utt a uxx
2
（8）
称式（8）为一维弦振动方程（一维波动方程）
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t ) 作用，则式(2)应该改写为
T1 sin 1 T2 sin 2 gds F ( x, t )ds dsutt
可导出
utt a uxx f ( x, t )
（2）
sin 2 2 tan 2
ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2 dx dx
注意到:
u ux tan sin 故由上图得 x
ux x tan 1 sin 1 ,
这样，(1)和(2)简化为
ux
x dx
tan 2 sin 2
差分方法 有限元 多尺度

古典解

数值解法

数值解
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
§1.1 基本方程的建立 一、弦振动方程
例1：设一长为l的均匀柔软的细弦，导出弦的微小的横振动方 程
u
T2
u ( x, t )
B
T 1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
横振动：1.在同一平面内振动 2.振向与弦向垂直
(5)
dx
x dx
可以取得很小，根据微分知识有下式成立
x
ux
因此
ux
u x dx u xx dx x
utt Tuxx g 0
(6)
utt a 2uxx g
其中 a 2 T / 讨论：
（7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(7)右端的重力 加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
u
T2
B
T1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
作用于小段 ABC 的横向合力应该为零：
T2 cos 2 T1 cos 1 0
仅考虑微小的横振动， 夹角
（1）
1 , 2 为很小的量，忽略 12 , 22
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
12 cos 1 1 2!
1, cos 2 1
T1 T2
u
T2
B
T1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
根据牛顿第二定律 F ma u 方向运动的方程可以描述为
T2 sin 2 T1 sin 1 gds (ds)utt
13 sin 1 1 1 tan 1 , 3!
微分方程

常微分方程
u ( x)
u f ( x) x偏微分方程u ( x, t ) （其中x表示位置，t表示时间） v( x, n) （其中x表示大小，n表示方向）
2u 2u 2 f ( x, t ) 2 x t
数学物理方程

数学物理方程：用数学方法研究物理现象的偏微分 方程。 经典方程
2
(9)
式中 f ( x, t ) F ( x, t ) 称为力密度

式（9）称为弦的受迫振动方程.
T2 u x x dx T1 u x x gdx utt dx T2 T1 0
（3(9.1.3) ） （4） (9.1.4)
T2 T1
，弦中张力不随
可记为 x 而变，
T T2 T1 故有
T (ux
变化量
x dx
ux x ) gdx utt dx


波动方程 热传导方程 调和方程
数学物理方程的发展

对流扩散方程 奇异摄动方程
2u u u a 2 b f ( x, t ) x x t 2u u 1 2 2 f ( x, t ) x x


弹性力学
数学物理方程的解法

分析解法

分离变量法 积分变换法 行波法