导,若直接套用求导法则,计算过程繁琐冗长,且易出错.可先化简将其转化为基本初等函数,再求导,但要注意变形的等价性,避免不必要的失误.【突破训练1】求下列函数的导数.(1)y=√x1−√x +√x 1+√x;(2)y=x ln √2x.【解析】(1)∵y=(1+√x)2+(1−√x)21−x =2(1+x)1−x =41−x -2,∴y'=4(1-x)2. (2)y=x ln (2x )12=12x ln 2x ,y'=(12xln2x)'=12[x'ln 2x+x (ln 2+ln x )']=12(ln 2x+1).方法二 求切线斜率的方法导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A (x 0,f (x 0)),求斜率k ,即求该点处的导数值:k=f'(x 0). (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f'(x 1)=k.(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由{y 1=f(x 1),y 0-y 1=f'(x 1)(x 0-x 1)求解即可.【突破训练2】已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y=f (x )相切,求直线l 的方程.【解析】∵点(0,-1)不在曲线f (x )=x ln x 上,∴设切点为(x 0,y 0).又∵f'(x )=1+lnx ,∴{y 0=x 0lnx 0,y 0+1=(1+lnx 0)x 0,解得x 0=1,y 0=0.∴切点为(1,0).又∵f'(1)=1+ln 1=1,∴直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0.1.(2017海南八校一模)已知函数f (x )=axx 2+3,若f'(1)=12,则实数a 的值为( ).A .2B .4C .6D .8 【解析】函数f (x )=axx 2+3,则f'(x )=a(x 2+3)−ax(2x)(x 2+3)2,∵f'(1)=12,即f'(1)=4a -2a 16=12,∴a=4. 【答案】B2.(2017吉林白山二模)设f (x )存在导函数且满足lim Δx →0f(1)-f(1-2Δx)Δx =-2,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为( ).A .-1B .-2C .1D .2【解析】y=f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f'(1)=lim Δx →0=f(1)-f(1-2Δx)2Δx =-1. 【答案】A3.(2017惠州模拟)已知函数f (x )=1x cos x ,则f (π)+f'(π2)=( ).A .-3π2 B .-1π2C .-3πD .-1π【解析】因为f'(x )=-1x 2cos x+1x (-sin x ),所以f (π)+f'(π2)=-1π+2π×(-1)=-3π. 【答案】C4.(2017江西南昌模拟)已知函数f (x )=ln √x 2+1,则f'(2)=( ).A .15B .25C .35D .45【解析】因为f (x )=ln √x 2+1=12ln (x 2+1),所以f'(x )=12×2x 1+x 2=x1+x 2,所以f'(2)=21+22=25,故选B .【答案】B5.(2017西宁复习检测)已知曲线y=x+1x -1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( ).A .-2B .2C .-12D .12【解析】由y'=-2(x -1)2,得曲线在点(3,2)处的切线的斜率为-12.又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,所以a=-2,故选A .【答案】A6.(2017河南郑州二模)设函数f (0)(x )=sin x ,定义f (1)(x )=f'[f (0)(x )],f (2)(x )=f'[f (1)(x )],…,f (n )(x )=f'[f (n-1)(x )],则f (1)(15°)+f (2)(15°)+…+f (2017)(15°)的值为( ).A .√6+√24B .√6-√24C .0D .1【解析】f 0(x )=sin x ,则f (1)(x )=cos x ,f (2)(x )=-sin x ,f (3)(x )=-cos x ,f (4)(x )=sin x ,f (5)(x )=cos x ,…,则f (1)(x )=f (5)(x )=f (9)(x )=…,即f (n )(x )=f (n+4)(x ),则f (n )(x )是周期为4的周期函数.又f (1)(x )+f (2)(x )+f (3)(x )+f (4)(x )=sin x+cos x-sin x-cos x=0,且2017=504×4+1,∴f (1)(15°)+f (2)(15°)+…+f (2017)(15°)=f (1)(15°)=cos 15°=cos (45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin45°sin 30°=√22×√32+√22×12=√6+√24.