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高三第一次联考数学(理)试题

湖北省部分重点中学高三第一次联考试题(数学理)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.非选择题的作答:用钢笔或黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,请将答题卡上交。

[来源:Z|xx|]选择题一、选择题。

本大题共有10个小题,每小题5分,共50分。

每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{(,)|},{(,)|A x y x a B x y y ====,若AB =φ,则a 的取值范围为( )A .3a <B .23a <<C .23a ≤≤D .23a ≤<2.复数20115(1)i Z i =-的共轭复数对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.如果n的展开式中存在常数项,那么n 可能为 ( )A .6B .7C .8D .94.设a 与α分别为空间中的直线与平面,那么下列三个判断中 ( )(1)过a 必有唯一平面β与平面α垂直 (2)平面α内必存在直线b 与直线a 垂直 (3)若直线a 上有两点到平面α的距离为1,则a//α, 其中正确的个数为 ( ) A .3个 B .2个 C .1个 D .0个5.在右边程序框图中,如果输出的结果(400,4000)P∈,那么输入的正整数N应为()A.6 B.8C.5 D.76.设数列{}na满足:120111,21nnnaa aa++==-,那么1a等于()A.12-B.2C.13D.-37.设||||||0,a b a b a b b==+=-那么与的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°8.设A为圆228x y+=上动点,B(2,0),O为原点,那么OAB∠的最大值为()A.90°B.60°C.45°D.30°9.设甲:函数2()||f x x mx n=++有四个单调区间,乙:函数2()lg()g x x mx n=++的值域为R,那么甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.以上均不对10.设()f x为定义域为R的奇函数,且(2)()f x f x+=-,那么下列五个判断()(1)()f x的一个周期为T=4 (2)()f x的图象关于直线x=1对称(3)(2010)0f=(4)(2011)0f=(5)(2012)0 f=其中正确的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题:(25分)11.设1010210x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩,那么23z x y =-的最大值为 。

12.如果一个几何体的正视图、左视图、俯视图均为如右图所示的面积 为2的等腰直角三角形,那么该几何体的表面积等于 。

13.F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点,若椭圆上存在点A 使AOF ∆为正三角形,那么椭圆的离心率为 。

14.设123,,e e e 为空间的三个向量,如果1122330e e e λλλ++=成立的充要条件为1230λλλ===,则称123,,e e e 线性无关,否则称它们线性相关。

今已知(1,2,3),(3,1,1),(2,1,)a b c m =-=-=-线性相关,那么实数m 等于 。

15.用0,1,2(全用)可组成的四位偶数共 个。

三、解答题(共75分) 16.(12)设()4cos 2cos(2) 1.3f x x x π=⋅+-(1)求()f x 的最小值及此时x 的取值集合;(2)把()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位后所得图象关于y 轴对称,求m 的最小值。

17.(12分) 袋中有大小相同的4个红球与2个白球。

(1)若从袋中依次不放回取出一个球,求第三次取出白球的概率; (2)若从袋中依次不放回取出一个球,求第一次取出红球的条件下第三次仍取出红球的概率。

(3)若从中有放回的依次取出一个球,记6次取球中取出红球的次数为ξ,求(4)P ξ≤与(91).E ξ-18.(本小题满分12分) 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,,E 为线段PD 上一点。

(1)当E 为PD 的中点时,求证:;BD CE ⊥(2)是否存在E 使二面角E —AC —D 为30°?若存在,求PEED ,若不存在,说明理由。

19.已知数列{}n a 满足:115,231,n n a a a n +=-=++已知存在常数p ,q 使数列{}n a pn q ++为等 比数列。

(13分) (1)求常数p 、q 及{}n a 的通项公式;(2)解方程0.n a =(3)求12||||||.n a a a +++[来源:学&科&网]20.设直线:0l x y m -+=与抛物线2:4C y x =交于不同两点A 、B ,F 为抛物线的焦点。

(13分)(1)求ABF∆的重心G的轨迹方程;(2)如果2,m ABF=-∆求的外接圆的方程。

21.设函数2()().nf x l x a x=+-(13分)(1)若(]0,0,a m=求f(x)在(0)m>上的最大值().g m(2)若()f x在区间[1,2]上为减函数,求a的取值范围。

