⎪ + ⎩ PB = PB = PA = PA = 关于圆与方程的知识点整理一、标准方程: ( x - a )2+ ( y - b )2= r 2二、一般方程： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 (D 2 + E 2 - 4F > 0)1. Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 表示圆方程则⎧ ⎪A =B ≠ 0⎧A =B ≠ 0 ⎪ ⎪⎨C = 0⇔ ⎨C = 0 ⎪⎛ D ⎫2 ⎛ E ⎫2- 4 ⋅ F > 0⎪ D 2 + E 2 - 4 AF > 0 ⎪ A ⎪ A ⎪ A ⎩⎝ ⎭ ⎝ ⎭2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。

3. D 2 + E 2 - 4F > 0 常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1. 判断方法：点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小： d < r ⇒ 点在圆内； d = r ⇒ 点在圆上； d > r ⇒ 点在圆外2. 涉及最值：（1）圆外一点 B ，圆上一动点 P ，讨论 PB 的最值minmax BN =BM = BC - rBC + r（2）圆内一点 A ，圆上一动点 P ，讨论 PA 的最值min AN = r - ACmax AM = r + AC四、直线与圆的位置关系 1. 判断方法（ d 为圆心到直线的距离）：（1）相离⇔ 没有公共点⇔ ∆ < 0 ⇔ d > r ；（2）相切⇔ 只有一 个公共点⇔ ∆ = 0 ⇔ d = r ；（3）相交⇔ 有两个公共点⇔ ∆ > 0 ⇔ d < r 。

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2. 直线与圆相切 （1） 知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径 r （2） 常见题型——求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点1 0i ）点在圆外：如定点 P ( x , y ) ，圆： ( x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ，[ ( x - a )2 + ( y - b )2> r 2 ]第一步：设切线l 方程 y - y 0 = k ( x - x 0 ) ；第二步：通过 d = r ⇒ k ，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对 k 存在有效，当 k 不存在时，应补上……千万不要漏了！ 如：过点 P (1, 1) 作圆 x 2 + y 2 - 4x - 6 y +12 = 0 的切线，求切线方程.ii ）点在圆上：（1）若点( x 0，y 0 ) 在圆 x + y = r 上，则切线方程为 x x + y y = r2222（2）若点( x ，y ) 在圆( x - a )2+ ( y - b )2= r 2 上，则切线方程为( x - a )( x - a ) + ( y - b )( y - b ) = r 2由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形， AP 2 = CP 2 - r 2 ⇒ AP⎧ AC = r求切点坐标：利用两个关系列出两个方程⎨⎩AC ⋅ k AP = -1 3. 直线与圆相交（1） 求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理——常用弦长公式： l =- x =1 2（2） 判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3） 关于点的个数问题例：若圆( x - 3)2 + ( y + 5)2= r 2 上有且仅有两个点到直线4x - 3y - 2 = 0 的距离为 1，则半径 r 的取值范围是.答案： (4, 6)4. 直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆 x 2 + y 2 + (m 2 -1)x + 2my - m = 0 ，关于直线 x - y +1 = 0 ，则实数 m 的值为.答案：3（注意： m = -1时， D 2 + E 2 - 4F < 0 ，故舍去）变式：已知点 A 是圆C : x 2 + y 2 + ax + 4 y - 5 = 0 上任意一点， A 点关于直线 x + 2 y -1 = 0 的对称点在圆C 上，则实数 a =.2.圆( x -1)2+ ( y - 3)2= 1 关于直线 x + y = 0 对称的曲线方程是.变式：已知圆C ： ( x - 4)2 + ( y - 2)2 = 1 与圆C.： ( x - 2)2+ ( y - 4)2= 1 关于直线l 对称，则直线l 的方程为 3.圆( x - 3)2+ ( y +1)2= 1关于点(2, 3) 对称的曲线方程是.4.已知直线l ： y = x + b 与圆C ： x 2 + y 2 = 1，问：是否存在实数b 使自 A (3, 3) 发出的光线被直线l 反射后与k 22 1+ k 2 y⎝ ⎭2 2 2 ⎧x = a + r c os ⎩ ⎩ 圆C 相切于点 B⎛ 24 , 7 ⎫？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由.25 25 ⎪ 六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1. 