2018年一线名师肖城老师初中数学平行组卷及考点详解一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过图案①平移得到（）A． B． C．D．2．（3分）当a=0时，方程ax+b=0（其中x是未知数，b是已知数）（）A．有且只有一个解 B．无解C．有无限多个解D．无解或有无限多个解3．（3分）线段AB=5厘米，BC=4厘米，那么A，C两点的距离是（）A．1厘米B．9厘米C．1厘米或9厘米D．无法确定4．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（）A．112 B．136 C．124 D．845．（3分）某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°（如图所示），把这枚指针按逆时针方向旋转周角，则指针的指向为（）A．南偏东40°B．西偏北50°C．南偏东50°D．东南方向6．（3分）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④8．（3分）如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76°B．78°C．80°D．82°9．（3分）如图所示的是一个长方形纸片ABCD沿其上一条线EF折叠后的图形，已知∠BEF=105°，则∠B′EA等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．（3分）如图OA⊥OB，∠BOC=30°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（）度．A．40 B．60 C．20 D．30二.填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）如图所示，从A地到B地有多条道路，一般地，为了省时人们会走中间的一条直路而不会走其他的路．其理由是．12．（3分）如果一个角与它的余角之比为1：2，那么这个角与它的补角之比为．13．（3分）已知：（x2+y2+1）2﹣4=0，则x2+y2=．14．（3分）如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为．15．（3分）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．﹣1若∠E n=1度，那∠BEC等于度16．（3分）如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，∠DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②（G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③（H为EF和DG的交点），则图③中∠DHF=°17．（3分）小林每天下午5点放学时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家，有一天学校提前一个小时放学，小林自己步行回家，在途中遇到开车来接他的爸爸，结果比平时早20分钟到家，则小林步行分钟遇到来接他的爸爸．18．（3分）如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B、C，连接AC、BC，若∠1=30°，则∠2=．三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）解方程：（1）2（3x﹣1）=16．20．（12分）在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n ≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t 为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A=（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y ≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．21．（4分）已知：如图，点C是线段AB上一点，且3AC=2AB．D是AB的中点，E是CB的中点，DE=6，求：（1）AB的长；（2）求AD：CB．22．（4分）已知∠AOB=α（90°＜α＜180°），∠COD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）若∠COD=180°﹣α时，探索下面两个问题：①如图1，当OC在OD左侧，求∠MON的度数；②当OC在OD右侧，请在图2内补全图形，并求出∠MON的度数（用含α的代数式表示）；（2）如图3，当∠COD=kα，且OC在OD左侧时，直接写出∠MON的度数（用含α、k的代数式表示）．23．（6分）如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB 于点G．（1）求证：EM∥NG；（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．24．（8分）填空并完成以下证明：已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2．求证：AB∥CD，∠E=∠F．证明：∵∠BAP+∠APD=180°，（已知）∴AB∥．（）∴∠BAP=．（）又∵∠1=∠2，（已知）∠3=﹣∠1，∠4=﹣∠2，∴AE∥PF．（）∴∠E=∠F．（）25．（8分）某种水果的价格如表：购买的质量（千克）不超过10千克超过10千克每千克价格6元5元张欣两次共购买了25千克这种水果（第二次多于第一次），共付款132元．问张欣第一次、第二次分别购买了多少千克这种水果？26．（8分）探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．（1）一个角的平分线这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）深入研究：如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．2018年一线名师肖城老师初中数学平行组卷及考点详解参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如图，A，B，C，D中的哪幅图案可以通过图案①平移得到（）A． B． C．D．【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．【解答】解：通过图案①平移得到必须与图案①完全相同，角度也必须相同，观察图形可知D可以通过图案①平移得到．故选：D．【点评】本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．