11.4无理数与实数教学目标：1.知识与技能：（1）了解无理数的概念和它的本质特征----无限不循环；（2）会用整数估计无理数的大小；（3）知道无理数可以用数轴上的点表示.2.过程与方法：（1）学生亲身经历无理数的发现过程，体会无理数引入的必要性,在一系列的探究活动中，让学生体验数系扩展的过程，提高学生的数学素养，形成科学的思维方式；（2）培养学生的数感和估算能力.3.情感与态度：（1）创造一个让学生自主探索与合作交流进行学习的氛围，让学生体验探索、交流、合作的乐趣；（2）在学生的讨论和问题解决的探索中，通过对学生学习方法的指导，提高学生的探究能力与合作精神.教学重点：无理数概念的本质教学难点：无理数的发现过程和概念的建立教学方法：引导发现法、探索合作交流教学用具：计算器、多媒体教学过程：（一）创设问题情景：探究活动①：折纸活动拿出边长为2cm的正方形纸片，按照如图所示的方式折纸.问题：阴影部分的正方形的面积是多少？边长是多少？（学生动手实践并讨论后回答）小结：阴影正方形的边长恰好是边长为1cm的正方形的对角线，所以边长为1个单位长度的正方形的对角线长为2.（二）探索新知过程：1.自主探索，初步认识：议一议：2是面积为2的正方形的边长，是边长为1的正方形的对角线长，是2的算术平方根，那么2等于多少呢？是否能估算出它的大致范围？（学生分组讨论，教师指导）学生探索过程：因为12=1，22=4，32=9，…,平方数越来越大，所以1＜2＜2且不是一个整数；因为1.52＝2.25，1.42＝1.96，…，所以1.96＜2＜2.25；……（有能力的学生可以用计算器按这个思路继续估算）活动②：用计算器计算：2＝_____________；用计算器计算：1.4142135622＝_____________.问题： 1.414213562不是2的算术平方根，什么原因？是计算器算错了吗？结论：不是计算器算错了，1.414213562的平方不等于2，只是接近2，这一方面说明1.414213562不是2的算术平方根，但另一方面还说明用计算器算得的2的值是一个近似值，不是准确值.计算器显示的不是全部数据.2. 教师主导，全面认识：（程度好的学生可补充讲解）因为1.4142135622＝1.999999999<2， 所以可设2＝1.414213562＋r ，0<r<1,两边平方，得2＝1.4142135622+2×1.414213562r ＋r 2，因为r 2是个很小的数，我们把它略去，得2≈1.4142135622+2×1.414213562r ……用计算器算得r ＝3.731048932×10-10, 所以2＝1.414213562…… （有条件的学校可用计算机展示2的小数点后面400位，增强学生对2是一个“无限不循环小数”的信服）3. 抽象概括，形成认识： 想一想：2＝1.414213562… 有什么特点？是我们学过的数吗？（教师不急于让学生回答问题，先让学生考虑下面问题）活动③ 把下列各数表示成小数： 6，53，31，71； 问题：它们的小数部分有什么特点？（学生动手计算并思考后回答，教师总结）结论：有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示.活动④ 把下列小数化成分数：0.25，6.0 -； 问题：什么样的小数可以化成分数？（学生动手计算并思考后回答，教师总结）结论：有限小数或无限循环小数都可以化成分数，有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.也就是说，有理数只能和有限小数或无限循环小数等同.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数.问题：你能举出一些无理数的例子吗？（学生举的例子不全时，补充：0.101001000100001…（两个1之间依次多一个0），π＝3.141592654…感兴趣的学生可以查阅有关资料进行了解，加深对概念的理解）历史上，对数学作出突出贡献的毕达哥拉斯学派曾断言：“世界上只有整数和分数，除此之外，就再没有其它的数了.”可见，这个断言是荒谬的.从无理数的发现到被承认历经磨难，此内容可以参看阅读材料《“无理数”的由来》，了解这一段历史.活动⑤ 你能在数轴上找到表示2的点吗？（学生动手实践，教师引导，利用折纸活动的结论找到这个点，加深对无理数的认识，渗透数形结合的思想）小结：有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点表示.4.实例辨析，深化认识：例1.下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？π- ，－3.14，3-，1.732，0.03，18，3625，3121，37-，38-， 0. 484848…，0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）解：有理数有：－3.14，1.732，0.03，18，3625，3121，38-，0.484848… 无理数有：π-，3-，37-，0.3131131113….小结：判断一个数是有理数还是无理数，应从它们的定义去辨别，不能从形式上去分辨，如带根号的数不一定是无理数.