已知实数 x ， y 满足方程 x 2 + y 2 - 4x +1 = 0 ，求：（1）的最大值和最小值；——看作斜率 （2） y - x 的最小值；——截距（线性规划） x - 5（3） x 2 + y 2 的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2. 已知 ∆AOB 中， OB = 3 ， OA = 4 ， AB = 5 ，点 P 是∆AOB 内切圆上一点，求以 PA ， PB ， PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！3. 设 P( x , y ) 为圆 x 2 + ( y -1)2= 1上的任一点， 欲使不等式 x + y + c ≥ 0 恒成立， 则 c 的取值范围是. 答案： c ≥ -1（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) ⇔ ⎧x = r c os 为参数 ； ( x - a ) + ( y - b ) = r (r > 0) ⇔ 为参数八、相关应用⎨y = r sin ， ⎨y = b + r sin ，1. 若直线 mx + 2ny - 4 = 0 （ m ， n ∈ R ），始终平分圆 x 2 + y 2 - 4x - 2 y - 4 = 0 的周长，则 m ⋅ n 的取值范围是.2. 已知圆C ： x 2 + y 2 - 2x + 4 y - 4 = 0 ，问：是否存在斜率为 1 的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为 AB ，以 AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示： x x + y y = 0 或弦长公式 d = x - x . 答案： x - y +1 = 0 或 x - y - 4 = 01 2 1 2 1 23.已知圆C ： ( x - 3)2 + ( y - 4)2= 1，点 A (0,1) ， B (0, 1) ，设 P 点是圆C 上的动点， d = 的最值及对应的 P 点坐标.PA 2 + PB 2 ，求 d 4.已知圆C ： ( x -1)2+ ( y - 2)2= 25 ，直线l ： (2m +1) x + (m +1) y - 7m - 4 = 0 （ m ∈ R ）（1） 证明：不论 m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2） 求其中弦长最短的直线方程. 5. 若直线 y = -x + k 与曲线 x = -k 的取值范围.6. 已知圆 x 2 + y 2 + x - 6 y + m = 0 与直线 x + 2 y - 3 = 0 交于 P ， Q 两点， O 为坐标原点，问：是否存在实数 m，使OP ⊥ OQ ，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.1- y 21 1 1 2222九、圆与圆的位置关系1. 判 断 方 法 ： 几 何 法 （ d 为 圆 心 距 ） ： （ 1） d > r 1 + r 2 ⇔ 外 离（ 2） d = r 1 + r 2 ⇔ 外 切（3） r 1 - r 2 < d < r 1 + r 2 ⇔ 相交（4） d = r 1 - r 2 ⇔ 内切（5） d < r 1 - r 2 ⇔ 内含2. 两圆公共弦所在直线方程圆C ： x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 ，圆C ： x 2 + y 2 + D x + E y + F= 0 ，11112222则( D 1 - D 2 ) x + ( E 1 - E 2 ) y + ( F 1 - F 2 ) = 0 为两相交圆公共弦方程.补充说明：若C 1 与C 2 相切，则表示其中一条公切线方程；若C 1 与C 2 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3 圆系问题（ 1） 过两圆 C ： x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 和 C ： x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 交点的圆系方程为11112222x 2 + y 2 + D x + E y + F +(x 2 + y 2 + D x + E y + F ) = 0 （≠ -1 ）说明：1）上述圆系不包括C 2 ；2）当= -1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2） 过直线 Ax + By + C = 0 与圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 交点的圆系方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F +( A x + By + C ) = 0（3） 两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程 （1） 定义法（圆的定义）（2） 直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程. 例：过圆 x 2 + y 2 = 1外一点 A (2, 0) 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析： OP + AP 2 = OA 2（3） 相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例 1.