2020年中考数学一模试卷一、选择题（共14小题）1．﹣|﹣3|的倒数是（）A．﹣3B．﹣C．D．32．第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款250000000000元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数字250000000000用科学记数法表示，正确的是（）A．0.25×1011B．2.5×1011C．2.5×1010D．25×10103．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（a2）3＝a5C．a+2＝2a D．（ab）3＝a3b3 4．若a＞b，则下列式子中一定成立的是（）A．a﹣2＜b﹣2B．3﹣a＞3﹣b C．2a＞b D．＞5．已知a、b满足方程组，则3a+b的值为（）A．8B．4C．﹣4D．﹣86．化简：﹣＝（）A．0B．1C．x D．7．把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．82.5°8．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积是（）A．40πB．24πC．20 πD．12π9．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．70°10．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．8﹣πB．C．3+πD．π11．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为（）A．2B．2C．D．312．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边中正确的有（）形DEOFA．4个B．3个C．2个D．1个13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0B．a+b＝0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b14．如图1，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（）A．3B．5C．6D．10二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）15．分解因式：ab3﹣4ab＝．16．如图，有5张扑克牌，从中任意抽取两张，点数和是偶数的概率是．17．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m2＝0有两个相等的实数根，则m＝．18．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD ＝．19．如图，已知直线y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD的对称中心为M，双曲线y＝（x＞0）正好经过C，M两点，则直线AC的解析式为：．三、解答题（本大题共7小题，共63分）20．计算：（﹣2）2﹣•+（sin60°﹣π）0．21．某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下（1）扇形统计图中C等级所在的扇形圆心角的度数为．（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在等级内．（3）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中获得A级和B级的学生共有多少人？22．从一幢建筑大楼的两个观察点A，B观察地面的花坛（点C），测得俯角分别为15°和60°，如图，直线AB与地面垂直，AB＝50米，试求出点B到点C的距离．（结果保留根号）23．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．（1）求证：EC＝ED；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．24．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD 表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下列问题：（1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为；（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．25．将两个全等的Rt△ABC和Rt△DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：EF＝CF；（2）若将图①中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出AF，EF，DE之间的数量关系；（3）若将图①中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（2）中猜想的AF，EF，DE的数量关系还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．26．已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y 轴的正半轴上，A（0，2），B（﹣1，0）．（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S 最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．﹣|﹣3|的倒数是（）A．﹣3B．﹣C．D．3【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得绝对值表示的数，根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．解：﹣|﹣3|＝﹣3，﹣|﹣3|的倒数是﹣，故选：B．2．第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款250000000000元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数字250000000000用科学记数法表示，正确的是（）A．0.25×1011B．2.5×1011C．2.5×1010D．25×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：数字2500 0000 0000用科学记数法表示，正确的是2.5×1011．故选：B．3．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（a2）3＝a5C．a+2＝2a D．（ab）3＝a3b3【分析】分别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则和积的乘方运算法则化简，进而求出答案．