第十讲：行程问题（下）²课前自测【自测题1】（安徽2011-5）甲、乙两人同地同向直线行走，其速度分别为7千米/时、5千米/时。

乙先走两小时后甲才开始走，则甲追上乙需（）。

A. 4小时B. 5小时C. 6小时D. 7小时【自测题2】（河北事业单位2011-10）一条单线铁路全长500千米，每隔25千米有一个车站，甲、乙两列火车同时从两端出发，甲车每小时行135千米，乙车每小时行驶65千米，为保证快车正点运行，慢车应给快车让路，为使等候的时间尽量短，乙车应在出发后第（）个车站等候甲车通过。

A. 5B. 6C. 7D. 10l 知识点比例原则：1. 时间相同，则路程与速度成正比；2. 速度相同，则路程与时间成正比；3. 路程相同，则时间与速度成反比。

相遇追及、流水行程问题核心公式：合成速度=速度1±速度2双人环形运动：第N次迎面相遇时，路程和为N个全程（反向运动）第N次背面追上时，路程差为N个全程（同向运动）双人往返运动：第N次迎面相遇时，路程和为2N-1（奇数列）个全程第N次追上相遇时，路程差为2N-1（奇数列）个全程l 例题精讲【例1】（浙江2011-52）A大学的小李和B大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于A、B两校之间。

现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。

问A、B两校相距多少米？（） A. 1140米 B. 980米 C. 840米 D. 760米【例2】（上海2012A-60）一艘船从A地行驶到B地需要5天，而该船从B地行驶到A地则需要7天。

假设船速、水流速度不变，并具备漂流条件，那么船从A地漂流到B 地需要（）天。

A. 40 B. 35 C. 12 D. 2【例3】（河北事业单位2011-21）自动扶梯以匀速自下向上行驶，甲每秒钟向上走1级梯，乙每秒钟向上走2级梯，结果甲30秒到达梯顶，乙20秒到达梯顶，该扶梯共有（）级。

A. 40B. 60C. 80D. 100【例4】（深圳市2011-8）英雄骑马射箭，路遇猛虎，相距50米，适逢箭矢已尽，遂驱汗血宝马逐之，意欲生擒。

今知宝马步幅较猛虎为大，宝马2步值猛虎3步，然猛虎动作较宝马迅捷，宝马奔跑3步之时猛虎已经狂奔4步，则英雄追上猛虎之时，汗血宝马跑了（）米。

A. 320B. 360C. 420D. 450【例5】（江苏2011B类-90）甲乙两人从运动场同一起点同时同向出发，甲跑的速度为200米/分钟，乙步行，当甲第5次超越乙时，乙正好走完第三圈，再过1分钟时，甲在乙前方多少米？（）A. 105B. 115C. 120D. 125【例6】甲每小时速度35千米从A地去B地，乙的速度是每小时15千米从B地去A 地，两人相向而行，第三次和第四次相遇两人的距离是100千米，问A、B两地距离是多少？A. 50B. 100C. 150D. 250【例7】（深圳市2011-7）甲乙两人从P，Q两地同时出发相向匀速而行，5小时后于M点相遇。

若其他条件不变，甲每小时多行4千米，乙速度不变，则相遇地点距M点6千米；若甲速度不变，乙每小时多行4千米，则相遇地点距M点12千米，则甲乙两人最初的速度之比为（）。

A. 2∶1B. 2∶3C. 5∶8D. 4∶3l 本讲答案：BB DBBDD DA第十一讲：几何问题²课前自测【自测题1】（江苏2011C类-34，江苏2011B类-91）过长方体一侧面的两条对角线交点，与下底面四个顶点连得一四棱锥，则四棱锥与长方体的体积比为多少？（）A. 1∶8B. 1∶6C. 1∶4D. 1∶3【自测题2】（浙江2011-54）已知一个长方体的长、宽、高分别为10分米、8分米和6分米，先从它上面切下一个最大的正方体，然后再从剩下的部分上切下一个最大的正方体。

问切除这两个正方体后，最后剩下部分的体积是多少？（）A. 212立方分米B. 200立方分米C. 194立方分米 D. 186立方分米l 知识点n 几何问题一般涉及到几何图形的边长、周长、面积、表面积、体积等相关变量，我们首先需要掌握最基础的几何公式，定位相应公式进行计算； n 对于不能直接利用公式的题目，我们往往通过“割”、“补”或者“平移”变成规则图形，然后利用公式进行计算；n 几何问题有很多重要的特性，很多题目可以利用这些几何特性来解答。

l 例题精讲【例1】（江苏2010A-26）一个正方体与其内切球体的表面积的比值是（）。

A. 1/πB. 3/πC. 6/πD. 2/π【例2】（国家2012-80）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体（如下图所示）。

己知正方体的边长为6厘米，问正八面体的体积为多少立方厘米？（A. 182 √2B. 242C. 36D. 72【例3】（北京社招2010-80）某单位计划在一间长15米、宽8米的会议室中间铺一块地毯，地毯的面积占会议室面积的一半。