【答案】A7.(2017江西七校一模)已知函数f (x )=x 2+f'(2)(ln x-x ),则f'(4)= .【解析】f (x )=x 2+f'(2)(ln x-x ),则f'(x )=2x+f'(2)(1x -1),则f'(2)=4+f'(2)(12-1),∴f'(2)=83,∴f'(x )=2x+83(1x -1),∴f'(4)=6.【答案】68.(2017郑州第二次质检)如图,y=f (x )是可导函数,直线l :y=kx+2是曲线y=f (x )在x=3处的切线,令g (x )=xf (x ),其中g'(x )是g (x )的导函数,则g'(3)= .【解析】由题图可得曲线y=f (x )在x=3处的切线的斜率为-13,即f'(3)=-13.又因为g (x )=xf (x ),所以g'(x )=f (x )+xf'(x ),g'(3)=f (3)+3f'(3),由题图可知f (3)=1,所以g'(3)=1+3×(-13)=0.【答案】09.(2017保定一模)若函数f (x )=ln x+ax 的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a 的取值范围是 .【解析】函数f (x )=ln x+ax 的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x )=2在x ∈(0,+∞)上有解,而f'(x )=1x+a ,即1x+a=2在x ∈(0,+∞)上有解,a=2-1x,因为x>0,所以2-1x<2,所以a 的取值范围是(-∞,2).【答案】(-∞,2)10.(2017安徽安庆二模)给出定义:设f'(x )是函数y=f (x )的导函数,f″(x )是函数f'(x )的导函数,若方程f″(x )=0有实数解x 0,则称点(x 0,f (x 0))为函数y=f (x )的“拐点”.已知函数f (x )=3x+4sin x-cos x 的拐点是M (x 0,f (x 0)),则点M ( ).A .在直线y=-3x 上B .在直线y=3x 上C .在直线y=-4x 上D .在直线y=4x 上【解析】 f'(x )=3+4cos x+sin x ,f″(x )=-4sin x+cos x ,令f″(x )=0,则有4sin x 0-cos x 0=0,所以f (x 0)=3x 0,故拐点M (x 0,f (x 0))在直线y=3x 上.【答案】B11.(湖南衡阳八中2017适应性试卷)已知函数f (x )=ax 2+bx (a>0,b>0)的图象在点(1,f (1))处的切线的斜率为2,则8a+bab的最小值是( ).A .9B .10C .16D .25【解析】由f (x )=ax 2+bx ,得f'(x )=2ax+b.又因为f (x )=ax 2+bx (a>0,b>0)的图象在点(1,f (1))处的切线的斜率为2,所以f'(1)=2a+b=2,即a+b2=1.则8a+b ab =8b +1a=(a +b 2)(8b +1a )=8a b +b 2a+5≥2√8a b ·b2a+5=9,当且仅当{2a +b =2,8a b=b 2a,即{a =13,b =43时等号成立.所以8a+b ab的最小值是9. 【答案】A12.(2017北京东城区模考)已知M ,N 分别是曲线y=e x与直线y=e x-1上的点,则线段MN 的最小值为( ).A .1e 2+1B .√e 2+1e 2+1C .√e 2+1D .e【解析】设曲线y=e x在某点处的切线为l ,当切线l 与直线y=e x-1平行时,这两条平行直线间的距离就是所求的最小值.因为切线l 与直线y=e x-1平行,所以切线l 的斜率为e .设切点坐标为M (a ,b ),又曲线y=e x在点M (a ,b )处的切线的斜率为y'| x=a =e a,由e a=e ,得a=1,所以切点M 的坐标为(1,e ),故切线l 的方程为y-e=e (x-1),即e x-y=0. 又直线y=e x-1,即e x-y-1=0, 所以d=√e 2+1=√e 2+1e 2+1,即线段MN 的最小值为√e 2+1e 2+1.【答案】B13.(2017河北衡水一模)定义:如果函数f (x )在[a ,b ]上存在x 1,x 2(a<x 1<x 2<b )满足f'(x 1)=f(b)-f(a)b -a ,f'(x 2)=f(b)-f(a)b -a,那么称函数f (x )是[a ,b ]上的“双中值函数”.已知函数f (x )=x 3-x 2+a 是[0,a ]上的“双中值函数”,那么实数a 的取值范围是( ).A .(13,12)B .(32,3)C .(12,1)D .(13,1)【解析】由题意可知,在区间[0,a ]存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<a ),满足f'(x 1)=f'(x 2)=f(a)-f(0)a=a 2-a , ∵f (x )=x 3-x 2+a ,∴f'(x )=3x 2-2x ,∴方程3x 2-2x=a 2-a 在区间(0,a )上有两个不相等的解.令g (x )=3x 2-2x-a 2+a (0<x<a ),则{Δ=4−12(−a 2+a)>0,g(0)=-a 2+a >0,g(a)=2a 2-a >0,0<13<a,解得12<a<1.