x2
y
2
,
即
F
(
x,
y)
=
⎪ ⎨
x
2
,
⎪ ⎪
y
2
,
⎪⎩1 ,
x < 0或y < 0 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1 0 ≤ x < 1, y ≥ 1 x ≥ 1, 0 ≤ y < 1 x > 1, y > 1
5
2. 设二维随机变量（ X ,Y ）的概率密度为
f
(x,
y)
=
⎧cx2 y ⎨
= 1− 2e−1 + e−2 ≈ 0.3996
（2） FX (x) = F (x, +∞) = 1− e−0.01x
(x > 0)
所以 P(0 < x ≤ 100) = FX (100) − FX (0) = (1− e−1) − (1− e0 ) = 1− e−1 ≈ 0.6321
2. 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数为
合分布函数.
∫ ∫ 解（1） P(0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1) =
0.5 0
1
0.25 4xyd y dx
=
15 64
（2） P( X = Y ) = 0
∫∫ ∫ ∫1 1
(3) P( X < Y ) = f (x, y)dxdy = 0 x 4xydydx = 0.5
D
∫ ∫ ∫ ∫ （4） 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1 时， F(x, y）=
3
3
即 X 与Y不独立
4. 甲乙两人独立地各进行两次射击，已知甲的命中率为 0.2，乙的命中率为 0.5，以 X 和
3
Y 分别表示甲和乙的命中次数，求 ( X ,Y ) 的联合分布律.
解 由于 X ∼ B(2, 0.2),Y ∼ B(2, 0.5)
所以 P( X = i) = C2i 0.2i × 0.82−i ， i =0,1,2 P(Y = j) = C2j 0.5 j × 0.52− j , j =0,1,2
解 （1） P(0 < X ≤ 100,0 < Y ≤ 100) = F (100,100) − F (0,100) − F (100, 0) + F (0, 0)
= (1− e−1 − e−1 + e−2 ) − (−e−1 + e−1) − (1− e−1 −1+ e−1) + (1−1−1+1)
+
π 4
π )(
2
+
π 4
)
=
9 16
习题 3-2
1. 一口袋中有三个球，其中两个红球，一个白球，取两次，每次取一个，考虑两种情况：
（1）放回抽样；（2）不放回抽样. 我们定义随机变量 X ,Y 如下：
1
X
=
⎧1, 若第一次取出的是红球 ⎩⎨0 ，若第一次取出的是白球
Y
=
⎧1, 若第二次取出的是红球 ⎩⎨0 ，若第二次取出的是白球
22
2
2
解 P( X ≤ 1 ,Y ≤ 1 ) = P( X = 0,Y = 0) = 0.56 22
P( X ≥ 1) = P( X = 1）= P( X = 1,Y = 0) + P( X = 1,Y = 1) = 0.14 + 0.06 = 0.2
P( X < 1) = P( X = 0) = P( X = 0,Y = 0) + P( X = 0,Y = 1) = 0.56 + 0.24 = 0.8 2
⎪⎩ 0,
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 ， 其它
（1）求关于 X 和关于 Y 的边缘密度函数，并判断 X 和 Y 是否相互独立？
（2）求 P( X + Y ≥ 1) .
∫ ∫ 解 （1） fX (x) =
+∞
f
(x,
y)dy
=
⎧⎪ ⎨
2 (x2
0
+1 3
xy)dy
−∞
⎪⎩0，
，0 ≤ x ≤ 1 其他
x −∞
y
−∞ f (x, y)d ydx =
x 0
y
0 4xyd ydx
=
x2 y2
∫ ∫ ∫ ∫ 0 ≤ x < 1, y ≥ 1时， F(x, y) =
x −∞
y
−∞ f (x, y)d ydx =
x 0
1
0 4xyd ydx
=
x2
∫ ∫ ∫ ∫ x ≥ 1, 0 ≤ y < 1时， F(x, y) =
试分别就（1）、（2）两种情况，写出 ( X ,Y ) 的联合分布律.
解（1）放回抽样
P( X = 1,Y = 1) = 2× 2 = 4 3×3 9
P( X = 0,Y = 1) = 1× 2 = 2 3×3 9
( X ,Y ) 的联合分布律为
P( X = 1,Y = 0) = 2 ×1 = 2 3×3 9
( X ,Y ) 的联合分布律为
1
0
1
X
Y
3
0
1
0
0
6
−1
11
0
3 12
2
50
0
12
（2）
p 1⋅
=
1 6
+
0
+
0
=
1 6
p 2⋅
=
0
+
1 3
+
1 12
=
5 12
p ⋅1
=
1 6
+
0
+
5 12
=
7 12
p ⋅2
=
0+
1 3
+0
=
1 3
X和Y 的边缘分布律分别为
X
0
-1
p i⋅
1
5
6
12
p 3⋅
=
5 12
于是 a = (1 + a)(a + b) 3
可解得 a = 1 ， b = 1
3
6
又1+a+b+ 1 =1
3
6
习题 3-3
1. 设二维随机变量（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱX ,Y ）的联合概率密度为
f
( x,
y)
=
⎧4xy, ⎨⎩0,
0< x< 其他
1, 0
<
y
<1
试求：
（1） P(0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1) ；（2） P( X = Y ) ; （3） P( X < Y ) ;（4） ( X ,Y ) 的联
3
6
3
6
因为 {X = 0}与{X + Y = 2}独立，所以
P( X = 0, X + Y = 2) = P( X = 0)P( X + Y = 2) +P( X = 0,Y = 2) + P( X = 2,Y = 0)]
4
= P( X = 0)[= (1 + a)(a + b) 3
又 P( X = 0, X + Y = 2) = P( X = 2,Y = 2) = a
=
1 3
( X ,Y ) 的联合分布律为
Y
0
1
X
0
1
0
3
1
1
1
3
3
P( X = 1,Y = 0) = C21 × C11 = 2 ×1 = 1 C31 × C21 3× 2 3
P( X = 0,Y = 0) = 0
2.设 ( X ,Y ) 的联合分布律为
Y
0
1
X
0
0.56
0.24
1
0.14
0.06
求 P( X ≤ 1 ,Y ≤ 1) ， P ( X ≥ 1) ， P( X < 1 ) .
F (x, y) = A(B + arctan x )(π + arctan y ) ,
22
3
− ∞ < x, y < +∞
求（1）求常数 A, B, C ；（2） P( X ≤ 2,Y ≤ 3) .
解（1）由 F (x, y) 的性质： F (+∞, +∞) = 1 ； F (−∞, +∞) = 0
e
−
y
/
2
,
y>0
⎪⎩ 0, y ≤ 0
（1）求 X 和 Y 的联合概率密度；
（2）设含有 a 的二次方程为 a 2 + 2 Xa + Y = 0 ，试求方程有实根的概率.
又 X 和Y 是独立的，所以(X,Y)的联合分布律为
P( X = i,Y = j) = C2i 0.2i × 0.82−i ⋅ C2j 0.5 j × 0.52− j ， i, j =0,1,2
也可写成如下表格形式:
X
Y0
1
2
0
0.16 0.32 0.16
1
0.08 0.16 0.08
2
0.01 0.02 0.01
P( X = 0,Y = 0) = 1×1 = 1 3×3 9
Y
0
1
X
0
1
2
9
9
1
2
4
9
9
（2）不放回抽样
P( X = 1,Y = 1) = C21 × C11 = 2 ×1 = 1 C31 × C21 3× 2 3