解：A、a2+a2＝2a2，故此选项错误；B、（a2）3＝a6，故此选项错误；C、a+2无法计算，故此选项错误；D、（ab）3＝a3b3，正确．故选：D．4．若a＞b，则下列式子中一定成立的是（）A．a﹣2＜b﹣2B．3﹣a＞3﹣b C．2a＞b D．＞【分析】根据不等式的性质进行解答并作出正确的判断．解：A、不等式a＞b的两边同时减去2，不等式仍成立，即a﹣2＞b﹣2，故本选项错误；B、不等式a＞b的两边同时乘以﹣1，再加上3，不等号方向改变，即3﹣a＜3﹣b，故本选项错误；C、不等式a＞b的两边应该同时乘以2，不等式仍成立，即2a＞2b，故本选项错误；D、不等式a＞b的两边同时除以2，不等式仍成立，即＞，故本选项正确；故选：D．5．已知a、b满足方程组，则3a+b的值为（）A．8B．4C．﹣4D．﹣8【分析】利用加减消元法直接确定出3a+b的值．解：，①+②得：3a+b＝2+6＝8故选：A．6．化简：﹣＝（）A．0B．1C．x D．【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解：原式＝＝x．故选：C．7．把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．82.5°【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．解：作直线l平行于直角三角板的斜边，可得：∠2＝∠3＝45°，∠5＝∠4＝30°，故∠1的度数是：45°+30°＝75°．故选：C．8．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积是（）A．40πB．24πC．20 πD．12π【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为4，圆锥的高为3，再根据勾股定理计算出母线长l为5，然后根据圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl代入计算即可．解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为8，即底面圆的半径r为4，圆锥的高为3，所以圆锥的母线长l＝＝5，所以这个圆锥的侧面积是π×4×5＝20π．故选：C．9．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．70°【分析】利用圆周角定理判断即可求出所求．解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝40°，∵∠BOC与∠BDC都对，∴∠D＝∠BOC＝20°，故选：A．10．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．8﹣πB．C．3+πD．π【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝，由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，∵∠OFE+∠FEO＝∠OED+∠FEO＝90°，∴∠OFE＝∠OED∴△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×5×2+×2×3+﹣＝8﹣π，故选：A．11．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为（）A．2B．2C．D．3【分析】先根据△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线可知∠EBP＝∠QBF＝30°，再根据BF＝2，FQ⊥BP可得出BQ的长，再由BP＝2BQ可求出BP的长，在Rt△BEF 中，根据∠EBP＝30°即可求出PE的长．解：∵△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠QBF＝30°，∵BF＝2，QF为线段BP的垂直平分线，∴∠FQB＝90°，∴BQ＝BF•cos30°＝2×＝，∴BP＝2BQ＝2，在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，∴PE＝BP＝．故选：C．12．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边中正确的有（）形DEOFA．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据正方形的性质得AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，则由CE＝DF易得AF＝DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE＝BF；根据全等的性质得∠ABF ＝∠EAD，利用∠EAD+∠EAB＝90°得到∠ABF+∠EAB＝90°，则AE⊥BF；连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE 得S△ABF＝S△DAE，则S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，而CE＝DF，∴AF＝DE，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，所以（1）正确；∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD+∠EAB＝90°，∴∠ABF+∠EAB＝90°，∴∠AOB＝90°，∴AE⊥BF，所以（2）正确；连结BE，∵BE＞BC，∴BA≠BE，而BO⊥AE，∴OA≠OE，所以（3）错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，∴S△AOB＝S四边形DEOF，所以（4）正确．故选：B．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0B．a+b＝0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b【分析】由二次函数的性质，即可确定a，b，c的符号，即可判定A是错误的；又由对称轴为x＝﹣，即可求得a＝b；由当x＝1时，a+b+c＜0，即可判定C错误；然后由抛物线与x轴交点坐标的特点，判定D正确．解：A、∵开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故A选项错误；B、∵对称轴：x＝﹣＝﹣，∴a＝b，故B选项错误；C、当x＝1时，a+b+c＝2b+c＜0，故C选项错误；D、∵对称轴为x＝﹣，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故D选项正确．故选：D．14．如图1，正方形ABCD在直角坐标系中，其中AB边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l：y＝x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图2所示，则图2中b的值为（）A．3B．5C．6D．