2．（3分）当a=0时，方程ax+b=0（其中x是未知数，b是已知数）（）A．有且只有一个解 B．无解C．有无限多个解D．无解或有无限多个解【分析】分两种情况进行讨论（1）当a=0，b=0时；（2）当a=0，而b≠0．【解答】解：当a=0，b=0时，方程有无限多个解；当a=0，而b≠0时，方程无解．故选D．【点评】本题考查了一元一次方程的解的情况，要分情况讨论在判断．3．（3分）线段AB=5厘米，BC=4厘米，那么A，C两点的距离是（）A．1厘米B．9厘米C．1厘米或9厘米D．无法确定【分析】要确定A，C两点的距离，需要确定C点在哪里．【解答】解：点C在线段AB上时，AC=5﹣4=1cm，点C在线段AB的延长线上时，AC=5+4=9cm，点C不在直线AB上时，1＜AC＜9，所以，A、C两点间的距离为1≤AC≤9，故无法确定．故选D．【点评】由于没有说明AB与BC的位置，故不能确定A，C两点的距离．4．（3分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（）A．112 B．136 C．124 D．84【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱柱，先根据勾股定理得到主视图三角形等边的长，再根据三棱柱的全面积=2个底面积+3个侧面积，列式计算即可求解．【解答】解：如图：由勾股定理=3，3×2=6，6×4÷2×2+5×7×2+6×7=24+70+42=136．故该几何体的全面积等于136．【点评】考查了由三视图判断几何体，由三视图求几何体的表面积，关键是由三视图得到数据的对应量．5．（3分）某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°（如图所示），把这枚指针按逆时针方向旋转周角，则指针的指向为（）A．南偏东40°B．西偏北50°C．南偏东50°D．东南方向【分析】先根据指针旋转的方向求得指针与南的夹角，从而确定其方位角．【解答】解：按逆时针方向旋转周角相等于转了90度，∵90°﹣50°=40°∴指针转到了南偏东40度的方向．故选A．【点评】主要考查了方位角的运用．会准确的找到所对应的角度并会根据勾股定理求线段的长度是需要掌握的基本能力之一．6．（3分）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．【分析】利用对顶角定义判断即可．【解答】解：各图中，∠1与∠2是对顶角的是，故选C【点评】此题考查了对顶角、领补角，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．7．（3分）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【分析】根据点E有4种可能位置，分四种情况进行讨论，分别画出图形，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．【解答】解：点E有4种可能位置．（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C=β﹣α．（2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∴∠AE2C=α+β．（3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C=α﹣β．（4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∴∠AE4C=360°﹣α﹣β．∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β．故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等．8．（3分）如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76°B．78°C．80°D．82°【分析】分别过K、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用∠ABK和∠DCK分别表示出∠H和∠K，从而可找到∠H和∠K的关系，结合条件可求得∠K．【解答】解：如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，又∠BKC﹣∠BHC=27°，∴∠BHC=∠BKC﹣27°，∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），∴∠BKC=78°，故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．9．（3分）如图所示的是一个长方形纸片ABCD沿其上一条线EF折叠后的图形，已知∠BEF=105°，则∠B′EA等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】由四边形ABCD是矩形，得到∠C=∠B=90°，根据四边形的内角和得到∠CFE=75°，由折叠的性质得到∠FEB′=∠BEF=105°，根据平行线的性质得到∠AEF=∠CFE=75°，即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠B=90°，∵∠BEF=105°，∴∠CFE=75°，由折叠的性质得到∠FEB′=∠BEF=105°，∵AD∥CD，∴∠AEF=∠CFE=75°，∴∠B′EA=30°，故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．10．（3分）如图OA⊥OB，∠BOC=30°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（）度．A．40 B．60 C．20 D．30【分析】因为OD平分∠AOC，可以先求∠AOC，再求∠COD，利用角的和差关系求∠BOD的度数．【解答】解：∵OA⊥OB，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠AOC÷2=60°，∴∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=30°．故选D．【点评】此题主要考查了垂线和角平分线的定义在解题中的应用．二.填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）如图所示，从A地到B地有多条道路，一般地，为了省时人们会走中间的一条直路而不会走其他的路．其理由是两点之间，线段最短．【分析】此题为数学知识的应用，由题意从A地到B地有多条道路，肯定要尽量选择两地之间最短的路程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：图中A和B处在同一条直线上，根据两点之间线段最短，知其路程最短．故答案为两点之间，线段最短．