例: 求无限长均匀带电直线的场强分布。设棒上 的线电荷密度为 。 解:该电场分布具有轴对称性。所以， 以直线为轴做一闭合圆柱面，上下底 面垂直直线，点P 位于圆柱侧面上， 根据高斯定理得: 则:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则:
方向: 垂直 于带电直线
9.2 电通量
高斯定理
作业：
9.2 电通量
1、9.1（2）
高斯定理
例: 求无限大均匀带电平板的场强分布。设电荷 面密度为。 解: 由电荷对称性分析，可知:平面两 侧距平板等距离的点，场强大小相 等，方向垂直于平面，取高斯面如图， 则:
9.2 电通量
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
四、高斯定理的应用 1. 分析给定问题中场强分布的对称性，判断 能否应用高斯定理求解场强。 2. 选择适当的闭合曲面作为高斯面，使它 通过拟求场强的点，电通量的计算应当简便，高 斯面本身是简单的几何面。 3. 计算电通量及高斯面包含的电量的代数 和，求解场强。
24.02.2016
9.2 电通量
库仑定律:
高斯定理
电场强度：
9.2 电通量
高斯定理
点电荷电场：
一、电场线 为了形象地描绘电场的分布，可以在电场中 做出一系列曲线，使这些曲线上每一点的切线方 向都与该点处的电场强度的方向一致，这些曲线 叫做电场线。
9.2 电通量
正点电荷
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
点电荷的电场线
负点电荷
一对等量异号点电荷的电场线
+
+
9.2 电通量
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
一对不等量异号点电荷的电场线
+
+
1
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9.2 电通量
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +
电场线密度和电场强度之间的数值关系 为了使电场线不仅可以表示电场强度的方向， 而且可以表示电场强度的大小，对电场线的画法 做了如下规定: 在电场中的任一点处，通过垂直于电场线的 单位面积内的电场线的条数等于该点处的电场强 度大小。 dS内的电场线数 垂直于电场线的面积 由以上规定可知:电场线稠密的地方，电场强 度大；电场线稀疏的地方，电场强度小。
2
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9.2 电通量
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
在球面上取面积元dS，则通过dS的电通量为:
3、通过不包围点电荷的任意闭合曲面的电通量
则通过整个闭合球面的电通量为: 4、多个点电荷的电通量 设空间电荷系统由若干点电荷组成，其电量 分别为: 任一闭合曲面S包围了点电荷: 由电场叠加原理，在面积元dS处产生的场强 为:
2、通过包围点电荷的任意闭合曲面的电通量。
9.2 电通量
则通过dS的电通量为: 所以有:
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
此结果符合高斯定理，高斯定理证毕
说明: 1. 高斯定理表明静电场为有源场，源就是电 荷。若闭合曲面的电通量为正时，曲面内必有正 的净电荷；反之，则必有负的净电荷；电通量为 零时，闭合曲面内的净电荷必为零。 2. 闭合曲面外的电荷对闭合曲面的电通量是 无贡献的，但对闭合曲面上的电场强度是有贡献 的，即积分号内的 是闭合曲面内外所有电荷产 生的总场强。 3. 高斯定理不仅对静电场适用，对变化的电 场也适用。
9.2 电通量
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
静电场的电场线性质: 1、电场线起始于正电荷(或无限远处)，终 止于负电荷(或无限远处)，在无电荷处不中断。 2、任何两条电场线不会相交。 3、静电场中的电场线是非闭合曲线。
二、电场强度通量 通过电场中某一曲面的电场线数叫做通过该 面的电通量，通常用e表示。 对S面: 对S1面: 通过dS面的电通量: 通过S面的电通量:
9.2 电通量
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
几点说明 1、 和 都是曲面上的矢量点函数，而电 通量是标量，故只能谈及某面元或某曲面 上的电通量； 2、电通量是代数量，正负取决于面元法 向的选取； 非闭合曲面: 闭合曲面的法向:自内向外为正； 穿出为正，穿入为负
三、高斯定理 通过一个任意闭合曲面的电通量等于该闭合 曲面所包围的所有电荷电量的代数和除以真空电 容率，与闭合曲面外的电荷无关，其数学表达式 为: 分步导出高斯定理 1、设真空中有一个正的点电荷q被置于半径 为r 的球面中心，如图。 点电荷q的电场 强度空间分布为:
例: 均匀带正电的球壳内外的场强分布。设球壳半 径为R，所带总电量为Q。 解:根据电场球对称性的特点，取通过点P 的同心 球面为高斯面S，则应用高斯定理得:
当 当
时: 时: 方向O → P
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9.2 电通量
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
例: 均匀带电的球体内外的场强分布。设球体半 径为R，所带总带电为Q。 解: 选取与带电球体同心的球面 为高斯面，则: 当 时: 当 则: 方向O → P 方向O → P 时:
2、9.3 9.5 9.7 9.8 (例题比作业更重要) 3、P20 复习思考题9.8 P30：复习思考题 课后讨论
方向:垂直于 带电平面
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