例2 .判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并举例说明理由：(1)无理数都是开方开不尽的数 ( )(2)无理都是无限小数. ( )(3)无限小数都是无理数. ( )(4)不带根号的数都是有理数. ( )(5)带根号的数都是无理数. ( )(6)有理数都是有限小数. ( )小结：判断一个数是不是无理数，一定要依据无理数是无限不循环小数这一本质属性去判断，开方开不尽的数都是无理数.但无理数还包括这类数，如π是无理数，而不是由开方得到的.（三） 归纳总结：通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？（学生畅所欲言后，教师总结）1.无理数的本质特征是无限不循环；2.探索2的过程；3.数形结合的思想.（四） 作业：书：(a②11.6 二次根式的乘法教学内容本节从具体的例子引出二次根式乘法法则，又由二次根式的乘法法则得出积的算术平方根，围绕着乘法法则和积的算术平方根的性质展开．教学目标1．知识与技能．会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的简写运算．2．过程与方法．经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程，掌握应用的方法．3．情感、态度与价值观培养学生数感和逆向思维，感受二次根式乘法的实际应用价值，形成良好的思维品质．重难点、关键1．重点：会进行简单的二次根式的乘法运算，•会利用积的算术平方根的性质化简二次根式．2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．3．关键：采用从特殊到一般总结归纳的方法、类比的方法逐步有序地展开，•由于性质、法则关系式较集中，在计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，教学中应采取讲练结合法，让学生在认识过程中脉络清楚，条理分明．教学准备1．教师准备：投影仪、制作投影片．2．学生准备：复习二次根式定义、性质，预习本节课内容．教学内容一、回顾交流，导入新知课堂复习．（投影显示）请同学们完成下列各题．1．填空．（1．（2．（3．参考上述结果，用“>”、“<”或“＝”填空．2．利用计算器计算填空．（填入“>”、“<”或“＝”）（1（2（3（4学生活动：先独立完成上述复习题，再与同伴一起讨论，寻找其规律．实际上，从计算中容易得出教师活动：在学生讨论的基础上，教师进行归纳．教师归纳如下：从上述练习中可以得出两个二次根式相乘，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相乘，根指数不变．a≥0，b≥0）．引导关注：同学们应该注意a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，•上述法则不能成立．因为当a<0，b<0•乘法法则显然不能成立．例如：a=-2，b=-3二、范例学习，提高认知1．例1：计算．（1（2）2．教师活动：板书例1，引导学生参与例1的学习，理解二次根式乘法法则，在讲例中应强调（1）运算方法，如（2）应将4×28（2）二次根式运算结果，应该尽量化简，如（2）中结果不要写成教师板书：（1=（2）×学生活动：参与教师讲例，理解乘法法则的运用方法以及注意问题．三、随堂练习，理解新知1．计算下列各式．（1（2（3）2．学生活动：先独立完成上述练习，再与同伴交流．教师活动：请三位同学上讲台演示，而后再次强调乘法公式的计算方法：（1）•被开方数相乘，根指数不变；（2）•最后结果要检验被开方数中是否还有能开出来的因数，以达到最简的要求．四、继续探究，拓展延伸1．例2：计算．（1） 思路点拨：例2与例1不同的是被开方数是含有字母，因此在被开方数运算中，要充分运用整式乘法法则进行运算，然后再进行化简．教师讲例：（1）中根号外因数要相乘3×2=6，被开方数相乘5a ·10b=50ab ，这样就有50化成5×2，把5开出来有：（2）中出现10-1意义，关于10-1意义，大家在整式乘除一章中学过，即10-1=110，这样（2评析：这里补充例2，其意图是对例1│a │，当然，•本章没有特殊说明，字母均表示正数．2．课堂演练．计算．（1 学生活动：在理解了例2的基础上，做上述三道题，进行巩固．教师活动：板书演练题，请两位学生上讲台完成演练题，•再通过学生“板演”中出现的问题进行纠正，加深法则的应用．五、逆向思维，专题讨论a ≥0，b ≥0）（投影显示）教师讲述：由于这是一个等式，（a ≥0，b ≥0），这里运用了数学中的逆向思维，•的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．这里同样必须a≥0，b≥0．学生活动：在教师的引导下，理解积的算术平方根的性质，并且联系二次根式乘法法则进行比较．评析：在讲述本节第二部分积的算术平方根性质时，要注意与第一部分联系，一是化简与运算的关系，二是积的算术平方根的性质．六、范例学习，加深理解1．例3：化简．（1（2思路点拨：本例是充分运用积的算术平方根性质进行化简，对于（2教师讲例：（1××9=45；（2=10×2学生活动：参与其中，理解积的算术平方根性质的应用．