【点评】本题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．12．（3分）如果一个角与它的余角之比为1：2，那么这个角与它的补角之比为1：5．【分析】两角互余和为90°，互补和为180°，可设这个角是∠α，它的余角为∠β，补角为∠γ．根据余角的定义和已知条件，可求出∠α，也就可求出∠γ，那么两角的比值就可求．【解答】解：设原角为∠α它的余角为∠β，补角为∠γ，根据题意，得：∠α：∠β=1：2，则∠β=2∠α∴∠α+∠β=3∠α=90°∴∠α=30°∴∠γ=150°∴∠α：∠γ=1：5．【点评】此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°．13．（3分）已知：（x2+y2+1）2﹣4=0，则x2+y2=1．【分析】首先根据条件可以得到（x2+y2+1）2=4，然后两边同时开平方即可求出x2+y2的值．【解答】解：∵（x2+y2+1）2﹣4=0，∴（x2+y2+1）2=4，∵x2+y2+1＞0，∴x2+y2+1=2，∴x2+y2=1．故答案为：1．【点评】本题考查了平方根的定义，形如x2=a的方程的解法，一般直接开方计算即可．此题也利用整体代值的思想．14．（3分）如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为36°或37°．【分析】先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x﹣60°＜15°，解得22°＜x＜25°，进而得到∠C的度数．【解答】解：如图，过E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，设∠CEF=x，则∠AEC=2x，∴x+2x=∠BAE+60°，∴∠BAE=3x﹣60°，又∵6°＜∠BAE＜15°，∴6°＜3x﹣60°＜15°，解得22°＜x＜25°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，∴∠C=60°﹣23°=37°或∠C=60°﹣24°=36°，故答案为：36°或37°．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等．15．（3分）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．﹣1若∠E n=1度，那∠BEC等于2n 度【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；…据此得到规律∠E n=∠BEC，最后求得∠BEC的度数．【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC．∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；…以此类推，∠E n=∠BEC．∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．故答案为：2n ．【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．16．（3分）如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，∠DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②（G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③（H为EF和DG的交点），则图③中∠DHF=57°【分析】根据折叠的性质和三角形的外角等于不相邻的内角的和可知．【解答】解：根据折叠的特性，G、H、D共线，∠DEF=∠FEG=∠EFG=19°，根据三角形的外角等于不相邻的内角的和，如图②，∠DGF=2∠E=2×19°=38°，如图③，同理∠DHF=38°+19°=57°．故答案为：57．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，已知折叠问题就是已知图形的全等，并且三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．17．（3分）小林每天下午5点放学时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家，有一天学校提前一个小时放学，小林自己步行回家，在途中遇到开车来接他的爸爸，结果比平时早20分钟到家，则小林步行50分钟遇到来接他的爸爸．【分析】设小林自己走的路程为S，根据：结果比平时早20分钟到家，可知提前放学的这一天，开车的距离少2S，得到车速==，小林走这段路程比车走这段路段多用时60﹣20=40分钟（早出发1小时，提前到达20分钟），依此列出式子求解．【解答】解：设小林自己走的路程为S．根据题意得：=+40=+40=50（分钟）．故填50．【点评】此题涉及实际问题，考查学生的分析能力，难度偏难．注意：结果比平时早20分钟到家．18．（3分）如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m，n于点B、C，连接AC、BC，若∠1=30°，则∠2=75°．【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BAC=∠1=30°，依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC的度数，进而得出∠2的度数．【解答】解：∵直线m∥n，∴∠BAC=∠1=30°，∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=75°，∴∠2=∠ABC=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）解方程：（1）2（3x﹣1）=16．【分析】（1）根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可；（2）这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解；（3）先根据分数的基本性质把分子分母中的小数化为整数，然后去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．【解答】解：（1）去括号得，6x﹣2=16，移项、合并得，6x=18，系数化为1得，x=3；（2）去分母得，3（x+1）﹣12=2（2x+1），去括号得，3x+3﹣12=4x+2，移项、合并得，﹣x=11，系数化为1得，x=﹣11；（3）方程可化为，去分母得，20x﹣3（15﹣20x）=6，去括号得，20x﹣45+60x=6，移项、合并得，80x=51，系数化为1得，x=．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号20．