T0
2C3 C1R
P PR
Q0 RT0
2C3R C1
P PR
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最佳生产时间
tPRPT0
2C3R C1
1 P(PR)
最小平均总费用
C(T) 2C1C3R
PR P
瞬时进货，不许缺货
T0
2C 3 C 1R

Q i 0 S Y i Y Y ii s so & rii T T ,,2 2 T T ,,......,,n n T T(n T T 0)
Y S
s
0
T
…
t T0
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5.目标函数—库存费用—最小化
①订货费：企业向外采购物资的费用。如手续费，交通费，
Q |tT0 Q 0R T
斜率＝对边／邻边
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求最佳定购量Q0：
平均费用： C (T ) C T 3 K T Q 0 1 2 C 1 R T C T 3 K R 1 2 C 1 R T
令：
dC dT (T)T C 3 201 2C 1R0 T0
需求是随机连续的
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6.2 确定需求下的库存管理模型
6.2.1. 瞬时进货，不许缺货模型(经济批量模型)
1.模型假设：目的是使模型简单易懂，便于计算 （1）需求是连续均匀的，需求速度是常数R，即：ddQt R （2）当库存量下降为0时，可立即补充，不会造成缺货。 （3）每次订货费C 3 ，单位货物库存费为C 1 ，均为常数。 （4）每次定购量相同，均为 Q 0 。 （5）缺货费无穷大。
t
12
如果选订货批量Q作为变量，D是年需求量， 可得：
Q0
2C3D C1
R Q

D RT

C (Q )

1 2
C1Q
C3

D Q
T

Q R
C (Q0 ) min C (Q ) 2C1C3 D
T0

Q0 D

2C3 C1D
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例6-3 某批发站每月需某种产品100件，每次订购费为5元，若 每次货物到达后存入仓库，每件每月要付出0.4元库存费。假设 允许缺货，缺货费每件0.15元，求最佳初始库存S0和最小平均 总费用C0(T0,S0)。
解：依题意 R 1 0 0 ,C 1 0 .4 C 2 0 .1 5 C 3 5
xi S 0Y iifiif iT ,T 2T ,2 ,T ...,,..n .,T nT(nTT 0)Y来自SQQ
Q
3
1
2
…
0
T
t
T0
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4. (T,s,S)策略：每隔时间T进行盘点，当库存量小于 保险库存量s时，将当前库存量补充到S。时间到，不 保险，无论补充多少，立即恢复到S。
补充量：
Y
QifiT,2T,...,nT
Q
Q i 0ifiT,2T,...,nT(nTT0)
0
T
…
t T0
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3. (T,S)策略：每隔时间T进行盘点，并将当前库存补 充到S。每次补充量Qi与库存量Yi的关系是：Qi S Yi . 时间一到，无论补充多少，立即恢复到S。

