第七章 度量空间和赋范线性空间复习题：1.设(,)X d 为一度量空间，令0000(,){|,(,)},(,){|,(,)},U x x x X d x x S x x x X d x x εεεε=∈<=∈≤问0(,)U x ε的闭包是否等于0(,)S x ε？2.设[,]C a b ∞是区间[,]a b 上无限次可微函数的全体，定义()()()()1|()()|(,)m ax.21|()()|r r rr r a t br ft gt d f g ft gt ∞≤≤=-=+-∑证明[,]C a b ∞按(,)d f g 成度量空间.3.设B 是度量空间X 中闭集，证明必有一列开集12,,,,n O O O 包含B ，而且1.nn O B ∞==4.设(,)d x y 为空间X 上的距离，证明(,)(,)1(,)d x y dx y d x y =+也是X 上的距离.5.证明点列{}n f 按题2中距离收敛于[,]fC a b ∞∈的充要条件为nf 的各阶导数在[,]a b 上一致收敛于f 的各阶导数.6.设[,]B a b ⊂，证明度量空间[,]C a b 中的集{|t , (t)=0}f B f ∈当时为[,]C a b 中的闭集，而集{||()|}(A f t B f t a a=∈<>当时,为开集的充要条件是B 为闭集.7.设E 及F 是度量空间中两个集，如果(,)0d E F >，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F .8.设[,]B a b 表示[,]a b 上实有界函数全体，对[,]B a b 中任意两元素,[,]f g B a b ∈，规定距离为(,)sup |()()|.a t bd f g f t g t ≤≤=-证明[,]B a b 不是可分区间.9.设X 是可分距离空间，f 为X 的一个开覆盖，即f 是一族开集，使得对每个x X ∈，有f 中开集O ，使x O ∈，证明必可从f 中选出可数个集组成X 的一个覆盖.10.设X 为距离空间，A 为X 中子集，令()inf (,),y Af x d x y x X ∈=∈，证明()f x 是X 上连续函数.11.设X 为距离空间，1F ,2F 为X 中不相交的闭集，证明存在开集1G ,2G ，使得12G G ⋂=∅,11G F ⊃,22G F ⊃.12.设X ,Y ,Z 为三个度量空间，f 是X 到Y 中的连续映射，g 是Y 到Z中的连续映射，证明复合映射()()(())gf x g f x =是X 到Z 中的连续映射.13.设X 是度量空间,f 是X 上的实函数，证明f 是连续映射的充要条件是对每个实数c ，集合{|,()}x x X f x c ∈≤和集合{|,()}.x x X f x c ∈≥ 都是闭集.14.证明柯西点列是有界点列.15.证明§1中空间S ,()B A 以及离散空间都是完备的度量空间.16.证明l ∞与(0,1]C 的一个子空间等距同构.17.设F 是n 维欧几里得空间R n 中有界闭集,A 是F 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何,()x y F x y ∈≠，有(,)(,),d Ax Ay d x y <证明映射A 在F 中存在唯一的不动点.18.设X 为完备度量空间,A 是X 到X 中映射，记 (,)sup.(,)n nn x x d A x A x a d x x '≠'='若1nn a ∞=<∞∑，则映射A 有唯一不动点.19.设A 为从完备度量空间X 到Y 中映射，若在开球0(,)U x r (0)r >内适合(,)(,),0 1.d Ax Ax d x x θθ''<<<又A 在闭球00(,){|(,)}S x r x d x x r =≤上连续，并且00(,)(1).d x Ax r θθ≤-证明：A 在0(,)S x r 中有唯一的不动点.20.设,,1,2,,jkaj k n = 为一组实数，适合条件2,1()1ni ji j i j aδ=-<∑，其中jkδ当j k =时为1，否则为0.证明：代数方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bn+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 对任何一组固定的12,,,n b b b ，必有唯一的解12,,,.n x x x21.设[,]V a b 表示[,]a b 上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算.在[,]V a b 中定义范数|||||()|(),bax x a V x =+证明[,]V a b 是Banach 空间.22.设12,,X X 是一列Banach 空间，12{,,,,}n x x x x = 是一列元素，其中,1,2,,n n x X n ∈= 并且1||||p n n x ∞=<∞∑，这种元素列的全体记成X ，类似通常数列的加法和数乘，在X 中引入线性运算.