方法说明：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简，（a≥0）．2．例4：化简．（1思路点拨：例4是在例3的基础上进行延伸的，在解（2）中，会遇到a2+y2这个式子，请注意这个式子不能再开方了．师生活动：例4可以采取教师引导下，学生自主完成，在学生思考几分钟后，•请一位学生上讲台来讲解例4．学生解答：（1==（2===评析：由例4可以看出，在化简时，•一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就可以将能开得尽方的因式或因数，用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出来．七、课堂练习，巩固新知1．课本“做一做”．2．探究时空．（1（2）一个长方形的长，宽，求这个长方形的面积．（3）设直角三角形的两条直角边分别是a，b，斜边是c，如果a=4，c=12，求b．八、课堂总结，提高认识本节主要学习二次根式的乘法法则以及积的算术平方根性质，并围绕这两个结论进行简单的二次根式化简与运算，这里，化简是将根号内能开得尽方的因式或因数开出来，运算是指简单的二次根式相乘，不包括所得结果的根号内出现分式或分数的情况．这里提出公式中a、b均为非负数，如果没有特殊说明，所有字母都表示正数，当然，还要注意产生字母只表示正数的片面认识．11.6二次根式的除法教学内容本小节仍然是从实例引出二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质，然后学习它们的运用方法．教学目标1．知识与技能．会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算，会运用商的算术平方根的性质化简二次根式． 2．过程与方法．经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法．3．情感、态度与价值观．培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值．重难点、关键1．•重点：利用二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质进行简单运算和化简．2．难点：二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质的关系及应用．3．关键：由特殊到一般，通过类比、归纳，结合练习，•让学生在认识过程中脉络清楚，条理分明．教学准备1．教师准备：投影仪、制作投影片．2．学生准备：复习上一节课内容，预习本节课内容．教学过程一、回顾交流，优化导入课堂复习．（投影显示）1．填空：（1．（2．（3=_______．2．利用计算器计算，并用“>”、“<”或“＝”填空．______学生活动：通过完成上述问题，从中找寻其中的规律．,,====．教师引导：从上面的练习中可以得到这样的结论，那就是，两个二次根式相除，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相除，根指数不变．a≥0，b>0）教师说明：同学们应该注意a>0，b>0这个条件，若没有这个条件，•上述法则是不能成立，因为a<0，b<0•和乘法法则不同的是，这里的b是不可以取0的，这是因为，分母不能为0．二、范例学习，领会新知例1．计算．（投影显示）（1（2教师活动：引导学生参与例1的学习，理解二次根式的除法法则．思路点拨：例1中的（2．（教师板书）解：（1（2． 学生活动：参与例题的解答，从中领悟除法法则的运用方法．三、随堂学习，理解新知1．（1）计算下列各式：（2）课本练习第2（3）（4）题．学生活动：在练习中加深对法则的理解，在交流中掌握其应用方法．==（教师板书） 这样，就完成了除法运算，把分母中的根号化去，我们称为分母有理化．教师活动：讲解上述问题，引入分母有理化概念，引导学生完成下面训练．2．课堂演练，化简．（1学生活动：解答上述问题，并与同桌交流．解：（121-==；（22a b ==+ 四、逆向思维，情境合一a ≥0，b>0）（教师板书）．（a≥0，b>0），通过逆向思考，我们得到了商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，a、b满足a≥0，b>0．五、范例学习，加深理解1．例2：化简．（1思路点拨：例2是商的算术平方根的应用．化简时，2．教师讲例：（板书）（187 ===21053ab====评析：•化简二次根式在本节中只限于被开方数中的分母可以完全开得尽方的情况．如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数．教师活动：教师引导学生共同参与例2的解答，形成互动交流的良好氛围．六、随堂练习1．课本练习第1（3）（4）、3题．