第三章 三角恒等变换
§ 3.1.1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一．选择题
1、sin750= （ ）
Ａ、14
2、tan170+tan280+tan170tan280
= （ ）
Ａ、-１ Ｂ、１ Ｄ、
3、若12sin x x =cos(x +φ)，则φ的一个可能值为 （ ）
Ａ、6π- Ｂ、3π- Ｃ、6π Ｄ、3
π
4、设α、β为钝角，且sin α，cos β＝α+β的值为 （ ）
Ａ、
34π Ｂ、54π Ｃ、74π Ｄ、54π或74
π
5、1tan 751tan 75+-
＝ （ ）
Ｃ、 Ｄ、*
6、在△ABC 中，若0<tan A tan B <1，则此三角形是 （ ）
Ａ、直角三角形 Ｂ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形 Ｄ、等腰三角形
二、填空题
7、cos420sin780+cos480sin120____________;
8、已知cos α=17，α∈(0,2π)，则cos(α+3π
)=_____________;
9、已知函数f (x )=sin x +cos x ，则 f (
12
π)= ;
*
10、一元二次方程mx 2+(2m -3)x +m -2=0的两根为tan α,tan β，则tan(α+β)的最小值为______.
三、解答题
11、已知tan(4π+x )= 1
2
，求tan x
12、化简2cos10sin 20cos20-
13、已知4π<α<34π，0<β<4π，且cos(4π-α)=35，sin(34π+β)=513
，求sin (α+β)的值。
*
14、已知α、β为锐角，sin α=
8,17cos(α-β)=21
29
，求cos β.
3.1.3二倍角的正弦、余弦与正切公式
班级_________ 姓名_______学号________得分_________
一、 选择题 1、已知sin
2α=35,cos 2α= -4
5
,则角α终边所在的象限是 （ ） （Ａ）第一象限 （Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 （Ｄ）第四象限
２、已知sin x tan x <0 , （ ）
x （Ｂ）x x （Ｄ）x
３、若tan α=12-,则sin 22cos 24cos 24sin 2αα
αα+-的值是 （ ）
（Ａ）
114 （Ｂ）-114 （Ｃ）52 （Ｄ）52
- 4、log 2sin150+log 2cos150 的值是 （ ） （Ａ）1 （Ｂ）-1 （Ｃ）2 （Ｄ）-2
5、若θ∈（
54
π，32π
）, （ ）（Ａ）2sin θ （Ｂ）2cos θ （Ｃ）- 2sin θ （Ｄ）-2cos θ
*
6、已知sin(
4π-x )=3
5
,sin2x 的值为 （ ） （Ａ）
725 （Ｂ）1425 （Ｃ）1625
（Ｄ）
19
25
二、 填空题 7、tan22.50-
1
tan 22.5= ;
8、已知sin x ,则sin2(x -4π)= ;
9、计算：sin60 sin 420 sin 660
sin 780= 。
*
10、已知f (cos
2x )=3cos x +2，则f (sin 8
π
)= 。
三、 解答题
11、求证：cos4θ-4cos2θ+3=8sin 4θ.
12、在△ABC 中，cos A =3
5
,tan B =2，求tan(2A +2B )的值。
13、已知cos(4π+x )= 35,1712π
<x <74π,求2sin 22sin 1tan x x x
+-的值.
*
14、已知3sin 2α+2sin 2β=1, 3sin2α-2sin2β=0,且α、β都是锐角，求证：α+2β=
2
π.
§3.2简单的三角恒等变换
班级__________ 姓名___________ 学号_______ 得分_______
一、选择题
1．(cos
12
π-sin
12
π) (cos
12
π+sin
12
π)= （ ）
A 、
B 、12-
C 、12 D
2．cos240cos360-cos660cos540的值为 （ ）
A 、0
B 、1
2
C D 、-12
3．函数f (x ) = | sin x +cos x | 的最小正周期是 （ ）
A 、
4π B 、2
π C 、π D 、2π
4．22sin 2cos 1cos2cos2αααα⋅=+ （ ） A 、tan α B 、tan2α C 、1 D 、1
2
5．已知tan
2
α
=3,则cos α= （ ） A 、4
5
B 、4
5
-
C 、
415 D 、35
- *
6．若sin(
6π-α)= 13，则cos(23
π
+2α)= （ ） A 、79- B 、13- C 、13 D 、7
9
二、填空题
7．已知tan α =4
3
-，则tan 2α的值为 _______
8． sin150 + sin750 = 9．若α是锐角，且sin(α-
6π)=1
3
，则cos α 的值是 *10. 若f (tan x )＝sin2x ，则f (-1)＝
三、解答题
11．已知a =(λcos α,3),b =(2sin α,1
3
)，若a ·b 的最大值为5，求λ的值。
12．已知函数f (x )＝sin 2
x ＋sin x cos x ．
(Ⅰ) 求f (256
π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0,π)，f (2α)＝14sin α的值．
13．已知cos(α+4π)=35,2
π
≤α<32π,求cos(2α+4π)的值.
*14．已知函数f (x )＝a (2cos
22
x
＋sin x )+b . (1)当a =1时,求f (x )的单调递增区间
(2)当x ∈[0,π]时，f (x )的值域是[3，4]，求a 、b 的值.
参考答案
§3.1.1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、DBACDB
二、7 8、1114- 9 10、34-
三、11、-13
12 13、56
65
14、
155
493
(提示：若sin(α-β)>0,则sin β<0) 3.1.3二倍角的正弦、余弦与正切公式
一、DBBDCA
二、7、-2 ; 8、、161; 10、2三、11、略 ；12、34-
； 13、28
75
- 14、∵3sin 2
α+2sin 2
β=1, 3sin2α-2sin2β=0,∴cos2β=3sin 2
α,
sin2β=3sin αcos α,
∴cos (α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=3sin 2αcos α-3sin 2
αcos α=0
又α、β都是锐角，∴0<α+2β<
32π,∴α+2β=2
π. §3.2简单的三角恒等变换
一、DBCBBA
二、7、2或12- 8 9 10、-1
三、11、λ=±4
12、(Ⅰ) 0 ; (Ⅱ) sin α 13、∵
2π≤α<32π,∴34π≤α+4π<74π.从而cos2(α+4π)=7.25- sin2(α+4π)=24.25
-
原式= cos[2(α+
4π)-4π cos2(α+4πα+4π
)=
14、(1) f (x )x +4π)+b +1.由-22242
k x k πππ
ππ+≤+≤+，解得f (x )的单调递增区间为[-
32,242
k k ππ
ππ++](k ∈Z ).
(2) f (x )＝a sin (x +4π)+a +b . x ∈[0,π], ∴4π≤x +4π≤54π∴≤sin (x +
4
π
)≤1.
①当a >0时，b ≤f (x ) ≤a +b , ∴31
1)43b a a b b =⎧⎧=⎪⎪
⇒⎨
⎨
+==⎪⎪⎩⎩;
②当a <0时，a +b ≤f (x ) ≤b , ∴41
1)34b a a b b =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨
+==⎪⎪⎩⎩
故a b =3或a b =4.。