习题四4-1 观察者A 测得与他相对静止的Oxy 平面上一个圆的面积是12 cm 2，另一观察者B 相对于A 以 0.8 c (c 为真空中光速)平行于Oxy 平面作匀速直线运动，B 测得这一图形为一椭圆，其面积是多少？分析：本题考察的是长度收缩效应。

解：由于B 相对于A 以0.8v c =匀速运动，因此B 观测此图形时与v 平行方向上的线度将收缩为b c R 2)/(122=-v ，即是椭圆的短轴.而与v 垂直方向上的线度不变，仍为2 2 R a =，即是椭圆的长轴. 所以测得的面积为(椭圆形面积)R c R ab S ⋅-π=π=2)/(1v 22)/(1c R v -π==7.2cm 24-2 长度为1m 的米尺L 静止于'K 中，与x 轴的夹角'30,'K θ=︒系相对K 系沿x 轴运动，在K 系中观察得到的米尺与x 轴的夹角为45θ=︒，试求：（1）'K 系相对K 系的速度是多少？（2）K 系中测得的米尺的长度？分析：本题考察的是长度收缩效应。

根据两个参考系下米尺的不同长度再结合长度收缩效应我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度解：（1）米尺相对'S 系静止，它在''x y 和轴的投影分别为： 00'cos '0.866'sin '0.5x y L L m L L mθθ====米尺相对S 系沿x 方向运动，设运动速度为v ，为S 系中的观察者，米尺在x 方向将产生长度收缩，而y 方向的长度不变，即x x L L ='y y L L =故米尺与x 轴的夹角满足'y xL L tg L θ==将θ与'x L 、'y L 的值代入可得：0.816v c =（2）在S 系中测得米尺的长度为： 0.707()sin 45y L L m ==︒4-3 已知x 介子在其静止系中的半衰期为81.810s -⨯。

今有一束π介子以0.8c υ=的速度离开加速器，试问，从实验室参考系看来，当π介子衰变一半时飞越了多长的距离？ 分析：本题考察的是时间膨胀效应。

根据静止系中的半衰期加上时间膨胀效应我们可以求出在实验室参考系中的半衰期，然后根据该半衰期求出飞行距离。

解：在π介子的静止系中，半衰期80 1.810t s -∆=⨯是本征时间。

由时间膨胀效应，实验室参系中的观察者测得的同一过程所经历的时间为：8310()t s-∆∆==⨯因而飞行距离为：7.2d v t m=∆=4-4 在某惯性系K中，两事件发生在同一地点而时间相隔为4s。

已知在另一惯性系'K中，该两事件的时间间隔为6s，试问它们的空间间隔是多少？分析：本题考察的是时间膨胀效应以及洛伦兹变换。

根据时间膨胀效应我们可以求出两参考系的相对速度，继而根据洛伦兹变换演化出空间间隔变换的公式求出该两事件在S系中的空间间隔。

解：在k系中，4t s∆=为本征时间，在'K系中的时间间隔为6t s∆=两者的关系为：t∆==259β∴=故两惯性系的相对速度为：810(/)v c m sβ==由洛伦兹变换，'K系中两事件的空间间隔为：1)k kx x v t'∆=∆+∆两件事在K系中发生在同一地点，因此有0kx∆=，故810()kv tx m'∆∆==4-5 惯性系'K相对另一惯性系K沿x轴作匀速运动，取两坐标原点重合的时刻作为计时起点。

在K系中测得两事件的时空坐标分别为4411610,210x m t s-=⨯=⨯以及44221210,110x m t s-=⨯=⨯，已知在'K系中测得该两事件同时发生。

试问：（1）'K系相对K系的速度是多少？（2）'K系中测得的两事件的空间间隔是多少？分析：本题所考察的是洛伦兹变换的应用问题。

根据洛伦兹变换在不同参考系下两个事件的时间变换关系，我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度。

有了相对速度以后，再根据洛伦兹变换的空间变换关系，我们可以得到两事件的空间间隔。

解：（1）设'S系相对S系的速度为v，由洛伦兹变换，'S系中测得两事件的时间为：11122222''v t t x c v t t x c ⎫=-⎪⎭⎫=-⎪⎭由题意，12''0t t -= 21212()v t t x x c∴-=-因此有2821211.510()2t t cm v cs x x -==-=-⨯-其中负号表示'S 系沿S 系的x -方向运动。

（2）由洛伦兹变换，'S 系中测得的两事件的空间位置为：1112221')')x x vt x x vt =-=-故空间间隔为：]4212121''()() 5.210()x x x x v t t m -=---=⨯4-6 （1）火箭A 和B 分别以0.80.5c c 和的速度相对于地球向x x +-和方向飞行，试求由火箭B 测得的A 的速度。

（2）若火箭A 相对地球以0.8c 的速度向y +方向运动，火箭B 的速度不变，试问A 相对B 的速度是多少？分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。

在火箭B 为静止的参考系中，先求出地面参考系相对此参考系的运动速度（此即为两个参考系之间的相对速度），然后由火箭A 相对地面的运动速度以及洛伦兹速度变换公式求出火箭A 相对火箭B 的速度。