11.7 二次根式的加减法教学目标：1、 理解同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，掌握二次根式加减法的运算法则并熟练进行二次根式的加减法运算.2、 经历同类二次根式概念的形成过程，二次根式加减法的探究过程，获得把实际问题转 化为数学问题的体验和进行数学抽象、概括的感受，体会转化的思想以及类比的学习方法.3、通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自主意识和合作精神.教学重点：1、同类二次根式概念的形成及其判断2、二次根式的加减法运算教学难点：对同类二次根式概念的理解教学方法：引导探究法、比较剖析法教学手段：多媒体，幻灯片教学过程:一、创设情境，导入新课：1、提出问题：“十一”国庆期间，小明到公园去游玩，公园游览图如下：（如果将游览图放在方格纸中，方格纸中每一个小正方形的边长为1米，比例尺为1∶200）小明从公园东门进入，你能帮小明求出公园东门到游乐场的距离以及从游乐场到华夏名亭的距离吗？2、学生分小组讨论得出：求公园东门到游乐场的距离S AB 和求游乐场到华夏名亭的距离S BC , 可以转化为求几条线段长度的和的问题. S AB = 1+2+2+2+2+2 ①S BC = 4+8+1+18 ②3、提出如何将这些算式化成最简形式呢？这就是本节课所要学习的内容（板书课题）说明：通过实例导入新课，引起学生学习兴趣，提出问题，使学生产生认知冲突，激发学生解决问题的欲望.二、比旧悟新，探索新知：1、 启发诱导，比旧悟新.（1）如何计算这些长度，怎样将这个陌生的问题转化为我们所熟悉的问题呢？（如果学生直接说出了正确答案，可追问是怎么得到的；如果解答有困难或表达不清，可进一步启发引导学生联想整式加减法运算进行思考）（2）观察①式：设2= aS AB =1+2+2+2+2+2= 1+a+2+a+2+a = 5+3a = 5+32.指出：①式的化简过程与整式加减法运算中的合并同类项类似.（3）提出如何化简②式呢？引导学生类比、联想、讨论得出：①式中的根式都已是最简二次根式，而②式中的8、18不是最简二次根式，所以应先将它们化为最简二次根式，再用化简①式的方式进行化简.（师生共同复习最简二次根式的概念. 8=22，18=32）2、类比转化，探求新知.（1）2a 和3a 是整式中的同类项，那么最简二次根式22和32是怎样的二次根式呢？引导学生进行类比得出：22和32是同类二次根式.（2）进一步提出8和18是不是同类二次根式.引导学生通过转化、类比、联想、自主探索、体验同类二次根式概念的形成过程. 讨论得出：8和18是同类二次根式.（3）同类二次根式的概念：几个二次根式分别化成最简二次根式后，如果被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.三、同化新知，举一反三.1、通过观察、辨认、加深巩固同类二次根式的概念.例1：判断下列各式中，哪些是同类二次根式？① 27，72，21 75， 501. 解：∵27=332⨯=33；72=262⨯=62；2175= 21352⨯=253； 501=2102=1012. ∴72和501是同类二次根式， 27和2175是同类二次根式. ② 38ab ，ba 2，5332b a （字母均为正数） 解：∵a>0, b>038ab =ab b 2222⋅⋅= 2b ab 2；ab a =b a b a 222⋅⋅=b 21ab 2； 5332b a =ab b a 24422⋅⋅⋅=4ab 2ab 2. ∴38ab ,aba 和5332b a 都是同类二次根式. 小结：判断同类二次根式的一般步骤是什么？学生讨论得出： ① 判断是否为最简二次根式，如果不是那么化成最简二次根式.② 看被开方数是否相同.2、回过来再看看①、②两个算式.S AB = 1+2+2+2+2+2= 5+32S BC = 4+8+1+18= 4+22+1+32= 5+52两个算式的化简过程，就是二次根式的加减运算.3、二次根式加减法的法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并.合并方法为系数相加减，根式不变（被开方数不变）.4、巩固练习例2、计算：218+481—332 解：原式 = 62+2—122= —52.例3、计算：（5.0—231）—（25.0—75） 解：原式 =21—231—81+75 =22—323—412+53 =142+3133 例4、计算：x 2—38x —222xy （y<0）解：原式 =x 2—2x x 2—2y x 2=(1—2x —2y) x 2说明：采用学生板演、口答、讨论、互评等方式进行练习，并反复让学生体验二次根式加减法运算法则.5、小组讨论，集体交流.（1）讨论题：下列计算是否正确，为什么？① 2+3=5② 2+2=22③ a y —b y =a —b y④ 5a —2a =3⑤ x +x 2=x 3⑥ 21a 2+2a 2=221a 2（2）师生共同总结二次根式加减法中的注意点：① 不是同类二次根式的不能合并.② 根式前面的带分数要化为假分数.③ 结果是一个二次根式与多项式的积，必须注意多项式加上括号.（3）说明：① 通过分组讨论，发挥团队合作精神，帮助有困难的学生突破难点，使不同层次的学生在互相交流中有所提高.② 对于学生易混淆及犯错的问题的辨析，目的是让学生通过讨论，自己发现错误，找出原因，提出纠正的方法，培养学生自主学习的能力.。