若四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的宽度为多少？（）A. 3米B. 4米C. 5米D. 6米【例4】（2010年425联考-91）一个正三角形和一个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三角形的（）倍。

A√.2 B.1.5 C. √3 D. 2【例5】如右图所示：三个半径为5cm的圆，每个圆都过另外两个圆的圆心。

请问阴影部分的面积之和为多少平方厘米？A. 29.25B. 33.25C. 39.25D. 35.35【例6】（湖北2009-100）在右图中，大圆的半径为8，求阴影部分的面积是多少？A. 120B. 128C. 136D. 144一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则：1. 所有对应角度不发生改变2. 所有对应长度变为原来的m倍3. 所有对应面积变为原来的m2倍4. 所有对应体积变为原来的m3倍【例7】（深圳教育2010A-56）等边三角形的每条边增加1/3倍，则它的面积增加了（）倍。

A.1/9B.1/3C.7/9D.4/3【例8】（山西政法2009-97）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1，E为棱CC1的中点，如果将正方体的棱长扩大到3倍，则四面体E—A1BD的体积扩大为原来的多少倍？（）A. 3B. 9C. 18D. 27本讲答案：BB CCCBC BCD第十二讲：年龄问题²课前自测【自测题1】（河北招警2010-33）甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。

问多少年前，甲、乙的年龄之和是丙、丁年龄之和的2倍？（）A. 4B. 6C. 8D. 12【自测题2】（云南村官2009-20）前年，父亲年龄是儿子年龄的4倍；后年，父亲年龄是儿子年龄的3倍。

父亲今年（）岁。

A. 32B. 34C. 36D. 38l 知识点一般来说，年龄问题通过方程法解答最为有效，而“年龄差不变”是题型的核心所在。

例题精讲【例1】（2011年424联考-41）刘女士今年48岁，她说：“我有两个女儿，当妹妹长到姐姐现在的年龄时，姐妹俩的年龄之和比我到那时的年龄还大2岁。

”问姐姐今年多少岁?（）A. 23B. 24C. 25D. 不确定【例2】（北京2011-85）一个三口之家的年龄之和为99，其中，母亲年龄比父亲年龄的3/4大7岁，儿子年龄比母亲年龄的1/5大7岁。

问多少年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍？（）A. 12B. 14C. 15D. 10【例3】（河北2009-118）在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁。

家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子。

父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁。

四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁，现在儿子多少岁？（）A. 3B. 4C. 5D. 6【例4】（内蒙古2009-10）哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在年龄的和是30岁。

问哥哥现在多少岁？A.15B. 16C. 18D. 19【例5】（北京应届2007-16）爸爸、哥哥、妹妹3个人，现在年龄和为64岁。

当爸爸是哥哥年龄3倍时，妹妹是9岁，当哥哥是妹妹年龄2倍时，爸爸34岁。

现在爸爸的年龄是（）岁。

A. 34B. 39C. 40D. 42【例6】（北京应届2008-15）甲、乙两人年龄不等，已知当甲像乙这么大时，乙8岁；当乙像甲这么大时，甲29岁。

问今年甲的年龄为几岁（）A. 22B. 34C. 36D. 43l 本讲答案：BB CBACC A第十三讲：容斥原理（上）²课前自测【自测题1】（上海2012A-61）某班有50位同学参加期末考试，结果英文不及格的有15人，数学不及格的有19人，英文和数学都及格的有21人。

那么英文和数学都不及格的有______人。

A. 4B. 5C. 13D. 17【自测题2】（重庆法检2011-66）某专业有学生50人，现开设有A、B、C三门选修课。

有40人选修A课程，36人选修B课程，30人选修C课程，兼选A、B两门课程的有28人，兼选A、C两门课程的有26人，兼选B、C两门课程的有24人，A、B、C三门课程均选的有20人，那么，三门课程均未选的有（）人。

A. 1B. 2C. 3D. 4l 知识点n 公式法：适用于“条件与提问”都可以直接代入公式的题型；n 图示法：“条件或者提问”不能完全使用公式代入时，利用文氏图求解。

l 例题精讲核心提示两集合容斥原理公式：的个数+ 的个数－的个数＝－的个数【例1】（河南事业2010-53）某小学某班学生总数为52人。

在一次考试中有46人语文及格，有44人数学及格。

若这次考试中，语文和数学都不及格的有4人，那么这次考试语文和数学都及格的人数是：A. 22 b28 C. 38 d42【例2】（河北2011-49）某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之，没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人A. 13 b10 c8 d 5【例3】（黑龙江2010-50，广东2008）某单位派60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。

其中有12人穿白色上衣蓝裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？（A. 12 B. 14 C. 15 D. 29A. 15B. 16C. 17D. 18【例5】（北京社招2009-24）对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？A. 4B. 6C. 7D. 9核心要点当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。