如图，已知定点 A (2, 0) ，点Q 是圆 x 2 + y 2 = 1上的动点， ∠AOQ 的平分线交 AQ 于 M ，当Q 点在圆上移动时，求动点 M 的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例 2.已知圆O ： x 2 + y 2 = 9 ，点 A (3, 0) ， B 、C 是圆O 上的两个动点， A 、 B 、C 呈逆时针方向排列，且3 3 3 3 ⎪ 222+ y E E∠BAC =，求∆ABC 的重心G 的轨迹方程.3法 1： ∠BAC = 3，∴ BC 为定长且等于3 ⎧ x = x A + x B + x C = 3 + x B + x C 设G ( x , y ) ，则⎨3 3⎪ y = y A + y B + y C = y B + y C ⎩⎪ 3 3⎡ 3 3 ⎫⎛ 3 ⎤ 取 BC 的中点为 x E ∈ ⎢- , ⎪ ， y E ∈ - , ⎥⎣ 2 4 ⎭ ⎝ 4 2 ⎦OE + CE = OC ，∴ x 22 = 94（1） ⎧ x = x B + x C⎧x = 3 + 2x E ⎧ x = 3x - 3 ⎪ E 2 ⇒ ⎧ x B + x C = 2x E ⎪ 3 ⎪ E 2 ⎨ y + y ⎨y + y = 2 y ，∴⎨2 y⇒ ⎨ 3 ⎪ y = B C ⎩ B C E ⎪ y = E ⎪ y = y ⎩⎪ E 2⎛ 3x - 3 ⎫2 ⎪⎩ 3 ⎛ 3 ⎫2 9 2 ⎩⎪ E 2 ⎡ 3 ⎫⎛ ⎤ 故由（1）得： ⎪ + y ⎪ = ⇒ ( x -1) + y 2= 1 x ∈ ⎢0, ⎪, y ∈- , 1⎥ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 4 法 2：（参数法） 2 ⎣ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎦设 B (3cos, 3sin) ，由∠BOC = 2∠BAC =，则3⎛ ⎛ 2⎫ ⎛ 2⎫ ⎫C 3cos + 3 ⎪ , 3sin + 3 ⎪⎪⎝⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎭ 设G ( x , y ) ，则⎧3 + 3cos + 3cos ⎛+ 2⎫⎪ x + x + x 3 ⎪ ⎛ 2⎫ ⎪ x = A B C = ⎝ ⎭ = 1+ cos + cos + ⎪ (1) ⎪ 3 3 ⎝ 3 ⎭ ⎨⎛ 2⎫⎪ 3sin + 3sin + ⎪ ⎪ y = y A + y B + y C= ⎝ 3 ⎭ = sin + sin ⎛+ 2⎫ (2) ⎪ 3 3 3⎪ ⎩⎝ ⎭ ∈⎛ 4⎫2 2 2 2 ⎡3 ⎫ ⎛ ⎤ , ⎪ ，由((1) -1) + (2) 得： ( x -1) + y = 1 x ∈ ⎢0, ⎪, y ∈ - , 1⎥ ⎝ 3 3 ⎭ ⎣ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎦参数法的本质是将动点坐标( x , y ) 中的 x 和 y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出 x ， y 的范围.3BD CD x - 2 y 5x + 2 y 5⎪ ⎪ （4） 求轨迹方程常用到得知识⎧ x = x A + x B + x C⎧ x = x 1 + x 2①重心G ( x , y ) ， ⎨ 3 ②中点 P ( x , y ) ， ⎨ 2 ⎪ y = y A + y B + y C ⎪ y = y 1 + y 2 ⎩⎪ 3⎩⎪ 2③内角平分线定理：=AM ④定比分点公式： MB= ，则 x M =x A + x B ， y1+ M= y A+ y B 1+ ⑤韦达定理.类型一：圆的方程高中数学圆的方程典型例题例 1 求过两点 A (1 , 4) 、 B (3 , 2) 且圆心在直线 y = 0 上的圆的标准方程并判断点 P (2 , 4) 与圆的关系． 圆的方程为(x +1)2 + y 2 = 20 ；点 P 在圆外．例 2 求半径为 4，与圆 x 2 + y 2 - 4x - 2 y - 4 = 0 相切，且和直线 y = 0 相切的圆的方程．圆的方程为(x - 2 - 2 6)2 + ( y + 4)2 = 42 ，或(x - 2 + 2 6)2 + ( y + 4)2 = 42 ．例 3 求经过点 A (0 , 5) ，且与直线 x - 2 y = 0 和2x + y = 0 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线 x - 2 y = 0 与2x + y = 0 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线 x - 2 y = 0 和2x + y = 0 的距离相等．∴=．∴两直线交角的平分线方程是 x + 3y = 0 或3x - y =0 ． 又∵圆过点 A (0 , 5) ，∴圆心C 只能在直线3x - y = 0 上． 设圆心C (t , 3t )ABAC2t + 3t 5t 2 + (3t - 5)25 ∵ C 到直线2x + y = 0 的距离等于 AC ，∴= ．化简整理得t 2- 6t + 5 =0 ． 解得： t = 1或t = 5∴圆心是(1 , 3) ，半径为或圆心是(5 , 15) ，半径为5 ．