解：（1）设火箭B 的静止系为S ，则地面参考系相对S 的运动速度为0.5u c =。

在地面参考系中，火箭A 的运动速度为'0.8v c =，由洛伦兹速度变换公式可得火箭A 相对火箭B 的运动速度为：2'0.80.5 1.30.931'/10.80.51.4v u c c v c c uv c++====++⨯（2）由于S 系相对地面参考系以1u u x =-+沿方向飞行，而在地面参考系中火箭A 的运动速度为0,0.8,0x y z v v c v ===。

则根据洛伦兹速度变换公式在S 系中火箭A 的运动速度为：1121212'0.51'0.71'01x x x y xz xv u v cu v cv c v cv v v-==-==-==-所以火箭A 相对火箭B 的速度为：'0.86v c ==4-7 静止在K 系中的观察者测得一光子沿与x 轴成60°角的方向飞行，另一观察者静止于'K 系中，'K 系相对K 系为0.6c 的速度沿x 轴方向运动，试问'K 系中的观察者测得的光子运动方向是怎样的？分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。

根据两个参考系的相对速度以及光子在K 系的速度，由洛伦速度变换可以求出光子在S 系中的运动速度。

解：已知'K 系相对K 系的速度为0.6u c =，光子速度为c ，在K 系中的运动方向为与x 轴成60°角，因此该光子在K系中的速度为0.5,/2,0x y z v c v v ===。

所以在'K 系中光子的运动速度为：2221'71'71'01x x xy xz xv u v cu v cv v cv v c-==--==-==-令该光子在'K 系中的运动方向与X 轴成θ角，则有：''y xv tg v θ==-98.2θ∴≈︒4-8 μ子的静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命80210s τ-=⨯，若它在实验室参考系中的平均寿命8710s τ-=⨯，试问其质量是电子静止质量的多少倍？ 分析：本题考察的是时间膨胀效应和相对论质量问题。

根据时间膨胀效应我们可以求出该粒子在实验室参考系中的运动速度，然后根据该速度可以求出速度下的相对论质量。

解：设μ子在实验室参考系中的速度为u 、质量为m ，依题意有：τ=将ττ0和的值代入得：027ττ==当μ子速度为u 时其质量为：077207724.522e e m m m m m ===⨯=4-9 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之多少？ 分析：本题涉及的是相对论质量和长度以收缩问题。

根据质量与静止质量之比可以求出该物体的运动速度，然后根据速度可以求出该物体在运动速度方向上的长度收缩。

解：设物体速度为u 、质量为m 、长度为L ，静止质量和长度分别为0m 和0L ，依题意有：001.111.1m m m m ==∴==因此，根据长度收缩效应有：00190.9%1.1L L L L ===所以在运动方向上缩短了：09.1%L L ∆=4-10 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电位差才能使其质量增加0.4%？此时电子速度是多少？（电子的静能为0.511MeV.）分析：此题考察的是相对论质量与速度之间的关系。

根据相对论质量公式可以很方便的求出电子的运动速度，再根据能量守恒，求出加速所需的电位差。

解：设电子速度为u 、质量为m ，静止质量为0m ，所加的电位差为U 。

依题意有：01.04m m == 所以此时电子的速度为：0.275u c =根据能量守恒，有：220m c eU m c +=42.04410(V )U ∴=⨯4-11 已知一粒子的动能等于其静止能量的n 倍，试求该粒子的速率。

分析：该题考察的是相对论的质能关系式。

根据粒子的动能和静能比可以求出该粒子总能量和静能之比，这个比值也就是该粒子的质量与静止质量之比，根据相对论质量与速度的关系式，我们可以求出该粒子的速率，从而求出该粒子的动量。

解：依题意有：0k E nE = 所以其质量与静止质量之比为：202001k E E m m cn m m cE +===+根据相对论质量与速度的关系有：m =所以该粒子的速度为：1u c n =+4-12 一静止的粒子（质量为0m ），裂变成两个粒子，速度分别为0.60.8c c 和。

求裂变过程的静质量亏损和释放出的能量。

分析：该题涉及到质量亏损的概念和动量守恒定律。

由于反应后的两个粒子的质量未知，因此我们可以根据两个粒子之间的速度关系推导出二者的质量比，又由于该两个粒子的总动能来源于该反应的静质量亏损，因此结合反应后两个粒子的质量比以及各自的速度大小，我们可以求出该反应的质量亏损，从而求出该反应所释放的能量。

解：设反应后两粒子的质量分别为1m 、2m ，则根据动量守恒定律有：120.60.8m c m c ⨯=⨯ 12/4/3m m ∴= （1）反应前后总的总能量守恒，所以有：222012m c m c m c =+ （2）将（1）式代入（2）式，得： 所以反应前后的静质量亏损为：释放出的能量为：10201001020020220120043,774 3.23 1.8/,/777722,77m m m m m m m m m m m m m m m E m c m cγγ==∴====∆=--==∆=4-13 试求静止质量为0m 的质点在恒力F 作用下的运动速度和位移。