不等式专题一共分为6部分 1.不等关系与不等式 2.一元二次不等式及其解法 3.二元一次不等式组与平面区域 4.线性规划与实际应用 5.线性规划与基本不等式 6.不等式综合复习第一部分不等关系与不等式实数的符号：任意x R ∈，则0x >（x 为正数）、0x =或0x <（x 为负数）三种情况有且只有一种成立。

两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：0,00a b a b >>⇒+>；0,00a b a b <<⇒+<②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：0,00a b ab >>⇒>；0,00a b ab <<⇒>③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00a b ab ><⇒< ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：20x R x ∈⇒≥，200x x =⇔=. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数a 、b ①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0b a b a -=⇔=.对于任意实数a 、b ,a b >,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立。

要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

1、某人有楼房一幢，室内面积共2180m ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m ，可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.【解析】假设装修大、小客房分别为x 间，y 间，根据题意，应由下列不等关系：（1） 总费用不超过8000元 （2） 总面积不超过2180m ；（3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有：**1800(0(100060080001815))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩ 即**600(0(534065))x x N y y N x y x y ≤≥∈≥∈+≤⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩此即为所求满足题意的不等式组1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【答案】设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥2、某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，且有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．解析：设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； (2)车队每天至少要运360 t 矿石；(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆． 用下面的关于x ，y 的不等式表示上述不等关系即可，91066836004,07,x y x y x x y x +≤⎧⎪⨯+⨯≥⎪⎨≤≤∈⎪⎪≤≤∈⎩N N ，即9543004,07,x y x y x x y x +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤∈⎪⎪≤≤∈⎩N N不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：(1) 对称性：a>b b<a ⇔ (2) 传递性：a>b, b>c a>c ⇒ (3) 可加性：a b a c b c >⇔+>+ (c ∈R)(4) 可乘性：a>b ，⎪⎩⎪⎨⎧<⇒<=⇒=>⇒>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有：(1) 可加法则：,.a b c d a c b d >>⇒+>+(2) 可乘法则：,a b>0c d>0a c b d>0>>⇒⋅>⋅ (3) 可乘方性：*0,0n nab n N a b >>∈⇒>>(4) 可开方性：a b 0,n N ,n 1+>>∈>⇒>要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据1、对于实数a,b,c 判断以下命题的真假 （１）若a>b, 则ac<bc; （２）若ac 2>bc 2，则a>b; （３）若a<b<0, 则a 2>ab>b 2; （４）若a<b<0, 则|a|>|b|; （５）若a>b,a 1>b1, 则a>0, b<0． 【解析】（１）因为c 的符号不定，所以无法判定ac 和bc 的大小，故原命题为假命题。

（２）因为ac 2>bc 2, 所以c ≠0, 从而c 2>0，故原命题为真命题。

（３）因为⎩⎨⎧<<0a ba ，所以a 2>ab ①又⎩⎨⎧<<0b ba ，所以ab>b 2 ②综合①②得a 2>ab>b 2 ，故原命题为真命题．（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．（５）因为⎪⎩⎪⎨⎧>>b a ba 11 ，所以0110ab a b->⎧⎪⎨->⎪⎩所以⎪⎩⎪⎨⎧>-<-00aba b a b ，从而ab<0又因a>b ，所以a>0, b<0，故原命题为真命题．2、船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？【解析】设甲地与乙地的距离为S ，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)，则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间222S S uS t u v u v u v=+=+--平均速度222S u v u t u-==，∵2220u v v u u u u u--=-=-< ， ∴ u u <因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。

1、若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)0a bd c+<；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立 的个数是( )． CA ．1B ．2C ．3D ．42、若a<b<0，则下列结论正确的是（ ）. A.1111a b |a ||b |>>和均不成立 B.1111a-b a |a ||b |>>和均不成立 C.221111a (b a b a b a >+>+-和(均不成立 D.221111(a (b+)|a ||b |b a>+>和均不成立 【解析】特殊值法：a b 0,<<∴取a=-2,b=-1 ,分别代入四个选项，即得选项B.3、甲乙两车从A 地沿同一路线到达B 地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a 行走一半路程，用速度b 行走另一半路程，若a b ≠，试判断哪辆车先到达B 地.【解析】设从A 到B 的路程为S ，甲车用的时间为1t ，乙车用的时间为2t ， 则1112211,,(),22222t t S S S S a b S t t a b a b a b+=∴==+=++ 222S S 112S ()S 4S ()S ()S0222()2()a b ab a b a b a b a b a b ab ab a b ab a b ⎛⎫===-< ⎪⎝⎭＋－＋－－＋－＋＋＋＋ 所以，甲车先到达B 地。

作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b -后比较a b -与0的关系，进一步比较a 与b 的大小。

①0b a b a ->⇔>； ②0b a b a -<⇔<； ③0b a b a -=⇔=。

作商法：任意两个值为正的代数式a 、b ，可以作商a b ÷后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b 的大小。

①1b aa b >⇔>； ②1b aa b <⇔<； ③1b aa b=⇔=. 中间量法：若a>b 且b>c ，则a>c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 利用函数的单调性比较大小若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0； 最后下结论。

要点诠释：“三步一结论”。

这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。

1、 已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。

根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。

比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。

【解析】∵222()a b c ab bc ca ++-++=2221[()()()]02a b b c c a -+--≥， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .2、已知a b >(0ab ≠), 试比较1a 和1b的大小。

【解析】11b a a b ab--=， ∵a b >即0b a -<，∴当0ab >时0b a ab -<，11a b <； 当0ab <时0b a ab ->，11a b>.3、已知：a 、b R +∈, 且a b ≠,比较a b b aa b a b 与的大小.【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法. 【解析】 ∵a 、b R +∈ ，∴0a bab >，0b a a b >作商：()()()()()a b a b a b a bb a a b a b a a a a b b a b b b--=== （*）(1)若a>b>0, 则1>b a ，a-b>0, 1)(>-ba ba , 此时ab b a a b a b >成立；(2)若b>a>0, 则10<<b a , a-b<0，1)(>-b a ba, 此时a b b a a b a b >成立。