∴所求圆的方程为(x -1)2 + ( y - 3)2 = 5 或(x - 5)2 + ( y -15)2 = 125 ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程， 这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例 4、 设圆满足：(1)截 y 轴所得弦长为 2；(2)被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为3 :1 ，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l ：x - 2 y = 0 的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有 无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为 P (a , b ) ，半径为r ． 则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a ．由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为90︒ ，故圆截 x 轴所得弦长为 2r ．∴ r 2 = 2b 2又圆截 y 轴所得弦长为 2．∴ r 2 = a 2 +1 ．又∵ P (a , b ) 到直线 x - 2 y = 0 的距离为d =∴ 5d 2 = a - 2b 2= a 2 + 4b 2 - 4ab≥ a 2 + 4b 2 - 2(a 2 + b 2 )5 a - 2b 5a - 2b 55 ⎩ ⎨ ⎨ 5 = 2b 2 - a 2 = 1当且仅当 a = b 时取“=”号，此时 d min = 5．⎧a = b 这时有⎨2b 2 - a 2 = 1⎧a = 1 ∴ ⎩b = 1 ⎧a = -1或 ⎩b = -1又 r 2 = 2b 2 = 2故所求圆的方程为(x -1)2 + ( y -1)2 = 2 或(x +1)2 + ( y +1)2 = 2解法二：同解法一，得d =．∴ a - 2b = ±5d ．∴ a 2 = 4b 2 ± 4 5bd + 5d 2 ．将 a 2 = 2b 2 -1代入上式得：2b 2 ± 4 5bd + 5d 2 +1 = 0 ．上述方程有实根，故∆ = 8(5d 2 -1) ≥ 0 ，∴ d ≥．5将 d =代入方程得b = ±1． 5又2b 2 = a 2 +1∴ a = ±1 ．由 a - 2b = 1 知 a 、b 同号．故所求圆的方程为(x -1)2 + ( y -1)2 = 2 或(x +1)2 + ( y +1)2 = 2 ． 说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程50 0 0 0例 5 已知圆O ：x 2 + y 2 = 4 ，求过点 P (2，4)与圆O 相切的切线．解：∵点 P (2，4)不在圆O 上，∴切线 PT 的直线方程可设为 y = k (x - 2)+ 4 根据 d = r∴= 2解得 k = 34 所以 y = 3(x - 2)+ 44 即3x - 4 y +10 = 0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为 x = 2 ． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解）．还可以运用 x x + y y = r 2 ，求出切点坐标 x 、 y 的值来解决，此时没有漏解． 例 6 两圆C ：x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 与C ：x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 相交于 A 、 B 两点，求它们11112222的公共弦 AB 所在直线的方程．分析：首先求 A 、 B 两点的坐标，再用两点式求直线 AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆C 1 、C 2 的任一交点坐标为(x 0 , y 0 ) ，则有：x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0① 01 01 01x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0②2 02 02①－②得： (D 1 - D 2 )x 0 + (E 1 - E 2 ) y 0 + F 1 - F 2 = 0 ．∵ A 、 B 的坐标满足方程(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 ) y + F 1 - F 2 = 0 ．∴方程(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 ) y + F 1 - F 2 = 0 是过 A 、 B 两点的直线方程． 又过 A 、 B 两点的直线是唯一的．∴两圆C 1 、C 2 的公共弦 AB 所在直线的方程为(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 ) y + F 1 - F 2 = 0 ．说明：上述解法中，巧妙地避开了求 A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说， 还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例 7、过圆 x 2 + y 2 = 1外一点 M (2,3) ，作这个圆的两条切线 MA 、 MB ，切点分别是 A 、 B ，求直线 AB 的方程。