若令11||||(||||)ppn n x x ∞==∑，证明：当1p ≥时，X 是Banach 空间.23.设X 是线性赋范空间，X X⨯为两个X 的笛卡尔乘积空间，对每个(,)x y X X ∈⨯，定义||(,)||x y =则XX⨯成为赋范线性空间.证明XX⨯到X 的映射：(,)x y x y →+是连续映射.24.设Λ是实（复）数域，X 为赋范线性空间，对每个(,)x X α∈Λ⨯，定义||(,)||x α=(,)x x αα→为X Λ⨯到X 中的连续映射.25.设C 为一切收敛数列所组成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同.在C 中令||||sup ||,{}i n ix x x x C ==∈，证明C 是可分的Banach空间.第八章 有界线性算子和连续线性泛函复习题1.举例说明有界线性算子的值域不一定是闭线性子空间.2.求[1,1]C -上线性泛函0110()()()f x x t dt x t dt -=-⎰⎰的范数.3.设无穷阵(),1,2,,i jai j = 满足1s u p||.ij ij a ∞=<∞∑作l ∞到l ∞中算子如下：若1212(,,),(,,),,x y Tx y ηη=== ξξ则1,1,2,.i ijjj i ηα∞===∑ ξ证明1||||sup ||.ij ij Ta ∞==∑4.设1sup ||n n α≥<∞,在(1)p l p ≥中定义线性算子：,,1,2,,ii iy Tx i ηα=== ξ其中1212(,),(,,,,),n n x y ηηη== ξ,ξ,,ξ证明T 是有界线性算子，并且1||||sup ||.n n T α≥=5.设X 是n 维向量空间，在X 中取一组基12{,,,},()n e ee t μν 是n n ⨯矩阵，作X 到X 中算子如下：当1nx x e ννν==∑时，1ny T x ye μμμ===∑，其中1,1,2,,.ny tx n μμνννμ===∑ 若规定向量的范数为1221||||(||)nx x νν==∑，证明上述算子的范数满足112222111m ax (||)||||(||)nnnt T t μνμννμμν===≤≤∑∑∑.6.设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子，若T 的零空间是闭集，T 是否一定有界？7.作(1)pl p <<+∞中算子T如下：当12(,,)px x x l=∈ 时，12(,,,,),n Tx y y y = 其中/111,1,2,3,,(||),qp qn nmm nm m n m y tx n t ∞∞∞=====<∞∑∑∑111pq+=，证明：T 是有界线性算子.8.R n 按范数12||||max|j n jx x = ξ|,=(ξ,ξ,,ξ)成赋范线性空间，问此赋范线性空间的共轭空间是什么？9.设0C 表示极限为0的实数列全体，按通常的加法和数乘，以及12||||sup |i n ix x = ξ|,=(ξ,ξ,,ξ,)构成Banach 空间，证明：1()Cl'=.第九章 内积空间和希尔伯特空间复习题：1.设{}n x 是内积空间X 中点列，若||||||||()nx x n →→∞，且对一切y X∈有,,()n x y x y n →→∞，证明().n x x n →→∞2.设12,,n X X X 是一列内积空间，令21{{}|,||||},n n n n n X x x X x ∞==∈<∞∑当{},{}n n x y X∈时，规定{}{}{},n n n n x y x y αβαβ+=+其中,αβ是数，1{},{},n n n n n x y x y ∞==∑证明：X是内积空间，又当n X 都是Hilbert 空间时，证明X 也是Hilbert 空间.3.设X 是n 维线性空间，12{,,,}n e e e 是X 的一组基，证明,x y成为X 上内积的充要条件是存在n n ⨯正定方阵()a μνA =，使得11,1,.nnnx e y e a x y ννννμνμνννμν====∑∑∑4.设X 是实内积空间，若222||||||||||||,x y x y +=+则x y⊥，当X 是复内积空间时，这个结论是否仍然成立？5.证明：内积空间X 中两个向量,x y 垂直的充要条件是：对一切数a ，成立||||||||.x ay x +≥6.设X 是Hilbert 空间，MX⊂,并且M≠∅,证明()M ⊥⊥是X 中包含M的最小闭子空间.7.设{}n e 是2[,]L a b 中的规范正交系，说明两元函数列()()n m e x e y(,1,2,3,)n m = 是2([,][,])L a b a b ⨯中的规范正交系，若{}n e 完全，则两元函数列()()n m e x e y (,1,2,3,)n m = 也是完全的.8.设12,,ne e e 为内积空间X中规范正交系，证明：X到span 12{,,,}n e e e 的投影算子P 为1,,nPx x e e x Xννν==∈∑.9.