∴实数a 的取值范围是(12,1).【答案】C14.(2017四川南充一诊)已知函数f (x )=sin (2x+θ),f'(x )是f (x )的导函数,若函数f (x )+f'(x )为奇函数,则tanθ= .【解析】∵f (x )=sin (2x+θ),∴f'(x )=2cos (2x+θ), 则f (x )+f'(x )=sin (2x+θ)+2cos (2x+θ).∵f (x )+f'(x )为奇函数,∴sin (-2x+θ)+2cos (-2x+θ)=-sin (2x+θ)-2cos (2x+θ),即-sin (2x-θ)+2cos (2x-θ)=-sin (2x+θ)-2cos (2x+θ),则-sin 2x cos θ+cos 2x sin θ+2cos 2x cos θ+2sin 2x sin θ=-sin 2x cos θ-cos 2x sin θ-2cos 2x cos θ+2sin 2x sin θ,得2cos 2x sin θ=-4cos 2x cos θ,解得sin θ=-2cos θ,即tan θ=-2, 【答案】-215.(2017辽宁葫芦岛模考)已知函数f (x )=ax 3+x 2+bx+2中a ,b 为参数,且曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y=6x-1,则f (-1)= .【解析】∵f (x )=ax 3+x 2+bx+2,∴f'(x )=3ax 2+2x+b ,∴f (1)=a+b+3,f'(1)=3a+b+2,故切线方程为y-(a+b+3)=(3a+b+2)(x-1),即y=(3a+b+2)x-2a+1. 而y=6x-1,则{3a +b +2=6,-2a +1=−1,解得{a =1,b =1,故f (x )=x 3+x 2+x+2,则f (-1)=1. 【答案】116.(2017河北唐山一中月考)已知函数f (x )=ax 3+3x 2-6ax-11,g (x )=3x 2+6x+12和直线m :y=kx+9,且f'(-1)=0. (1)求a 的值.(2)是否存在k ,使直线m 既是曲线y=f (x )的切线,又是曲线y=g (x )的切线?如果存在,求出k 的值;如果不存在,请说明理由.【解析】 (1)由已知得f'(x )=3ax 2+6x-6a ,因为f'(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.(2)存在.由已知得直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3x02+6x0+12).因为g'(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11,①由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.在x=-1处,y=f(x)的切线方程为y=-18,在x=2处,y=f(x)的切线方程为y=9,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.②由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.§5.2定积分与微积分基本定理一定积分的几何意义∫baf(x)d x(f(x)>0)的几何意义:表示直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的的面积.二定积分的性质1.∫ba kf(x)d x=k∫baf(x)d x(k为常数).2.∫ba [f1(x)±f2(x)]d x=∫baf1(x)d x±∫baf2(x)d x.3.∫ba f(x)d x=∫caf(x)d x+∫bcf(x)d x(其中a<c<b).三微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且F'(x)=f(x),那么∫baf(x)d x=,这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记作,即∫ba f(x)dx=F(x)|ba=F(b)-F(a).☞左学右考∫1(e x+2x)d x等于().A.1B.e-1C.eD.e+1定积分∫2-2|x2-2x|d x等于().A.5B.6C.7D.8若∫Tx2d x=9,则常数T的值为.已知质点的速率v=10t,求从t=0到t=2质点所经过的路程.知识清单一、曲边梯形三、F(b)-F(a)F(x)|ba基础训练1.【解析】∫10(e x+2x)d x=(e x+x2)|1=e+1-1=e.【答案】C2.【解析】∫2-2|x2-2x|d x=∫0-2(x2-2x)d x+∫2(2x-x2)d x=(13x3-x2)|-2+(x2-13x3)|2=8.【答案】D3.【解析】由∫T0x2d x=9得13(T3-0)=9,解得T=3.【答案】34.【解析】S=∫20v d t=∫210t d t=5t2|2=20.题型一定积分的计算【例1】(1)∫ 1-1(x 2+sin x )d x ;(2)∫ 31√3+2x -x 2d x.【解析】(1)∫ 1-1(x 2+sin x )d x=∫ 1-1x 2d x+∫ 1-1sin x d x=2·∫ 10x 2d x=2·x 33| 1 0=23.