9. 双曲线 x2 y2 1的渐近线方程是 49
A. y 2 x 3
[解析]选 C
B. y 4 x 9
()
C. y 3 x 2
D. y 9 x 4
10.焦点为（0，6），且与双曲线 x2 y 2 1 有相同的渐近线的双曲线方程是
2
（）
A． x 2 y 2 1
12 24
B． y 2 x 2 1
B．12
C．12 3
解析： a 1,b 12,c 13,由| PF1 |:| PF2 | 3 : 2 ①
D．24
又| PF1 | | PF2 | 2a 2, ②
由①、②解得| PF1 | 6,| PF2 | 4.
| PF1 |2 | PF2 |2 52,| F1F2 |2 52,
PF1F2为直角三角形，
A. 2
B. 3
C. 5
D. 2
【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通 a,b,c 的关系
[解析]
焦点到渐近线的距离等于实轴长，故 b 2a ， e2
c2 a2
1 b2 a2
5 ,所以 e
5
【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过 a,b,c 的比例关系可以求离心率,
也可以求渐近线方程 【新题导练】
[解析] 解法一：设双曲线方程为 x 2 － y 2 =1.由题意易求 c=2 5 . a2 b2
又双曲线过点（3 2 ，2），∴ (3 2)2 － 4 =1.
a2
b2
又∵a2+b2=（2 5 ）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为 x 2 － y 2 =1. 12 8
解法二：设双曲线方程为 x 2 － y 2 ＝1， 16 k 4 k
程为
点拨：一要注意是否满足 2a | F1F2 | ，二要注意是一支还是两支
| PF1 | | PF2 | 6 10
，
P
的轨迹是双曲线的右支.其方程为
x2 9
y2 16
1(x
0)
2.注意焦点的位置
问题 2：双曲线的渐近线为 y 3 x ，则离心率为 2
点拨：当焦点在 x 轴上时， b 3 ， e 13 ；当焦点在 y 轴上时， a 3 ， e 13
12 24
C． y 2 x 2 1
24 12
D． x 2 y 2 1
24 12
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选 B
基础巩固训练
1. 以椭圆 x2 y2 1的右焦点为圆心，且与双曲线 x2 y2 1的渐近线相切的圆的方
169 144
9 16
程是
（A） x2 y2 10x 9 0 （B） x2 y2 10x 9 0
答：巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.
【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”
【新题导练】
1.设 P 为双曲线 2
y2 12
1 上的一点 F1、F2 是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，
则△PF1F2 的面积为
（）
A． 6 3
的右支，选 B
考点 2 双曲线的几何性质 题型 1 求离心率或离心率的范围
[例
3]
已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1, (a 0,b 0) 的左，右焦点分别为 F1, F2 ，点
P
在双曲
线的右支上，且| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
．
【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决
e2 m n 25 ，e 5 或 5
n 16
34
8. 已知双曲线 x2 y 2 1(a 0,b 0) 的右顶点为 E，双曲线的左准线与该双曲线的两 a2 b2
渐近线的交点分别为 A、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率 e 是（ ）
A． 5 1 2
B．2
C． 5 1 或 2 2
1时，解得 e
5 3
．即 e 的
最大值为 5 ． 3
(方法 2) | PF1 | 2a | PF2 | 1 2a 1 2a ，
| PF2 | | PF2 |
| PF2 |
ca
双曲线上存在一点
P
使|
PF1
|
4
|
PF2
| ，等价于1
2a ca
4,e
5 3
(方法 3)设 P(x, y) ，由焦半径公式得 PF1 ex a, PF2 ex a ，∵ PF1 4 PF2 ，
【新题导练】
7. 已 知 双 曲 线 x2 y2 1 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y 4 x ， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 e
mn
3
为
．
[解析]当 m 0,n 0 时， m 9 ， e2 m n 25 ，当 m 0,n 0 时， m 16 ，
n 16
m9
n9
性
焦距
范围
质
顶点
2c | x | a, y R
(a,0), (a,0)
| y | a, x R
(0,a), (0, a)
对称性 离心率
准线
x a2 c
关于 x 轴、y 轴和原点对称 e c (1, ) a
y a2 c
渐近线
ybx a
yax b
与双曲线 x2 a2
y2 b2
1共渐近线的双曲线系方程为： x 2
切的两直线相交于点 P ，则 P 点的轨迹方程为
A． x2 y2 1 (x 1) 8
B． x2 y2 1 (x 1) 8
C． x 2 y 2 1（x > 0） 8
D． x2 y2 1 (x 1) 10
[解析] PM PN BM BN 2，P 点的轨迹是以 M 、N 为焦点，实轴长为 2 的双曲线
双曲线专题复习讲义
★知识梳理★
1. 双曲线的定义
（1）第一定义：当|| PF1 | | PF2 || 2a | F1F2 |时, P 的轨迹为双曲线;
当|| PF1 | | PF2 || 2a | F1F2 |时, P 的轨迹不存在;
当| PF1 PF 2 | 2a F1F 2 时, P 的轨迹为以 F1、F2 为端点的两条射线
D．不存在
[解析]设双曲线的左准线与 x 轴交于点 D,则 AD ab ，ED a a2 ， a a2 3 ab ，
c
c
c
c
e 2
题型 2 与渐近线有关的问题
[例
4]若双曲线
x a
2 2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的
离心率为 （ ）
a2
2
b2
3
★热点考点题型探析★
考点 1 双曲线的定义及标准方程
题型 1：运用双曲线的定义
[例 1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的 距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点 均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．
由圆的切线性质知， PF2 PF1 | c x0 | | x0 (c) | 2a x0 a
题型 2 求双曲线的标准方程 [例 2 ] 已知双曲线 C 与双曲线 x 2 － y 2 =1 有公共焦点，且过点（3 2 ，2）.求双曲线 C
16 4 的方程． 【解题思路】运用方程思想，列关于 a,b,c 的方程组
[解析]如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，则 A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设 P（x,y）为巨响为生点，由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故 P 在 AC 的垂直平分 线 PO 上，PO 的方程为 y=－x，因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线
a2
y2
b2
( 0)
与双曲线 x2 a2
y2 b2
1共轭的双曲线为
y2 b2
x2 a2
1
等轴双曲线 x 2 y 2 a 2 的渐近线方程为 y x ，离心率为 e 2 .；
★重难点突破★
1.注意定义中“陷阱”
问题 1：已知 F1(5, 0), F2 (5, 0) ，一曲线上的动点 P 到 F1, F2 距离之差为 6，则双曲线的方
x 2 y 2 1 上， a2 b2
依题意得 a=680, c=1020，
b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
故双曲线方程为 x2 6802
5
y2 3402
1
y
P
C
A
O
Bx
用 y=－x 代入上式，得 x 680 5 ，∵|PB|>|PA|,
x 680 5, y 680 5,即P(680 5,680 5),故PO 680 10
___________________.
[解析] 抛物线 y2 8 3x 的焦点 F 为 (2 3,0) ，设双曲线方程为 x2 3y2 ，
4 (2 3)2 9 ，双曲线方程为 x2 y2 1
3
93
6.已知点 M (3, 0) ，N(3, 0) ，B(1, 0) ，动圆 C 与直线 MN 切于点 B ，过 M 、N 与圆 C 相