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讨论：
（1）也可以用下面的公式计算：
Q0
2C3R C1
T0
2C 3 C1R
注意：时间单位是年（365天）
（2）如果全年材料消费量为原来的4倍，D1＝4D，那么
Q0
2C3D C1
T0
2C 3 C 1D
订货量将增加一倍
订货周期缩短一半
Email: School of Management, Xi’an Jiaotong University
第六章 库存管理模型
西安交通大学管理学院
李鹏翔
2019年6月25日
6 库存管理模型
6.1 基本库存问题
要适应生产和消费 方面的动态需求
1订货 2生产
补充
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最佳安装周期：
T0
Q0 R
71(天)
因此，该电视机厂每批扬声器的生产量为7143个，只须一 天半时间，每隔71天装配一批电视机。
2.瞬时进货，允许缺货模型
（1）模型假设：设单位缺货的损失费为 C 2 元，其余假设 与瞬时进货，不许缺货的模型相同。缺货时库存量为零， 缺货损失可以定量计算。
2 C 1C 3 R
PR P
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例6-2 某电视机厂自行生产扬声器用来装配本厂生产的电视
机，该厂每天生产100台电视机，而扬声器生产车间每天可 以生产5000个扬声器。已知该厂每批电视机装配的生产准备 费为5000元，而每个扬声器在一天内的库存费为0.02元。试 确定该厂扬声器的最佳生产批量，生产时间和电视机的安装 周期。
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目标函数
通常取目标函数为平均费用函数或平均利润函数，选择的策 略应使平均费用或平均利润达到最小。
确定性 库存模型
瞬时进货，不许缺货模型 其他确定性库存模型
库存模型
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随机性 库存模型
需求是随机离散的
单时期库存模型 需求是随机连续的
需求是随机离散的 多时期库存模型
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周期T内的最大缺货量：RT S
周期T内的平均缺货量：
1(Rt 2
S)(T
t1)
平均库存量：
12St1
1S 2
S 1 R2
S2 R
平均缺货量： 1 2(RTS)(Tt1)1 2(RTR S)2
平均总费用： C (T ,S ) T 1 [1 2 S R 2C 1 1 2 (R T R S )2C 2 C 3 ]
提前时间—前推 滞后时间—后推
库存
输入使库 存增加
要节约库存 投资，降低 库存成本
优化问题
输出使库 存减少
需求
间断需求 连续需求 确定型需求 随机型需求
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1. 库存策略：决定什么时候对库存系统进行补充， 补充多少库存量
2. T循环策略：每隔时间T补充一个批量Q,瞬时完成， 不考虑补充时间；需求速度（需求对时间的变化率） 固定不变。库存为零，立即恢复到Q。
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6.2.2 EOQ模型的各种变形
1.逐渐补充库存，不允许缺货模型
Q
补充库存期间，
生产率为P，需
求速度为R,故斜
率是P-R
Q0
dQ P R dt
0 tp
T
dQ R dt
tp
tp
T
T
（1）模型假设：库存 的补充是在时间tp内 逐渐完成的，其他假 设不变。其间以生产 速率P生产补充库存， 又以需求率R消耗库
2C 3 C 1R
(因为T>0)
经济订购批量：
Q0 RT0
R
2C3 C1R
2C3R C1
因为KR在该模型中是常数，与Q0和T无关。忽略此项费 用并不影响模型求解，故T时段的平均费用可简化为：
C(T)

C3 T
12C1RT
When
T0

2C3 , C1R
C(T0) C3
C1R 2C3
12C1R
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例6-1 某厂对某种材料的全年需要量为1040吨，其单价为
1200元／吨，每次采购该种材料的订货费为2040元，每年保 管费为170元／吨。试求工厂对该材料的最优订货批量，每 年订货次数及全年的费用。
解：已知D＝1040，C1＝170，C3＝2040
由公式得：最优订货批量
外出采购的固定费用；又如货物的成本费用和运输费用等。
②生产费：企业自行生产库存物品的费用。如设备费用和
生产消耗性费用。
③库存费：仓库的保管费，流动资金占用的利息以及货物
损坏变质等损失费用。随库存量的增加而增加。
④缺货费：当库存量满足不了需求时引起的有关损失，如
停工待料，为完成合同而承担的赔款等。在不允许缺货的条 件下，可以认为缺货费是无穷大。
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库存状态变化图：
Q
Q
0
dQ R dt
0
T
…
t
2.建立库存模型
总费用＝定购费＋购买货物的费用＋库存费用
分摊到时间T内的平均费用＝定购费分摊＋购物费分摊 ＋库存费用分摊
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T时间段内总的平均费用：
①定购费分摊: C 3
C1 C2 C2
最小平均总费用C0 minC(T,S) C(T0,S0) 2C1C3R
C2 C1 C2
最大缺货量： SQ0S0
2C1C3R C2(C1C2)
在允许缺货的条件下，最佳订货周期延长，最佳初始 库存减少，但最佳生产批量扩大，最小平均总费用减小。