设X 为可分Hilbert 空间，证明X 中任何规范正交系至多为可数集.10.设X 是内积空间，X *是它的共轭空间，z f 表示X 上线性泛函(),,z f x x z =若X到X *的映射F ：zz f →是一一到上的映射，则X 是Hilbert 空间.11.设X 和Y 为Hilbert 空间，A 是X 到Y 中的有界线性算子，()N A 和()R A 分别表示算子A 的零空间和值域，证明()(),()()()(),()()N A R A N A R A R A N A R A N A *⊥*⊥*⊥*⊥====12.设T 是Hilbert 空间X 中有界线性算子，||||1T ≤,证明： {|}{|}.x Tx x x T x x *===13.设H 是Hilbert 空间，M 是H 的闭子空间，0x H ∈，证明：00min{|||||}max{|,||,||||1}.x x x M x y y M y ⊥-∈=∈=14.设H 是复Hilbert 空间，M 为H 的闭子空间，则M 为H 上某个非零连续线性泛函的零空间的充要条件是M ⊥是一维子空间.15.设T 为Hilbert 空间X 上正常算子，T A iB=+为T 的笛卡尔分解，证明：（1）222||||||||,TA B =+（2）22||||||||T T =.16.证明：A 是实内积空间X 上自伴算子时，0A =的充要条件为对所有x X ∈，成立,0Ax x =.17.设U 是Hilbert 空间2[0,2]L π中如下定义的算子：2()()(),[0,2],itU f t e f t f L π=∈证明U 是酉算子.18.设Ω是平面上有界L 可集测，2()L Ω表示Ω上关于平面L 测度平方可积函数全体，对每个2()f L ∈Ω，定义()()(),,Tf z zf z z =∈Ω证明T是正常算子.第十章 巴拿赫空间中的基本定理复习题：1.设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中k 个线性无关向量，12,,,kααα 是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,,v f x k ναν== （2）||||f M≤的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,,k t t t11||||||kkt M t x ννννννα==≤∑∑ 都成立.2.设X是赋范线性空间，Z 是X的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在f X '∈，满足条件：（1）当x Z ∈时，()0f x =； （2）00()(,)f x d x Z =； （3）||||1f =.3.证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的.4.证明Banach 空间X 自反的充要条件是X '自反.5.设01,,,,n ααα 是一列数，证明存在[,]a b 上有界变差函数()g t ，使(),0,1,2,bnn a tdg t n α==⎰ 成立的充要条件为对一切多项式0(),np t c tννν==∑成立着0||m ax |()|.na t bc M p t νννα≤≤=≤⋅∑其中M为常数.6.设T 为(1)p l p ≥中单向移位算子，即若12(,)pnx l =∈ ξ,ξ,,ξ，则12{0,,}n Tx y == ξ,ξ,,ξ，求T ⨯.7.举例说明一致有界性定理中空间X 完备的条件不能去掉. 8.证明：在完备度量空间X 中存在闭球套定理，即若 {|(,)},1,2,,S x d x x νννεν=≤=且12,0()n S S S νεν⊃⊃⊃⊃→→∞ ，则存在唯一的1x S νν∞=∈ ；反之，若在度量空间X 中存在闭球套定理，则X 是完备度量空间.9.设12{,,,,}n y ηηη= 是一列复数，若对任何120{,},n x C =∈ ξ,ξ,,ξ级数1j j j η∞=∑ξ都收敛，证明：1y l ∈，其中0C 的定义见第八章题9.10.设()f t 是[,]a b 上的L 可测函数，1p ≥，若对一切[,]p g L a b ∈，函数()()f t g t 都在[,]a b 上L可积，则[,]qf L a b ∈，其中11 1.pq+=11.证明：设X 是Banach 空间，()p x 是X 上泛函，满足条件： （1）()0p x ≥； （2）0α≥时，()()p x p x αα=；（3）1212()()()p x x p x p x +≤+; （4）当,nx X x x∈→时，lim()()n n p x p x →∞≥.证明必有0M >，使对一切x X∈，成立()||||p x M x ≤.12.设()(1,2,)n T B XY n ∈→= ，其中X 是Banach 空间，Y 是赋范线性空间，若对每个,{}n x X T x ∈都收敛，令lim n x Tx T x →∞=，证明T 是X 到Y 中有界线性算子，并且||||lim ||||n n TT →∞≤.13.