(2)由定积分的几何意义知,∫ 31√3+2x -x 2d x 表示圆(x-1)2+y 2=4和x=1,x=3,y=0围成的图形的面积,∴∫ 31√3+2x -x 2d x=14×π×4=π.【变式训练1】∫ 1-1(x 2+√1−x 2)d x= .(2)设f (x )={x 2,x ∈(0,1],1x,x ∈(1,e)(e 为自然对数的底数),则∫ e0f (x )d x 的值为 .【解析】 (1)原式∫ 1-1x 2d x+∫ 1-1√1−x 2d x=13x 3| 1 -1+∫ 1-1√1−x 2d x=23+∫ 1-1√1−x 2d x ,∵∫ 1-1√1−x 2d x 等于半径为1的圆的面积的12,∴∫ 1-1√1−x 2d x=π2,故原式=π2+23.(2)∵f (x )={x 2,x ∈(0,1],1x,x ∈(1,e),∴∫ e0f (x )d x=∫ 10x 2d x+∫ e 11x d x=(13x 3)| 1 0+ln x | e 1=13+ln e =43.【答案】(1)π2+23(2)43题型二 定积分在平面几何中的应用【例2】求由曲线y=√x 、y=2-x 、y=-13x 所围成的图形的面积.【解析】画出草图,如图.解方程组{y =√x,x +y =2,{y =√x,y =−13x 及{x +y =2,y =−13x, 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以S=∫ 10[√x -(-13x)]d x+∫ 31[(2-x)-(-13x)]d x=∫ 10(√x +13x)d x+∫ 31(2−x +13x)d x=(23x 32+16x 2)| 1 0+(2x -12x 2+16x 2)| 3 1=23+16+(2x -13x 2)| 3 1=56+6-13×9-2+13=136.【变式训练2】求抛物线y 2=2x 和直线y=-x+4所围成的图形的面积.【解析】先求抛物线和直线的交点,解方程组{y 2=2x,y =−x +4,得交点坐标为A (2,2)和B (8,-4).选取x 为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割成两部分(如图),则面积为S=S 1+S 2=2∫ 20√2x d x+∫ 82(√2x -x+4)d x=4√23x 32| 2+2√23x 32-12x 2+4x | 82=18. 题型三 定积分在物理中的应用【例3】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )=7-3t+251+t (t 的单位:s ,v 的单位:m/s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m )是( ).A .1+25ln 5B .8+25ln 113C .4+25ln 5D .4+50ln 2【解析】令v (t )=0,得t=4或t=-83(舍去),∴汽车继续行驶的距离S=∫ 40(7−3t +251+t)d t=7t-32t 2+25ln (1+t )| 4=28-24+25ln 5=4+25ln 5.【答案】C【变式训练3】一物体在力F (x )={5,0≤x ≤2,3x +4,x >2(单位:N )的作用下沿与力F 相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m )处,则力F (x )做的功为 J .【解析】由题意知,力F (x )所做的功为W=∫ 40F (x )d x=∫ 205d x+∫ 42(3x+4)d x=5×2+(32x 2+4x)| 42=10+[32×42+4×4−(32×22+4×2)]=36(J ).【答案】36方法 计算定积分的方法(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差,用积分性质求积分.(2)根据定积分的几何意义,转化为求封闭图形的面积.【突破训练】用min {a ,b }表示a ,b 两个数中的较小的数,设f (x )=min {x 2,√x },那么由函数y=f (x )的图象、x轴、直线x=12和直线x=4所围成的封闭图形的面积为 .【解析】由题意知,所求图形的面积为如图所示的阴影部分的面积,即所求的面积S=∫ 112x2d x+∫ 41√x d x=13x 3| 112+23x 32| 4 1=13-13×18+(163-23)=11924.【答案】119241.(2017山东模拟)若f (x )=x+2∫ 10f (t )d t ,则f (x )=( ).A .2x-1B .2x+1C .x+1D .x-1【解析】记a=∫ 10f (t )d t ,则f (x )=x+2a ,故∫ 10f (x )d x=∫ 10(x+2a )d x=12+2a ,所以a=12+2a ,a=-12,故f (x )=x-1. 【答案】D2.(2017广东汕头模拟)已知等比数列{a n }中,a 5+a 7=∫ 2-2√4−x 2d x ,则a 6(a 4+2a 6+a 8)的值为( ).A .16π2B .4π2C .2π2D .π2【解析】∵∫ 2-2√4−x 2d x 表示以原点为圆心,2为半径的圆的面积的二分之一,∴∫ 2-2√4−x 2d x=12π×4=2π,∴a 5+a 7=2π.