（12分）在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n ≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t 为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A=（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y ≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．【分析】（1）首先设这个四位数为，根据“对称等和数”中k=4，表示b=4﹣s，a=4﹣t，由四位数的意义列式，并化简，确定t﹣s也是11的倍数，根据t和s 的取值以及为整数这一条件可知，这个四位“对称等和数”是：2222和4400；（2）下面介绍两种证法：证法一：先根据对称等和数的定义，得2a=1+5，a=3，则A=135，设：B=，C=，则b+c=2x，d+e=2y，根据已知得：=1665，即百位上的数字和为15或16，分情况进行讨论即可．证法二：设：B=，C=，可得+=1665，化简得：x+y==139﹣8（m+n）+，根据题意可知：是整数，即1+m+n能被4整除，由3≤1+m+n≤19，则1+（m+n）=4，8，12，16，可得结论．【解答】（1）解：设这个四位数为（1≤s≤9，0≤t≤9，0≤a≤9，0≤b≤9，且s、t、a、b为整数），由题意得：s+b=t+a=4，∴b=4﹣s，a=4﹣t，∵四位数为能被11整除，∴=1000s+100t+10a+b，=1000s+100t+10（4﹣t）+4﹣s，=999s+90t+44，=1001s+88t+44+2t﹣2s，=11（91s+8t+4）+2（t﹣s），∵91s+8t+4是整数，∴2（t﹣s）是11的倍数，即t﹣s是11的倍数，∵1≤s≤9，∴﹣9≤﹣s≤﹣1，∵0≤t≤9，∴﹣9≤t﹣s≤8，∴t﹣s只能为0，即t=s，∵是整数，4﹣s≥0，4﹣t≥0，∴s=t=2或s=t=4，当s=t=2时，a=b=2，当s=t=4时，a=b=0，综上所述，这个四位“对称等和数”有2个，分别是：2222，4400；（2）证法一：证明：∵数A是三位“对称等和数”，且A=（1≤a≤9，a为整数），∴2a=1+5，a=3，∴A=135，由题意设：B=，C=，则b+c=2x，d+e=2y，∵A+B+C=1800，∴B+C=1800﹣135=1665，∴=1665，∴15≤b+d≤16，①当b+d=15时，x+y=16，c+e=5，∴b+d+c+e=15+5=20，即2x+2y=20，x+y=10≠16，不符合题意；②当b+d=15时，x+y=15，c+e=15，∴b+d+c+e=15+15=30，即2x+2y=30，x+y=15，符合题意；∴y=﹣x+15，③当b+d=16时，x+y=6，c+e=5，∴b+d+c+e=16+5=21，即2x+2y=21，x+y=10.5≠6，不符合题意；④当b+d=16时，x+y=5，c+e=15，∴b+d+c+e=16+15=31，即2x+2y=31，x+y=15.5≠5，不符合题意；综上所述，则y=﹣x+15．证法二：证明：∵数A是三位“对称等和数”，且A=（1≤a≤9，a为整数），∴2a=1+5，a=3，∴A=135，由题意设：B=，C=，∵A+B+C=1800，即135++=1800，+=1665，100m+10x+2x﹣m+100n+10y+2y﹣n=1665，99（m+n）+12（x+y）=1665，33（m+n）+4（x+y）=555，x+y==139﹣8（m+n）+，∵0≤x≤9，0≤y≤9，且x、y是整数，∴是整数，∵1≤m≤9，1≤n≤9，∴2≤m+n≤18，∴3≤1+m+n≤19，则1+（m+n）=4，8，12，16，∴m+n=3，7，11，15，当m+n=3时，x+y=139﹣8×3+=114（舍），当m+n=7时，x+y=139﹣8×7+=81（舍），当m+n=11时，x+y=139﹣8×11+=48（舍），当m+n=15时，x+y=139﹣8×15+=15，∴y=﹣x+15．【点评】本题考查了新定义和实数的运算，比较复杂，理解对称等和数的定义是关键，注意象奇数位的对称等和数中间的数与其他数的关系：如53697是“对称等和数”，则5+7=3+9=6+6=12．21．（4分）已知：如图，点C是线段AB上一点，且3AC=2AB．D是AB的中点，E是CB的中点，DE=6，求：（1）AB的长；（2）求AD：CB．【分析】在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，根据题目中几何图形，再根据题意进行计算．【解答】解：（1）设AB=x，∵3AC=2AB，∴AC=AB=x，BC=AB﹣AC=x﹣x=x，∵E是CB的中点，∴BE=BC=x，∵D是AB的中点，∴DB=AB=，故DE=DB﹣BE=﹣=6，解可得：x=18．故AB的长为18；（2）由（1）得：AD=AB=9，CB=AB=6，故AD：CB=．【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．22．（4分）已知∠AOB=α（90°＜α＜180°），∠COD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）若∠COD=180°﹣α时，探索下面两个问题：①如图1，当OC在OD左侧，求∠MON的度数；②当OC在OD右侧，请在图2内补全图形，并求出∠MON的度数（用含α的代数式表示）；（2）如图3，当∠COD=kα，且OC在OD左侧时，直接写出∠MON的度数（用含α、k的代数式表示）．【分析】（1）①根据角平分线的定义，得出∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°，进而得出∠AOM+∠BON=（2α﹣180°）=α﹣90°，最后根据∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）进行计算即可；②根据①中的方法进行计算，即可得出∠MON的度数；（2）先根据角平分线的定义，得出∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据∠AOB=α，∠COD=kα，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣kα，进而得到∠AOM+∠BON=（α﹣kα）=α（1﹣k），最后根据∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）进行计算即可．