一．随机事件与概率１．五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率为 （101） 2. 若B A ⊂，则B A 是 （B ）3. 事件Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个不发生可表示为 （C B A ）4. 设B A ,为两个独立事件，7.0)(=A P ，1)(0<<B P ，求)|(B A P （ 0.3 ）5． 某射手射击时，中靶的概率为43，若射击直到中靶为止，求射击次数为３的概率？（ 43)41(2⨯ ）5．设B A ⊂，2.0)(=A P ，3.0)(=B P ，求)(B A P . 解：1.0)()()()(=-=-=A P B P A B P B A P6．某射手每次射击击中目标的概率为p ，连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数X 的分布律解 在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数X 是离散型随机变量，显然，X 的可能取值为 ,2,1，即一切正整数，而：p p k X P k 1)1(}{--== ,2,1=k 上式即为X 的分布律。

7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品, 检查产品质量时, 在产品中取一半来检查, 如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格的。

求这批产品被认为是合格的概率。

解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品．设事件A 表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和：10A A A +=其中0A 表示检查的50个产品中没有次品， 而1A 表示有1个次品．因为 ：028.0)(5010050950==C C A P153.0)(501004995151==C C C A P 所以181.0)()()(10=+=A P A P A P8．设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。

解 =A {抽到的一人为男人}，=B {抽到的一人为色盲者}，则()53=A P ，()2011005==AB P ，()52=A P ，()40011000025==A B P于是，由全概率公式，有()()()()()A B P A P A B P A P B P +=10003140015220153=⨯+⨯=。

9.（1）已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，求)(B A P ⋃。

（2）4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，求)|(B A P 。

解 （1）利用加法公式、乘法公式计算事件概率4.0)()|()(=⋅=A P A B P AB P ，7.04.06.05.0)(=-+=⋃B A P 。

（2）易知6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，由)()(4.0)()()(AB P A P B A P B P B A P -===，可得2.0)(=AB P ，从而4.05.02.0)()()|(===B P AB P B A P 。

10. 某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求： （1）只读甲报所占比例；（2）至少读一种报纸所占比例。

解 设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：C B A ,,，由已知条件，有25.0)(=A P ，20.0)(=B P ，16.0)(=C P ，10.0)(=AB P ，05.0)(=AC P ，04.0)(=BC P ，02.0)(=ABC P ，从而有（1）))(()())(()(C B A P A P C B A P C B A P -==[][])()()()()()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P -+-=-=()12.002.005.010.025.0=-+-=（2）)(C B A P )()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++= ()44.002.004.005.01.016.020.025.0=+++-++=.二．一维随机变量1. 设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-000)1(1)(x x e x x F x，求}1{≤X P 。

（121--e ）2．已知随机变量X 的密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,)(x Ax x f ，求A 。

解 由1()d d 12Af x x Ax x +∞-∞===⎰⎰； 可得2A =。

３．随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它２11)(x x C x f 求C 。

（π1）4．若),2(~2σN X ，且{}3.042=<<X P ，求{}0<X P 。

解 0.3={}5.02222442-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<<σσσX P故 8.02=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσ，{}2.02120=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<σσX P 。

5．随机变量X 的概率密度为：⎩⎨⎧<≥=-00)(x x e x f x ，求随机变量12+=X Y 的概率密度。

解 设12+=x y ，则02>='y ，反函数21-=y x ，于是12+=X Y 概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--101212121)(21y y e y f y f y Y ，故⎪⎩⎪⎨⎧<≥=--1121)(21y y ey f y Y 。

6．设随机变量X 在]4,1[上服从均匀分布，现在对X 进行3次独立试验，则至少有2次观察值大于2的概率为多少？解 X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他04131)(x x f 。

一次试验观察值大于2的概率为：32d 31}2{42==>⎰x X P 设3次独立试验观察值大于2的次数为Y ，则⎪⎭⎫⎝⎛32,3~B Y ，从而： 2720323132}2{333223=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=≥C C X P 。

7．设随机变量),2(~2σN X ，且3.0)42(=<<X P ，求)0(<X P 。

解 根据正态分布的密度函数关于均值点的对称性，有 )20()2()0(<≤-<=<X P X P X P)42(5.0≤<-=X P )42(5.0<<-=X P 2.03.05.0=-=8．如果函数xAe x f -=)(，+∞<<∞-x ，为某个随机变量的概率密度，求A 。

解 因为⎰∞+∞-=1d )(x x f ，而⎰⎰⎰+∞-∞-∞+∞--+=0d d d x Ae x Ae x Ae x x xA A A 2=+=。

故21=A 。

9. 已知 X 的概率分布为求 Y = X 2的分布律. 解三．二维随机变量1．若),(ηξ的联合概率密度为：()1,0,0(,)0, x y k e x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其它（1）确定常数k ；（2）求)2,2(<<ηξP 。

解 （1）⎰⎰∞+∞+--==001d d 11ky e x e k yx ，故1=k ； （2）⎰⎰∞-∞-=<<22d d ),(}2,2{y x y x P ϕηξ2222)1(d d ----==⎰⎰e y e x e y xX p k-1 0 1 2214181812．设随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他010,101),(y x y x f ，求概率}6.0,5.0{<<Y X P 。

解⎰⎰∞-∞-=<<6.05.0d d ),(}6.0,5.0{y x y x f Y X P ⎰⎰==6.005.003.0d d x y3．设二维随机变量(ηξ,)的分布函数()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=y B A x B A y B A x B A y x F arctan arctan 211arctan arctan , (1)求常数B A ,；(2)求()0,0≥≥ηξP 。

解 (1)令1)2(211)2(),(22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∞++∞B A B A F ππ0)2(211)2(),(22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=∞--∞B A B A F ππ，得π1,21==B A(2)()0,0≥≥ηξP )0()0(1<-<-=ηξP P ()0,0<<+ηξP32932921211)0,0()0,(),0(1=+--=++∞-∞+-=F F F4. 两个相互独立的元件串联成一系统，元件的寿命分别为ξ,η，其分布函数均为求系统的寿命短于1000小时的概率。

解 串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为， )1000,1000()1000()1000(<<-<+<=ηξηξP P P p2)]1000([)1000()1000(F F F -+=221111)1(11-----=---+-=e e e e四．随机变量的数字特征1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知1)2)(1(=--X X E ，求λ 。

解 因λDX EX ==，有2223)()23(1222+-=+-+=+-=λλλEX DX X X E ，从而1=λ。

2．设随机变量X 服从参数为 1 的指数分布，求)(2XeX E -+。

解 3/13/d 3d 03022=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰∞--∞--x e x e e Ee x x x X 从而34311)(2=+=+-Xe X E 。

3．设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，0==EY EX ，222==EY EX ，求2)(Y X E +。

解 利用期望与相关系数的公式进行计算即可。

因为2)(Y X E +=22)(2EY XY E EX ++()EY EX Y X ⋅++=),cov(24625.02424=⨯⨯+=⋅⋅+=DY DX XY ρ说明：本题的核心是逆向思维，利用公式EY EX Y X XY E ⋅+=),cov()(。

4．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为6和3，求随机变量Y X 32-的方差。

()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,11000x x ex F x解 由方差的性质，得51272494)32( =+=+=-DY DX Y X D 。