∵{a n }为等比数列,∴a 6(a 4+2a 6+a 8)=a 6a 4+2a 62+a 6a 8=a 52+2a 5a 7+a 72=(a 5+a 7)2=4π2.【答案】B3.(2017江西南昌模拟)若a=∫ 20x 2d x ,b=∫ 20x 3d x ,c=∫ 20sin x d x ,则a ,b ,c 的大小关系是( ).A .a<c<bB .a<b<cC .c<b<aD .c<a<b【解析】因为a=∫ 20x 2d x=13x 3| 2 0=83,b=∫ 20x 3d x=14x 4| 2 0=4,c=∫ 20sin x d x=(-cos x )| 2 0=1-cos 2<2,所以c<a<b.【答案】D4.(2017广西南宁二模)定义min {a ,b }={a,a ≤b,b,a >b,设f (x )=min {x 2,1x },则由函数f (x )的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为( ).A .712B .512C .13+ln 2D .16+ln 2【解析】由1x =x 2,得x=1,又当x<0时,1x<x 2,所以根据新定义有f (x )=min x2,1x={x 2,0<x ≤1,1x,x <0或x >1.函数f (x )的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形为图中阴影部分(如图),则其面积为S=∫ 10x 2d x+∫ 211x d x=13x 3| 1 0+ln x | 2 1=13+ln 2.【答案】C5.(2017湖南衡阳一模)下列4个不等式:①∫ 10√x d x<∫ 10√x 3d x ; ②∫ π40sin x d x<∫ π40cos x d x ; ③∫ 10e -x d x<∫ 10e -x 2d x ;④∫20sin x d x<∫2x d x.其中,正确的个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】①∵x∈(0,1),∴√x<√x3,∴∫1√x d x<∫10√x3d x;②∵x∈[0,π4],∴sin x<cos x,∴∫π4sin x d x<∫π4cos x d x;③∵x∈(0,1),∴e-x<e-x2,∴∫10e-x d x<∫10e-x2d x;④∵∫20sin x d x=-cos x|2=1-cos 2∈(1,2),∫2x d x=12x2|2=2,∴∫2sin x d x<∫2x d x.综上可知,正确的个数为4.【答案】D6.(2017安徽合肥期中)物体A以速度v=3t2+1(单位:m/s)在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以v=10t的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间为().A.3B.4C.5D.6【解析】因为物体A在t s内行驶的路程为∫t0(3t2+1)d t,物体B在t s内行驶的路程为∫t10t d t,所以∫t 0(3t2+1-10t)d t=(t3+t-5t2)|t=t3+t-5t2=5,即(t-5)(t2+1)=0,所以t=5.【答案】C7.(2017天津市红桥区期中)如图,由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于().A.1B.43C.23D.13【解析】由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于2∫10√x d x=2×23x32|1=43.【答案】B8.(2017山东烟台期中)曲线y=x3与直线y=x所围成的图形的面积为().A.13B.12C.1D.2【解析】曲线y=x3与直线y=x的交点坐标为(0,0),(1,1),(-1,-1).曲线y=x 3与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是∫ 10(x-x 3)d x=(12x 2-14x 4)| 1 0=12-14-0=14.由y=x 3与y=x 都是奇函数,可知它们在第三象限的面积与第一象限的面积相等.所以曲线y=x 3与y=x 所围成的图形的面积为12,故选B .【答案】B9.(2017山东联考)由曲线y=x 3与y=√x 围成的封闭图形的面积是 .【解析】如图,在同一平面直角坐标系内画出y=x 3与y=√x 的图象,则封闭图形的面积S=∫ 10(√x -x 3)d x=(23x 32-14x 4)| 1=23-14=512.【答案】51210.(2017山西晋中月考)如图,矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )=sin x 及直线x=a (a ∈(0,π))与x 轴围成.向矩形OABC 内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为38,则a= .【解析】根据题意,阴影部分的面积为∫ a0sin x d x=-cos x | a 0=1-cos a ,矩形的面积为a ·4a =4.