【解答】解：（1）①如图1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∴∠AOM+∠BON=（∠AOC+∠BOD），∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°，∴∠AOM+∠BON=（2α﹣180°）=α﹣90°，∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣（α﹣90°）=90°；②当OC在OD右侧，补全图形如图2所画，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=α+（180°﹣α）=180°，∴∠AOM+∠BON=×180°=90°，∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣90°；（2）∠MON的度数为（1+k）α．理由：如图3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∴∠AOM+∠BON=（∠AOC+∠BOD），∵∠AOB=α，∠COD=kα，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣kα，∴∠AOM+∠BON=（α﹣kα）=α（1﹣k），∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣α（1﹣k）=（1+k）α．【点评】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是运用角的和差关系进行计算．解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．23．（6分）如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB 于点G．（1）求证：EM∥NG；（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线得到定义，即可得出∠MEN=90°，再根据NG⊥EN，即可得到∠MEN+∠ENH=180°，进而得到EM∥NG；（2）先设∠HEG=x，则∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°﹣2x，根据EP平分∠FEH，可得∠FEH=2（∠PEG+x），再根据∠FEH+∠HEN=180°，可得方程2（∠PEG+x）+90°﹣2x=180°，进而解得∠PEG．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠AMN+∠CNM=180°，∵ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，∴∠EMN=∠AMN，∠ENM=∠MNC，∴∠EMN+∠ENM=90°，即∠MEN=90°，又∵NG⊥EN，∴∠MEN+∠ENH=180°，∴EM∥NG；（2）设∠HEG=x，则∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°﹣2x，∵EP平分∠FEH，∴∠FEH=2∠PEH=2（∠PEG+x），又∵∠FEH+∠HEN=180°，∴2（∠PEG+x）+90°﹣2x=180°，解得∠PEG=45°．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行．24．（8分）填空并完成以下证明：已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2．求证：AB∥CD，∠E=∠F．证明：∵∠BAP+∠APD=180°，（已知）∴AB∥CD．（同旁内角互补两直线平行）∴∠BAP=∠APC．（两直线平行内错角相等）又∵∠1=∠2，（已知）∠3=∠BAP﹣∠1，∠4=∠APC﹣∠2，∴AE∥PF．（内错角相等两直线平行）∴∠E=∠F．（两直线平行内错角相等）【分析】根据平行线的性质和判定即可解决问题；【解答】解：∵∠BAP+∠APD=180°，（已知）∴AB∥CD．（同旁内角互补两直线平行）∴∠BAP=∠APC．（两直线平行，内错角相等）又∵∠1=∠2，（已知）∠3=∠BAP﹣∠1，∠4=∠APC﹣∠2，∴∠3=∠4∴AE∥PF．（内错角相等两直线平行）∴∠E=∠F．（两直线平行内错角相等）故答案为CD，同旁内角互补两直线平行，∠APC，两直线平行内错角相等，∠BAP，∠APC，内错角相等两直线平行，两直线平行内错角相等；【点评】本题考查平行线的性质和判定、熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．25．（8分）某种水果的价格如表：购买的质量（千克）不超过10千克超过10千克每千克价格6元5元张欣两次共购买了25千克这种水果（第二次多于第一次），共付款132元．问张欣第一次、第二次分别购买了多少千克这种水果？【分析】因为张欣两次共购买了25千克这种水果（第二次多于第一次），共付款132元，则可设张欣第一次、第二次购买了这种水果的量分别为x千克、y千克，则x＜12.5＜y，由图表可知，x有两种情况，对①x≤10；②10＜x＜12.5这两种情况进行讨论，即可求解．【解答】解：设张欣第一次、第二次购买了这种水果的量分别为x千克、y千克，因为第二次购买多于第一次，则x＜12.5＜y．①当x≤10时，，解得；②当10＜x＜12.5时，，此方程组无解．答：张欣第一次、第二次购买了这种水果的量分别为7千克、18千克．【点评】本题的解决需仔细分析图表，找寻信息，然后分情况解决问题，主要还是利用到方程组．26．（8分）探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=α或α或α；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）深入研究：如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．【分析】（1）根据巧分线定义即可求解；（2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解；（3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；（4）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）故答案为：是（2）∵∠MPN=α，∴∠MPQ=α或α或α；故答案为α或α或α；深入研究：（3）依题意有①10t=60+×60，解得t=9；②10t=2×60，解得t=12；③10t=60+2×60，解得t=18．故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）依题意有①10t=（5t+60），解得t=2.4；②10t=（5t+60），解得t=4；③10t=（5t+60），解得t=6．故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．【点评】本题考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“巧分线”．的定义是解题的关键．。