10【分析】先根据△AEF为等腰直角三角形，可得直线l与直线BD平行，即直线l沿x 轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据BD的长即可得到b的值．解：如图1，直线y＝x﹣5中，令y＝0，得x＝5；令x＝0，得y＝﹣5，即直线y＝x﹣5与坐标轴围成的△OEF为等腰直角三角形，∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，由图2可得，t＝3时，直线l经过点A，∴AO＝5﹣3×1＝2，∴A（﹣2，0），由图2可得，t＝15时，直线l经过点C，∴当t＝，直线l经过B，D两点，∴AD＝（9﹣3）×1＝6，∴等腰Rt△ABD中，BD＝，即当a＝9时，b＝．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）15．分解因式：ab3﹣4ab＝ab（b+2）（b﹣2）．【分析】先提取公因式ab，然后再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可求得答案．解：ab3﹣4ab＝ab（b2﹣4）＝ab（b+2）（b﹣2）．故答案为：ab（b+2）（b﹣2）．16．如图，有5张扑克牌，从中任意抽取两张，点数和是偶数的概率是．【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，再找出点数和是偶数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：根据题意画图如下：共有20种等情况数，其中点数和是偶数的8种，则点数和为偶数的概率是＝．故答案为：．17．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m2＝0有两个相等的实数根，则m＝±2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m2＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×m2＝0，解得：m＝±2．故答案为：±2．18．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝2．【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．解：作PE⊥OB于E，∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°，∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD＝PE＝2，故答案是：2．19．如图，已知直线y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD的对称中心为M，双曲线y＝（x＞0）正好经过C，M两点，则直线AC的解析式为：y＝﹣2x+6．【分析】根据一次函数的解析式y＝﹣x+1得到A（3，0），B（0，1），求得OA＝3，OB＝1，过C作CE⊥y轴于E，由四边形ABCD是矩形，得到∠CBA＝90°，推出△BCE ∽△ABO，得到比例式，设CE＝x，则BE＝3x，写出C（x，3x+1），由于矩形ABCD 对称中心为M，得到M的坐标，代入反比例函数中，列方程可得x的值，并利用待定系数法求直线AC的解析式．解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，得y＝1，令y＝0，x＝3，∴A（3，0），B（0，1），∴OA＝3，OB＝1，过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CBA＝90°，∴∠CBE+∠OBA＝∠OBA+∠BAO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO，∵∠BEC＝∠AOB＝90°，∴△BCE∽△ABO，∴＝，设CE＝x，则BE＝3x，∴C（x，3x+1），∵矩形ABCD对称中心为M，∴M（，），∵双曲线y＝（x＞0）正好经过C，M两点，∴x（3x+1）＝，解得：x1＝1，x2＝﹣（舍）∴C（1，4），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，把A（3，0）和C（1，4）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x+6，故答案为：y＝﹣2x+6．三、解答题（本大题共7小题，共63分）20．计算：（﹣2）2﹣•+（sin60°﹣π）0．【分析】本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：原式＝4﹣2×+1＝4﹣2+1＝3．21．某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下（1）扇形统计图中C等级所在的扇形圆心角的度数为72°．（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内．（3）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中获得A级和B级的学生共有多少人？【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中C等级所在的扇形圆心角的度数；（2）根据统计图中的数据可以求得这组数据的中位数落在哪个等级内；（3）根据统计图中的数据可以求得这次考试中获得A级和B级的学生共有多少人．解：（1）扇形统计图中C等级所在的扇形圆心角的度数为：360°×＝72°，故答案为：72°；（2）九年级（1）班学生一共有：13+25+10+2＝50人，∴该班学生体育测试成绩的中位数落在B等级内，故答案为：B；（3）500×＝380（人），答：这次考试中获得A级和B级的学生共有380人．22．从一幢建筑大楼的两个观察点A，B观察地面的花坛（点C），测得俯角分别为15°和60°，如图，直线AB与地面垂直，AB＝50米，试求出点B到点C的距离．（结果保留根号）【分析】作AD⊥BC于点D，根据正切的定义求出BD，根据正弦的定义求出AD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，计算即可．解：作AD⊥BC于点D，∵∠MBC＝60°，∴∠ABC＝30°，∵AB⊥AN，∴∠BAN＝90°，∴∠BAC＝105°，则∠ACB＝45°，在Rt△ADB中，AB＝50，则AD＝25，BD＝25，在Rt△ADC中，AD＝25，CD＝25，则BC＝25+25．答：观察点B到花坛C的距离为（25+25）米．23．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．