设X 是可分Banach 空间，M 是X '中有界集，证明M 中每个点列含有一个弱＊收敛子列.14.证明：空间[,]C a b 中点列{}n x 弱收敛于0x 的充要条件是存在常数M，使得||||,1,2,,n x M n ≤= 并且对任何[,]t a b ∈，成立0lim ()()n n x t x t →∞=. 15.设X 是赋范线性空间，M 为X 的闭子空间，若M 中点列{}n x ，当n →∞时弱收敛于0x ，那么必有0x M ∈. 16.证明：(1)p l p >中点列()2{,},1,2,,n n x n == (n )1ξ,ξ弱收敛于12{,}px l=∈ ξ,ξ的充要条件为sup ||||nx <∞,且对每个k ,()lim n k kn →∞=ξξ.17.设X 是线性空间，1||||x 和2||||x 是X 上两个范数，若X 按1||||x 及2||||x 都完备，并且由点列{}n x 按1||||x 收敛于0，必有按2||||x 也收敛于0，证明存在正数a 和b ，使121||||||||||||a x x b x ≤≤. 18.设T 是Banach 空间X到赋范线性空间F 中的线性算子，令{|||||||||},1,2,,n M x Tx n x n =≤= 证明：总有0n M在X 中稠密.19.用闭图像定理证明逆算子定理.20.设A 及B 是定义在Hilbert 空间X上的两个线性算子，满足,,Ax y x By=，其中,x y 为X 中任意向量，证明A 是有界算子.21.设T 为定义在复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若存在常数00α>，使0,,Tx x x xα≥，则称T 为正定的.证明：正定算子必有有界逆算子1T -，并且101||||T α-≤.第十一章 线性算子的谱复习题： 1.设[0,1],()()(),X C Ax t tx t x X==∈.证明()[0,1]A σ=,且其中没有特征值.2.设[0,2],()()(),itX C Ax t e x t x Xπ==∈.证明(){|||1}A σλλ==.3.设21223,(,,,)(,,,)n n Xl Ax A x x x x x x === ，试求()A σ.4.设F 是平面上无限有界闭集，{}n a 是F 的一稠密子集，在2l 中定义算子T：1211(,,,,)(,,,)n n n Tx T x x x x x αα== ,则nα都是特征值,()T F σ=,\{}n Fa 中每个点是T的连续谱.5.设λ为线性算子n A 的特征值，则λ的n 次根中至少有一个是算子A 的特征值.6.设A 为Banach 空间X 上的有界线性算子,0()A λρ∈, 又设{}n A 为X 上一列有界线性算子,且lim||||0n x A A →∞-=,证明当n 充分大后,n A 也以0λ为正则点.7.设A 是Banach 空间X 上的有界线性算子，当||||||A λ>时，111(),||||||||||nn n AR A I R A λλλλλ∞-+==-=≤-∑.8.设A 为X 上的有界线性算子，,()A λμρ∈，则()R R R R λμλμμλ-=-.其中R λ与R μ的意义同第七题.9.设A 为Hilbert 空间H 上的有界线性算子，A *为A 的共轭算子，证明(){|()}()AA A σλλσσ*=∈=.10.设1T 是1X 到2X 的全连续算子，2T 是2X 到3X 的有界线性算子，则21T T 是1X 到3X 的全连续算子.11.设A 是2l 上线性算子，记1(0,0,,0,1,0,)nn e -=个，1e =k jk j j A a e ∞=∑，其中2ij , 1|a |<i j ∞=∞∑，证明A 是全连续的.12.n e 的符号同第十一题.作2l 上算子U . +11=,=1,2,kk U e e k k证明U是2l 上全连续算子且(U)={0}σ.13.设1+0(A )(s)=(t)dt s t e ϕϕ⎰.求A 的特征值和特征函数. （提示：记10=(t)t c e dt ϕ⎰） 14.如果积分算子的核为k 1(s,t)=(s)q (t)nk k K p =∑，其中k {p }为线性无关的函数组，则其非零特征值λ相应的特征向量e 有形式1=nk k k e c p =∑，k c 是常数. 若记j =(x)p (x)dx bij i a q q ⎰，则k c 可由下式决定：1=,=1,2,,nk ik i i c q c k n λ=∑ .15.在14题中，若()(),,0,()i i i jp x q x p q i j ≡=≠.试求特征值和特征函数.16.若(,)cos(),0,,K s t s t s t π=+≤≤求积分算子K 的特征值和特征函数.17.解方程0()2cos()()1x x s s ds πϕϕ=++⎰. 18.解方程2()3()32x xs s ds x ϕϕ=+-⎰.。