由几何概型的概率公式可得1−cosa 4=38, 即cos a=-12,又a ∈(0,π),∴a=2π3.【答案】2π311.(2017广东湛江二模)曲线y=2x与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为( ).A .2-ln 2B .2ln 2-12C .2+ln 2D .2ln 2+12【解析】联立方程组{y =2x ,y =x -1,解得x=2,y=1, 则曲线y=2x与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为S=∫ 21(2x -x+1)d x=(2ln x-12x 2+x )| 21=(2ln 2-2+2)-(0-12+1)=2ln 2-12.【答案】B12.(2017邯郸一模)如图,在边长为2的正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,则过C 、M 、D 三点的抛物线与CD 围成的阴影部分的面积是( ).A .23 B .43 C .52 D .83【解析】由题意,建立平面直角坐标系,如图所示,则D (2,1),设抛物线方程为y 2=2px ,代入D ,可得p=14,∴y=√12x ,∴S=2∫ 20√12x d x=√2·23x 32| 2 0=83,故选D .【答案】D13.(2017哈尔滨六中一模)设函数f (x )是R 上的奇函数,f (x+π)=-f (x ),当0≤x ≤π2时,f (x )=cos x-1,则当-2π≤x ≤2π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积为( ).A .4π-8B .2π-4C .π-2D .3π-6【解析】由f (x+π)=-f (x ),得f (x+2π)=f (x ),即函数的周期是2π.若-π2≤x ≤0,则0≤-x ≤π2,即f (-x )=cos (-x )-1=cos x-1.∵f (x )是R 上的奇函数,∴f (-x )=cos x-1=-f (x ),即f (x )=1-cos x ,-π2≤x ≤0.∵函数的周期是2π,∴当3π2<x ≤2π时,-π2<x-2π≤0,即f (x )=f (x-2π)=1-cos (x-2π)=1-cos x.当π2<x ≤π时,-π2<x-π≤0,即f (x )=-f (x-π)=cos (x-π)-1=-cos x-1,当π<x ≤3π2时,0≤x-π≤π2,即f (x )=-f (x-π)=-cos (x-π)+1=cos x+1,综上,f (x )={ cosx -1,0≤x ≤π2,-cosx -1,π2<x ≤π,cosx +1,π<x ≤3π2,1−cosx,3π2<x ≤2π.则由定积分的公式和性质可知,当-2π≤x ≤2π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积S=2∫ 2π0f (x )d x=4∫ π0f (x )d x=8∫ π20|f (x )|d x=8∫ π20|(cos x-1)|d x=8∫ π20(1-cos x )d x=8(x-sin x )| π2 0=4π-8.【答案】A14.(2016山东济南二模)已知曲线y=1x与直线x=1,x=3,y=0围成的封闭区域为A ,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B ,在区域B 内任取一点P ,该点P 落在区域A 的概率为 .【解析】由题意,A 对应区域的面积为∫ 311x d x=ln x | 31=ln 3,B 对应区域的面积为2,由几何概型的公式得所求概率为ln32. 【答案】ln3215.(2017山东德州期中)设函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )-2f (1x)=-3x+2,那么∫ 21f (x )d x= .【解析】∵函数f (x )对x ≠0的实数满足f (x )-2f (1x)=-3x+2,∴{f(x)-2f (1x )=−3x +2,f (1x)-2f(x)=-3x+2,解得f (x )=x+2x-2, ∴∫ 21f (x )d x=∫ 21x d x+∫ 212x d x-∫ 212d x=x 22| 21+2ln x | 2 1-2x | 2 1=2ln 2-12.【答案】2ln 2-1216.(2017江西南昌模拟)已知函数y=f (x )的图象是折线段ABC ,其中A (0,0)、B (12,5)、C (1,0),则函数y=xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为 .【解析】当0≤x ≤12时,线段AB 的方程为y=10x ;当12<x ≤1时,线段BC 方程为y -05−0=x -112-1,整理得y=-10x+10,即f (x )={10x,0≤x ≤12,-10x+10,12<x ≤1,∴y=xf (x )={10x 2,0≤x ≤12,-10x2+10x,12<x ≤1,故函数y=xf (x )(0≤x ≤1)与x 轴围成的图形的面积为S=∫ 12010x 2d x+∫ 112(-10x 2+10x )d x=103x 3| 12 0+(-103x 3+5x 2)| 1 12=54.【答案】54。