(3)若直线y x=为函数()f x的图象的一条切线,求a的值。

[来源:学科网ZXXK]参考答案一、选择题:1、D2、B3、B4、C5、A6、A7、D8、C9、A 10、C二、填空题:11、2 12、413114、0 15、17三、解答题:16、解:①()14cos 2cos 2sin 212f x x x x ⎛=⋅⋅-- ⎝⎭22cos 22cos 21x x x =-⋅-cos 442cos 43x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ (4分) ∴()f x 的最小值为-2,此时423x k πππ+=+,k ∈Z , (6分)∴x 的取值集合为:,26k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ (7分) ②()f x 图象向右平移m 个单位后所得图象对应的解析式为()2cos 42cos 4433y x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ (9分) 其为偶函数,那么图象关于直线0x =对称,故:43m k ππ-+=,k ∈Z∴124k m ππ=-,所以正数m 的最小值为12π(12分) 17、解:①13p =(3分)②35p =(3分)③记取一次球取出红球为事件A ,则()4263p A ==,分析知ξ服从二项分布,即ξ~B (6,23)∴729473)32(31.)32(1)4(1)4(6556=--=>-=≤C p p ξξ(3分)()29191961353E E ξξ-=-=⋅⋅-=(3分)18、①证明:不妨设2AB =,则2PA PD ==,取AD 的中点F ,连EF ,CF 。

易知BCD∆∽CDF ∆,∴DBC DCF ∠=∠∴90DBC BCF DCF BCF ∠+∠=∠+∠=︒∴BD ⊥CF又EF ∥PA ,PA ⊥平面ABCD ∴EF ⊥平面ABCD故由三垂线定理知BD ⊥CE (5分) ②作EG ⊥AD 于G ,过G 作GH ⊥A C 于H ,连EH ,则可证∠EHG 为二面角E-AC-D 的平面角。

设EG x =,则DG x =,∴2AG x =-,又HG AGCD AC =,∴26=,∴32xHG -=, ∴33tan 23EG x EHG GH x ∠===-,∴12x =,所以存在点E 满足条件,且3PEED =(7分)19、解:①由条件令,()()q pn a k q n p a n n ++=++++11,则:()1n n a ka kp p n kq q p+=+-+--故:231k kp p kq q p =⎧⎪-=⎨⎪--=⎩⇒234k p q =⎧⎪=⎨⎪=⎩又12a p q ++=∴13422n n a n -++=⋅,∴234n n a n =--(5分)②计算知15a =-,26a =-,35a =-,40a =,513a =,故猜测n ≥5,na >0即2n>34n +,下证。

(1)当5n =成立(2)假设n k =(k ≥5)成立,即2k>34k +那么12k +>()23468k k ⋅+=+>()37314k k +=++[来源:]故1n k =+成立。

由(1)、(2)可知命题成立。

故n a =的解为4n =。

(4分)③由②可得,n ≤3时,12na a a +++()12n a a a =-+++()2213114222312422nn n n n n +++⎡⎤=-+++-+++-=-⎣⎦n >3时,12na a a +++[来源:学科网ZXXK]()12345na a a a a a =-++++++ ()121232n a a a a a a =+++-++()22113114311602216222n n n n n n +++++-=--⋅-=-(4分)20、解:①设()11y x A ,()22,y x B ,()0,1F ,重心()y x G ,,0440422=+-⇒⎩⎨⎧=+-=m y y m y x xy∴△>0⇒m <1且1-≠m (因为A 、B 、F 不共线)故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=+-+=++=34332531231212121y y y m m y y x x x∴重心G 的轨迹方程为⎪⎭⎫⎝⎛≠>=37134x x y 且 (6分)②2-=m ,则0842=--y y ,设AB 中点为()00,y x ∴22210=+=y y y ∴4200=-=-=m m y x那么AB 的中垂线方程为06=-+y x 令△ABF 外接圆圆心为()a a C -6,又6411212=-+=y y k AB ,C 到AB 的距离为282-=a d ∴()()()22226128262a a a CF CA -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⇒=219=⇒a ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-27,219C ∴216927217222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=CF ∴所求的圆的方程为21692721922=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x (7分) 21、解:①()2x x l x f n -=,0>x令()021212>-=-='x x x x x f ∴220<<x∴()x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0为增函数,同理可得()x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,22为减函数故220<<m 时,()x f 最大值为()()2m m l m f m g n -==当22≥m 时,()x f 最大值为()212222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n l f m g综上:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-=22,2122220,2m l m m m l m g n n (4分)②∵()x f 在[1,2]上为减函数∴[]2,1∈x 有0>+a x 恒成立⇒1->a且[]()021,2,1≤-+='∈x a x x f x 恒成立x x a -≥⇒21,而x x y -=21在[1,2为减函数], ∴21-≥a ,又1->a 故21-≥a 为所求 (4分) ③设切点为()00,x x P则()000002111211x a x x a x x f +=+⇒=-+⇒='且()()020000x x a x l x x f n =-+⇒=∴0200211x x x l n=-+ 即:()0210200=+++x l x x n 再令()()x l x x x h n 212+++=,21->x第5页 共8页 ∴()021221>+++='x x x h ∴()x h 在为增函数,又()00=h ∴()0000=⇔=x x h 则1=a 为所求(5分)。

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