（1）求证：EC＝ED；（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得∠ACE+∠A＝90°，又∠CDE+∠A＝90°，可得∠CDE＝∠ACE，则结论得证；（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠ACE+∠A＝90°，∵OD⊥AB，∴∠ODA+∠A＝90°，∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE+∠A＝90°，∴∠CDE＝∠ACE，∴EC＝ED；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠CDE+∠F＝90°，∴∠ECF＝∠F，∴EC＝EF，∵EF＝3，∴EC＝DE＝3，∴OE＝＝5，∴OD＝OE﹣DE＝2，在Rt△OAD中，AD＝＝2，在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，即，∴AC＝．24．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD 表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下列问题：（1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝60x；（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）先求出线段CD对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答；（3）分三种情形列出方程即可解决问题．解：（1）设货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝k1x，根据题意得5k1＝300，解得k1＝60，∴y＝60x，即货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝60x；故答案为：y＝60x；（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，，解得，∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；解方程组，解得，∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇；（3）80÷60＝，即点B的坐标（，0），∴轿车开始的速度为：（千米/时），当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，由题意或60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20，解得x＝3.5或4.3小时．答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．25．将两个全等的Rt△ABC和Rt△DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：EF＝CF；（2）若将图①中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出AF，EF，DE之间的数量关系；（3）若将图①中△DBE的绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（2）中猜想的AF，EF，DE的数量关系还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．【分析】（1）如图①，连接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC＝BE，根据直角三角形的“HL”判定定理，易证△BCF≌△BEF，即可得出结论；（2）同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AC＝AF+CF＝AF+EF，即AF+EF＝DE；（3）同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）证明：如图①，连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF＝EF；（2）画出图形如图②所示，AF+EF＝DE，理由：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF＝CF，∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE；（3）不成立，结论为：AF＝DE+EF，理由：如图③，连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，，∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴CF＝EF，∵AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．26．已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y 轴的正半轴上，A（0，2），B（﹣1，0）．（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S 最大时的点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）Rt△ABC中，AO⊥BC，且知道了OA、OB的长，由射影定理能求出OC 的长，也就得到了点C的坐标．（2）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式，由x＝﹣能求出抛物线的对称轴．（3）首先求出直线AC的解析式，过点P作x轴的垂线，交直线AC于Q，在知道抛物线和直线AC解析式的情况下，用m表示出点P、Q的坐标，两点纵坐标差的绝对值即为线段PQ的长，而S＝AC•PQ，据此求得关于S、m的函数关系式，根据函数的性质即可确定S最大时点P的坐标．（4）首先设出点M的坐标，然后列出△MPC的三边长，若该三角形是等腰三角形，根据①MP＝MC、②MP＝PC、③MC＝PC列出等式求解即可．解：（1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA＝2，OB＝1，则：OC＝＝4，∴C（4，0）．（2）设抛物线的解析式：y＝a（x+1）（x﹣4），代入点A的坐标，得：a（0+1）（0﹣4）＝2，a＝﹣∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2，对称轴是：直线x＝．（3）设直线AC的解析式为：y＝kx+2，代入点C（4，0），得：4k+2＝0，k＝﹣∴直线AC：y＝﹣x+2；过点P作PQ⊥x轴于H，交直线AC于Q，设P（m，﹣m2+m+2）、∴S梯形AOHP＝[2+（﹣m2+m+2）]m＝﹣m3+m2+2m，S△PHC＝（4﹣m）（﹣m2+m+2）＝m3﹣m2+2m+4，S△AOC＝×4×2＝4，S＝S梯形AOHP+S△PHC﹣S△AOC＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2，即P（2，3）时，S的值最大．（4）依题意，设M（，b），已知P（2，3）、C（4，0），则有：MP2＝b2﹣6b+、MC2＝b2+、PC2＝13；当MP＝MC时，b2﹣6b+＝b2+，解得b＝；当MP＝PC时，b2﹣6b+＝13，解得b＝；当MC＝PC时，b2+＝13，解得b＝±；综上，存在符合条件的M点，且坐标为（，）、（，）、（，）、（，）、（，﹣）．。